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2014年华约自主招生数学试题及解答


2014 年华约自主招生数学试题
1. x1 , x2 , x3 , x4 , x5 是正整数,任取四个其和组成的集合为{44,45,46,47},求这五个数. 2.乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概率是 p( p ? ) ,甲赢得比赛的概率是 q ,求 p 为 多少时, q ? p 取得最大值. 3.函数 f ( x) ?

1 2

2 ? (cos x ? sin x)sin( x ? ) ? 2a sin x ? b(a ? 0) 的最大值为 1,最小值为 ?4 ,求 2 4

a , b 的值.
4.(1)证明 y ? f ( g ( x)) 的反函数为 y ? g ?1 ( f ?1 ( x)) ; (2) F ( x) ? f (? x), G( x) ? f ?1 ( x) ,若 G( x) 的反函数是 F ( x) ,证明 f ( x) 为奇函数.

x2 y 2 ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? b2 ,过椭圆上一点 M 作圆的两切线 ,切点分别为 P, Q , a 2 b2 直线 PQ 与 x, y 轴分别交于点 E , F ,求 S ?EOF 的最小值.
5.已知椭圆 6. 已知数列 {an } 满足 : a1 ? 0, an ?1 ? np n ? qan .(1)若 q ? 1 , 求 an ;(2) 若 | p |? 1,| q |? 1 , 求证 :数列 {an } 有界.

7.已知 n ? N * , x ? n, 求证: n ? x 2 ? n((1 ? ) ? e n ) n .

x n

x

2014 年华约自主招生·数学试题-1

华约参考答案: 1. 【解】 五个数任取四个应该可以得到 C54 ? 5 个不同的和,现条件中只有 4 个不同的和,故必 有两个和值相同.而这五个和值之和为 4( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ,是 4 的倍数,所以这个相同

44 ? 45 ? 46 ? 46 ? 47 ? 57 ,故这五个数 4 分别为 57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即 10,11,11,12,13. 2.【解】若共比赛了 3 局,则甲赢得比赛的概率为 p3 ;
的和值只可能是 46,从而有 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 若共赛了 4 局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为 C32 p3 (1 ? p) ; 若共比赛了 5 局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为 C42 p3 (1 ? p)2 ,因此
3 2 q ? p3 ? C3 2p (1 ? p) ? C4 p (13? p) , 2

所以 q ? p ? p3 ? C32 p3 (1 ? p) ? C42 p3 (1 ? p)2 ? p ? 6 p5 ? 15 p 4 ? 10 p3 ? p , p ?

1 ; 2

1 ,则 f ?( p) ? 30 p4 ? 60 p3 ? 30 p2 ? 1 , 2 1 即 f ?( p) ? 30 p 4 ? 60 p3 ? 30 p 2 ? 1 ? 30[ p 2 ( p 2 ? 2 p ? 1) ? ] , 30 1 1 1 所以 f ?( p) ? 30[ p 2 ( p ? 1) 2 ? ] ? 30( p 2 ? p ? )( p 2 ? p ? ), 30 30 30 1 1 又因为 p ? ( ,1) ,所以 p 2 ? p ,故 p 2 ? p ? ? 0, 2 30
设 f ( p) ? 6 p5 ? 15 p 4 ? 10 p3 ? p , p ? 所以令 f ?( p ) ? 0 时,即 p 2 ? p ? 又因为 p ? ( ,1) ,所以取 p ?

1 ? 0 ,得 p ? 30

1? 1? 2

4 30

?

1 1 1 ; ? ? 2 4 30

1 2

1 1 1 ? ? , 2 4 30

1 1 1 1 1 1 1 ? ) 时, f ?( p) ? 0, p ? ( ? ? ,1) 时, f ?( p ) ? 0 , 易知当 p ? ( , ? 2 2 4 2 4 30 30
所以当 p ?

1 1 1 ? ? 时, f ( p) 有唯一极大值,也是最大值. 2 4 30

3.【解】易知 f ( x) ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 2a sin x ? b ? ? sin 2 x ? 2a sin x ? b ?

1 ,令 t ? sin x , 2

2014 年华约自主招生·数学试题-2

1 在 [?1,1] 上的最大值和最小值分别为 1 和 ?4 . 2 ①当对称轴 t ? ?a ? ?1 ,即 a ? 1 时,则 g (t ) 在 [?1,1] 上递减,则
则问题等价于 g (t ) ? ?t 2 ? 2ax ? b ?

? g (? 1 )? 2 a ?b ? ? ? ?g( 1 ) ? ? 2 a ?b ? ?

1 ? 2 1 ? 2

5 ?1 , ? ?a ? , ,解得 ? 4 ? ? ? 4 ?b ? ?1

1 ? g (?a) ? a 2 ? b ? ? 1 ? ? 2 ②当对称轴 ?1 ? ?a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,则 ? , 1 ? g (1) ? ?2a ? b ? ? ?4 ? 2 ? 2 消去 b 得 a ? 2a ? 4 ? 0 ,解得 a ? ?1 ? 5 ? (0,1) ,舍去. 5 综上①②可知, a ? , b ? ?1 为所求. 4 4.【解】(1)证明:由反函数定义可知 y ? f ( g ( x)) 的反函数为 x ? f ( g ( y)) ,故

f ?1 ( x) ? f ?1 ( f ( g ( y))) ? g ( y) ,从而 g ?1 ( f ?1 ( x)) ? g ?1 ( g ( y)) ? y ,
所以 y ? g ?1 ( f ?1 ( x)) 为 y ? f ( g ( x)) 的反函数. (2)由 G( x) 的反函数是 F ( x) ,故 G( F ( x)) ? G(G ?1 ( x)) ? x , 则 f ( x) ? f (G( F ( x))), 又因为 G( x) ? f ?1 ( x) ,所以 G( F ( x)) ? f ?1( ?F ( x)) , 代入得 f ( x) ? f (G( F ( x))), ? f ( f ?1 (?F ( x))) ? ?F ( x) ? ? f (? x) ,所以 f ( x) 为奇函数. 5.【解】设 M (a cos? , b sin? )(? ? [0,2? )) ,直线 PQ 为点 M 关于圆 x2 ? y 2 ? b2 的切点弦,其 方程为 (a cos? ) x ? (b sin ? ) y ? b2 ,从而 xE ? 于是 S ?EOF ?

b2 b , yF ? , a cos ? sin ?

1 b3 b3 | xE | ? | xF |? ? , 2 a | sin 2? | a

2 2 a, ? b) 时,上述等号成立. 2 2 6.【解】(1)当 q ? 1 时, an ?1 ? an ? np n ,则 an ? an ?1 ? (n ? 1) p n ?1 (n ? 2) 由累加法得 an ? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1 (n ? 2) ,
当且仅当 M (? 即 an ? p ? 2 p 2 ? 3 p3 ? ? ? (n ? 1) p n ?1 (n ? 2) ……(1)

n(n ? 1) ; 当 n ? 1 时, a1 ? 0 也适合; 2 ②当 p ? 1时, pan ? p2 ? 2 p3 ? ? ? (n ? 1) p n ……(2)
①当 p ? 1 时, an ? 由(1)-(2)得 an ? pan ? p ? p2 ? p3 ? ? ? p n?1 ? (n ? 1) p n , p(1 ? p n ?1 ) ? (n ? 1) p n (n ? 1) p n ?1 ? np n ? p 1? p ? 所以 an ? ,当 n ? 1 时, a1 ? 0 也适合; 1? p (1 ? p) 2

2014 年华约自主招生·数学试题-3

? n(n ? 1) ? ? 2 于是 an ? ? n ?1 n ? (n ? 1) p ? np ? p ? (1 ? p) 2 ?

p ?1
.

p ?1

(2)由 | an ?1 |?| npn ? qan |?| npn | ? | qan |? n | p |n ? | an | ,所以 | an?1 | ? | an |? n | p |n , 于是 | an | ? | an ?1 |? ? n ? 1) | p |n?1 (n ? 2) 由累加法得 an ? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? a2 ? a1 ? a1 (n ? 2) 故 | an |?| p | ?2 | p |2 ?? ? (n ? 1) | p |n ?1 ?

(n ? 1) | p |n ?1 ?n | p |n ? | p | , (1? | p |) 2

而 (n ? 1) | p |n?1 ?n | p |n ? (n ? 1) | p |n ?n | p |? ? | p |n ? 0 , | p| 于是当 n ? 2 时,有 | an |? ,显然 a1 ? 0 也成立. (1? | p |) 2 于是 an 有上界. 7.【证明】原不等式等价于 n ? x 2 ? n((1 ? ) ? e n ) n .

x x n 2 当 x ? n ,上述不等式左边非正,不等式成立; 当 x2 ? n 时,由 e y ? 1 ? y( y ? 0) 及贝努力不等式 (1 ? y)n ? 1 ? ny(n ? 1, y ? ?1) ,
x x x x x2 x2 从而 n((1 ? ) ? e n ) n ? n((1 ? ) ? (1 ? )) n ? n(1 ? 2 ) n ? n(1 ? n ? 2 ) ? n ? x 2 ,即证. n n n n n

2014 年华约自主招生·数学试题-4


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