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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《1.2.2同角三角函数的基本关系》导学案


§1.2.2
学习目标

同角三角函数关系
sin ? =tan ? ; cos?

1.掌握同角三角函数的基本关系式 sin2α +cos2α =1,

2.会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P18~ P20

,找出疑惑之处) 初中阶段学习了锐角三角函数的定义后,老师介绍了同角三角函数间关系,你还记得吗?

二、新课导学 ※ 探索新知
问题 1:同角三角函数间的关系公式能由锐角范围推广到任意角吗?你能证明吗?

问题 2:你能用不同的方法证明这两条公式吗?

问题 3:如何进行公式 sin2α +cos2α =1, tan ? =

sin ? 的推导及其变形。 cos?

※ 典型例题
1. 已知角的正弦、余弦、正切中的一个值,求出其余两个值(知一求二) 。 例 1:已知 sin ? ?

4 ,且 ? 是第二象限角,求 cos? , tan? 5

变式训练:已知 tan? ? ?

1 ,求 2

1 的值. sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ?
2

2.化简三角函数式 例 2: 化简 (1) tan ?

1 ? 1 ,其中 ? 是第二象限角 sin 2 ?

(2)

1 ? cos? 1 ? cos? + ,其中 ? 是第四象限角 1 ? cos? 1 ? cos?

(3)

1 ? 2 sin10 ? cos10 ? cos10 ? ? 1 ? cos2 170 ?

3.证明简单的三角恒等式 例 3:求证:

sin ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? sin ?

※ 动手试试
1、已知 tan? ? 2, 求

sin ? ? cos? 的值。 sin ? ? cos?

2、已知 sin ? ? cos? ? ?

1 , ? ? ?0, ? ? ,求 tan? 的值. 5

3、化简:

2 cos 2 ? ? 1 1 ? 2 sin 2 ?

4、证明 2 cos ? ? sin ? ? cos ? ? 1
2 4 4

三、小结反思 1、在三角求值时,应注意:①角所在象限;②一般涉及到开方运算时要分类讨论。 在化简时应注意化简结果:①涉及的三角函数名称较少;②表达形式较简单。 2、证明恒等式时常用以下方法:①从一边开始,证明它等于另一边;②证明左右两边等于 同一个式子;③分析法,寻找等式成立的条件。证明的指向一般是“由繁到简” 。

学习评价
※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1、已知 sin ? ? 3 cos? ? 0 ,则α 所在的象限是( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第一、三象限 D、第二、四象限 2、 1 ? 2 sin ? ? cos? 的值为 ( A、 sin ? ? cos? C、 cos? ? sin ?



B、 sin ? ? cos? D、| sin ? ? cos? |
2

3、若 sin ? , cos? 是方程 4 x ? 2mx ? m ? 0 的两根,则 m 的值为 A. 1? 5 C. 1? 5 B. 1? 5 D. ? 1 ? 5

4、⑴已知 sin ? ? 2 cos? ? 0 ,则

1 ? sin ? cos?



⑵ 4 sin ? ? 3 sin ? ? cos? ? 5 cos ? ?
2 2



5、已知α 是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?



课后作业
6、化简:

1 ? sin 6 ? ? cos6 ? sin 2 ? ? sin 4 ?

7、证明下列恒等式: ⑴ 2 cos ⑵ sin
4
2

? ? sin 4 ? ? cos4 ? ? 1 ;

? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 。


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