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河北省大名县第一中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题文(新)


2015-2016 学年第二学期高二文科数学月考试题
考试范围:集合与逻辑用语、函数、立体几何 一、选择题(60 分) 1、设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7? , P ? ?1, 2,3, 4,5? , Q ? ?3,4,5, 6,7? ,则 P ? (CU Q) 等于 ( A . ?1 , 2? B. ?3, 4, 5? C. ?1 , 2, 6, 7

? ) C.p 为假 D.q 为真 ) D. ?1 , 2, 3, 4, 5? )

2、若命题“p∧q”为假,且﹁p 为假,则( A.“p∨q”为假 B.q 为假

3、在同一坐标系中,函数 f ( x) ? a x 与函数 g ( x) ? log a x 的图象可以是(

4、在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E , F 分别是棱 AB, BB1 的中点,则异面直线 EF 和 BC1 所 成的角是(
? A 60


? B 45

? C 90

? D 120

5、设 f ( x) ? ?

?1 ? x , x ? 0 ? ,则 f ( f ( ?2)) ? ( x ? ? 2 ,x ?0
B.



A. ?1

1 4

C.

1 2

D.

3 2

6、两条直线 a,b 分别和异面直线 c,d 都相交,则直线 a,b 的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.相交或异面

7、已知两平面互相垂直,则经过一个平面内一点且垂直于交线的直线与另一个平面( ) A.垂直 B.平行 C. 斜交 ) D.前三种情况都有可能

8、如下图所示的几何体,其俯视图正确的是(

1

9、一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的 两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上, 则该球的表面积是( )

(A) 12 ?

(B) 24?

(C) 32?

(D) 48?

10、已知命题 p:错误!未找到引用源。≤1,命题 q:(x+a)(x-3)≤0,若 p 是 q 的充分不必要条件 ,则 实数 a 的取值范围是( A.( -3,-1] ) B.[-3,-1] C.[1,+∞) D.(-∞, -3]

11、如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆 柱内有一个内切球 ,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表 达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现 . 圆柱的体积 与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为 ( A.错误!未找到引用源。,1 未找到引用源。 )

B.错误! 未找到引用源。 ,错误! D.错误!

C.错误!未找到引用源。,1

未找到引用源。,错误!未找到引用源。 12、如图,斜线段 ?? 与平面 ? 所成的角为 60? ,? 为斜足,平面 ? 上的动点 ? 满足 ???? ? 30? , 则点 ? 的轨迹是( A.椭圆 ) B.抛物线 C.双曲线 D.双曲线的一支

2

二、填空题(20 分) 13、已知命题 p:? x∈R,cosx≤1,则﹁p: 14、以下说法中, ①已知直线 a,b 和平面α .若 a∥b,a∥α ,则 b∥α ; ②已知直线 a,b,c 和平面α .a 是斜线,与平面α 相交,b 是 a 在平面α 内的射影,c ? α ,且 c⊥b, 则 c⊥a; ③三个平面两两相交,且它们的交线各不相同,则这三条交线互相平行; ④已知平面α ,β ,若α ∩β =a,b⊥a,则 b⊥α 或 b⊥β . 不正确 的是 ... .

15、一个圆柱的轴截面为正方形,其体积与一个球的体积之比是 3∶2,则这个圆柱的侧面积与这个球 的表面积之比为 16、若函数 f ( x) ?| 2 ? 2 | ?b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是
x

.

三、解答题(70 分) 17、 (10 分)
1

? 25 ? ? 27 ? 0 (1)计算: ? ? ? ?lg 5? ? ? ? ? 9? ? 64 ?
(2)解方程: log3 (6
x

2

?

1 3

? 9) ? 3

18、 (12 分)如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD , 点 E 是 PD 的中点. (1)求证: AC ? PB ; (2)求证: PB // 平面 AEC ;

3

(第 18 题)

(第 19 题)

19、 (12 分)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E 为 CC1 的中点,求异面直线 OE 与 AD1 所成角的余弦值

20、 (12 分)已知一四棱锥 P-ABCD 的三视图如图,E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积. (2)是否不论点 E 在何位置,都有 B D⊥AE?证明你的结论.

21、 (12 分)如图,已知三棱锥 P-ABC,∠ACB=90°,D 为 AB 的中点,且△PDB 是正三角形,PA⊥PC.

求证:(1)PA⊥面 PBC.

(2)平面 PAC⊥平面 ABC.

4

(第 21 题)

(第 22 题)

22、 (12 分)如图,四凌锥 p—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥面 ABCD,E 为 PD 的点。 (1)证明:BP//平面 AEC; (2)若 AP=1,AD= 3 ,三棱椎 P-ABD 的体积 V=

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离。 4

2015-2016 学年第二学期高二文科月考答案 1、A 2、B.由于命题“p∧q”为假,且﹁p 为假,则命题 p 真,命题 q 假. 3、B 试题分析:解:A 图显示 g ? x ? ? loga x 的定义域为 ? ??,0 ? 是错误的; C 图中指数函数图象下降,显示 0 ? a ? 1 ,对数函数的图象上升,显示 a ? 1 ,两者矛盾,是错误的; D 图中指数函数的图象上升,显示 a ? 1 ,对数函数的图象下降,显示 0 ? a ? 1 ,两者矛盾,是错误 的;
x 因为函数 f ? x ? ? a 与函数 g ? x ? ? loga x 互为反函数,它们的图象应关于直线 y ? x 对称,所以 B

图是正确的,故选 B. 考点:1、指数函数与对数函数的图象;2、互数反函数的两个函数图象间的关系. 4、A 5、C【解析】因为 f (?2) ? 2?2 ?

1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ,故答案选 C ,所以 f ( f ( ?2)) ? f ( ) ? 1 ? 4 4 2 2 4

6、D 若两条直线与两条异面直线有三个交点,则相交;若两条直线与两条异面直线有四个交点,则异 面. 【误区警示】 本题中没有限制交点的个数,因此应分两种情况解答.当有四个交点时,这两条直线异面; 当有三个交点时,这两条直线相交. 7、D 8、C【解析】试题分析:从图示可知为一个组合体,上部分为一个挖去一个三棱锥的几何体,下部 分为一个长方体,因此 C 选项是正确的. 考点:空间几何体的三视图.
5

9、D【解析】试题分析:由三视图可知该几何体是一个四棱锥,将其补成正方体放入球中,结合到 正 方 体 体 对 角 线 为 球 的 直 径 可 得 2R ?

42 ? 42 ? 42 ? 4 3 ? R ? 2 3 , 故 球 的 表 面 积 为

4?R 2 ? 48?
考点:三视图及球的表面积 10、C 11、B 【解析】选 B.设球的半径为 R,则圆 柱的底面半径为 R,高为 2R,V 圆柱=π R ×2R= 2π R ,V
3 球 2

=错误!未找到引用源。π R ,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找
2 2 2

3

到引用源。,S 圆柱=2π R×2R+2π R =6π R ,S 球=4π R . 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 12、 【答案】A 由题可知,当 ? 点运动时,在空间中,满足条件的 ?? 绕 ?? 旋转形成一个圆锥,用一个与圆锥高成

60? 角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.故选 A.
【考点定位】1.圆锥曲线的定义;2.线面位置关系. 【名师点睛】 本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据给出的 线面位置关系,通过空间想象能力,得到一个无限延展的圆锥被一个与之成 60? 角的平面截得的图 形是椭圆的结论.本题属于中等题,重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线的定义的理解. 14、已知命题 p:? x∈R,cosx≤1,则﹁p: 所以﹁p:? x0∈R,cosx0>1. 14、①③④ ①错误.直线 b 的位置不确定,直线 b 可以在α 内,也可以平行于α . ②正确.c 同时垂直于斜线和射影. ③错误.例如,长方体同一顶点的三个面. ④错误.没有说明 b 是否在平面 α 或β 内,则 b 可以在这两个平面外. 15、1∶1 设圆柱的高为 2,球的半径为 r,则 V 球=错误!未找到引用源。π r =错误!未找到引用
3

源。π ,解得 r=1,故所求比为 1∶1. 16、 (0,2) 【解析】由函数 f ( x) ?| 2 ? 2 | ?b 有两个零点,可得 | 2 ? 2 |? b 有两个不等的根,从而可得函数
x x

6

(0,2) y ?| 2 x ? 2 | 函数 y ? b 的图象有两个交点,结合函数的图象可得, 0 ? b ? 2 ,故答案为: 17、(1)4 18、证明: (1)∵PA⊥面 ABCD 又 AB⊥AC ∴AC⊥平面 PAB ∴AC⊥PB (2)x=2 ∴PA⊥AC

(2)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO,则 EO∥PB 又 PB ? 面 AEC ∴PB∥面 AEC

19、 【解题指南】解答本题要注意以下信息的应用: ①四边形 ABC1D1 是平行四边形; ②AC1 的长度是正方体棱长的错误!未找到引用源。 倍; ③直角三角 形中锐角的余弦值是邻边比斜边. 【解析】选 D.取 BC 的中点 F,连接 OF,EF,BC1, 因为四边形 ABC1D1 是平行四边形, 所以 AD1∥BC1, 因为 EF 是△BCC1 的中位线, 所以 EF∥BC1, 所以 EF∥AD1, 所以∠OEF(或其补角)是异面直线 OE 与 AD1 所成的角.————————6 分 设正方体的棱长为 a, 在△OEF 中,OE=错误!未找到引用源。AC1=错误!未找到引用源。a, OF=错误!未找到引用源。AB=错误!未找到引用源。,EF=错误!未找到引用源。BC1=错误!未找到 引用源。a, 所以 OF +EF =OE , 所以 cos∠OEF=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.————— ———12 分
2 2 2

20、(1)由已知中的三视图,得: 棱锥的底面面积 S 四边形 ABCD=1×1=1,

7

棱锥的高 PC=2, 故棱锥的体积 V=错误!未找到引用源。×S 四边形 ABCD×2=错误!未找到引用源。. (2)连接 AC,交 BD 于 O,则 AC⊥BD, 又因为 PC⊥平面 ABCD,所以 PC⊥BD, 又因为 AC∩PC=C,所以 BD⊥平面 PAC, 又因为 AE ? 平面 PAC,所以 BD⊥AE, 即不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE.

21、 【解题指南】(1)关键是根据△PDB 是正三角形,D 是 AB 的中点证明 PA⊥PB. (2)关键是证明 BC⊥平面 PAC. 【证明】(1)因为△PDB 是正三角形, 所以∠BPD=60°. 因为 D 是 AB 的中点, 所以 AD=BD=PD.又∠ADP=120°, 所以∠DPA=30°, 所以∠DPA+∠BPD=90°,即∠APB=90°, 所以 PA⊥PB.又 PA⊥PC,PB∩PC=P, 所以 PA⊥面 PBC. (2)因为 PA⊥面 PBC, 所以 PA⊥BC. 因为∠ACB=90°, 所以 AC⊥BC.又 PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC ? 平面 ABC, 所以平面 PAC⊥平面 ABC.

22、 【答案】 【解析】

(1)

省略

(2)

3 13 13

8

(1) 设 AC 的中点为 G, 连接 EG。在三角形 PBD 中,中位线 EG//PB,且 EG 在平面 AEC 上,所以 PB// 平面 AEC. (2)

? PA⊥ 面ABCD∴ PA⊥ BC, PA是三棱锥P - ABD的高.设x = AB, A到面PBD的距离为h 3 1 1 1 3 , VP - ABD = S ΔABD ? PA = ? ? 3 ? x ?1, ∴x = 4 3 3 2 2 ? AB ⊥ BC, PA⊥ BC, AB∩ P A = A ∴BC ⊥ 面P AB,BC ⊥ P B,BC为三棱锥C - P AB的高, ?VP - ABD = ?VP - ABC = VA- PBC ? PA? AB ? BC = BC ? PB ? h,由勾股定理解得 PB2 = 所以,A到面PBC的距离为 3 13 13 13 3 13 ∴h = 4 13

9


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