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最新人教版高中数学必修2第四章《圆的一般方程》典型例题2


典题精讲 例 1 如图 4-1-1,已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3). 图 4-1-1 (1)求以 P1P2 为直径的圆的方程; (2)试判断点 M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上,圆内,还是在圆外? 思路分析:对于本题中圆的方程可从两个角度来考虑 :(1)从确定圆的条件考虑,需要求圆心和 半径,可用待定系数法解决(解法一).(2)从图形上动点 P 的性质考虑,用求曲线方程的一般方法 解决(解法二). (1)解法一:设圆心 C(a,b),半径 r, 则由 C 为 P1P2 的中点得 a= 4?6 9?3 ? 5, b ? =6. 2 2. (4 ? 5) 2 ? (9 ? 6) 2 ? 10 , 又由两点间的距离公式得 r=|CP1|= ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 解法二:∵半圆上的圆周角是直角, ∴对于圆上任一点 P(x,y),有 PP1⊥PP2. k PP1 · k PP2 =-1,即 y ?9 y ?3 ? =-1. x?4 x?6 化简得 x2+y2-10x-12y+51=0, 显然当点 P 与 P1、P2 重合时,也满足上述方程. 综上可知(x-5)2+(y-6)2=10 为所求圆的方程. (2)分别计算点到圆心的距离: 2 2 |CM|= (6 ? 5) ? (9 ? 6) ? 10 ; 2 2 |CN|= (3 ? 5) ? (3 ? 6) ? 13 ? 10 ; 2 2 |CQ|= (5 ? 5) ? (3 ? 6) ? 3 ? 10 . 因此,点 M 在圆上,点 N 在圆外,点 Q 在圆内. 绿色通道:解法一从圆的两个要素入手,确定出圆心和半径,解法二则从动点的几何特征入 手,将圆周角为直角这一特征用坐标加以表示.对于本题还可直接通过三角形斜边上的中线等 于斜边的一半这一性质列方程求解. 另外 , 本题也可直接套用公式 , 即以点 P1(x1,y1) 、 P2(x2,y2) 为直径端点的圆的方程为 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 变式训练 1 在本题中,求以 P1 为圆心,|P1P2|为半径的圆,并判断点 M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上、圆内、 还是圆外? 解:由两点间的距离公式,得 2 2 r=|P1P2|= (6 ? 4) ? (3 ? 9) ? 40 , 所以,以 P1 为圆心,|P1P2|为半径的圆的方程为(x-4)2+(y-9)2=40. ∵(6-4)2+(9-9)2=4<40, (3-4)2+(3-9)2=37<40, (5-4)2+(3-9)2=37<40, ∴点 M、N、Q 都在圆内. 变式训练 2 在本题中,求以 P2 为圆心,|P1P2|为半径的圆,并判断点 M(6,9)、N(3,3)、Q(5,3)是在圆上、圆内、 还是圆外? 答案:方程为(x-6)2+(y-3)2=40, 点 M、N、Q 也都在圆内. 例 2 判断下列方程是否表示圆,如果是,求出圆心和半径;若不是,请说明理由. (1)x2+y2+4x-2y+12=0; (2)x2+y2-11x+3y-30=0; (3)3x2+2y2+3x-3y+5=0. 思路解析 :本题首先要观察各题目二次项系数是否相等 ,根据书中已有结论判定方程是否满 足表示圆的条件,再依据公式得出圆心和半径. 答案:(1)x2+y2+4x-2y+12=0 可以转化为(x+2)2+(y-1)2=-7,所以该方程不是圆的方程. (2)在 x2+y2-11x+3y-30=0

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