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高中必修二直线与平面垂直的判定课件


直线与平面垂直的判定

旗杆与地面以及大桥的桥柱与水面的 位置关系

大漠孤烟直

知识探究(一):直线与平面垂直的定义

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

AB所在直线 ⊥ 地面内任意一条直线
A

B

c

直线与平面垂直的定义:
文字表示: 如果一条直线l与平面α 内的 任意一条直线 都垂

直,则称直线l与平面α 相互垂直.记作

l ??

任意一条直线

× ?
无数条直线

所有的直线

平面α的垂线
奎屯

王新敞

新疆

l
直线l的垂面

图形表示:

α

P
垂足

深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确:(若不正确请举反例)
1.如果一条直线与一个平面垂直,那么它与平面 内所有的直线都垂直. ( ) 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直,那 么它与平面垂直. ( )
b a
α

知识探究(二):直线与平面垂直的判定定理

探究活动:拿出一块三角形的
纸片,做如图所示的试验: 过△ABC的顶点A翻折纸片, 得到折痕AD,将翻折后的纸片 竖起放置在桌面上(BD、DC与 A 桌面接触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能保证折痕AD 与桌面所在平面肯定垂直?
B D C

D A

?

B D

C

A

l
?
C B D

m

C

α

O

n

直线与平面垂直的判定定理: 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 则这条直线垂直于这个平面. 关键:线不在多,相交则行

m ?? ? ? n ?? ? ? m?n ? P ??l ?? ? l ? m ? l ?n ? ?

线线垂直

线面垂直

l m

α

n

P

例题示范,巩固新知
例1.在下图的长方体中,请列举与平面ABCD垂直的直 线。并说明这些直线有怎样的位置关系?
C′

D′

A′

B′

D

C

A

B

a

b

例2.如图,已知a∥b、a⊥α. 求证:b⊥α.

n

证明: 在平面?内作两条相交直线m,n. 因为直线a ? ? ,根据直线与平面垂直的定义知 a ? m, a ? n. (线面垂直 线线垂直) 又因为 b//a 所以 b ? m, b ? n. 又因为m ? ? ,n ? ? , m, n是两条相交直线, 线面垂直) 所以 b ? ? (线线垂直

?

m

练习:
1.如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA=VC, AB=BC,K是AC的中点. A 求证:AC⊥平面VKB.

V
K

C B

变式:
⑴在练习1.中若E、F分别为AB、 BC 的中点,试判断EF与平面 A VKB的位置关系.

V
K

C F B

E

⑵ 在⑴的条件下,有人说“VB⊥AC, VB⊥EF, ?VB⊥平面ABC”,对吗?

例1 如图,已知OA、OB、OC两两垂直 (1)求证:OA⊥平面OBC (2)求证:OA⊥BC
分析:(1)要证OA⊥平面OBC, 必须在平面OBC中找出两条 与OA垂直的相交直线。因 为OA、OB、OC两两垂直 B OA⊥OB、OA⊥OC. OA⊥OC,且OB∩OC=O. (2)OA⊥平面OBC,OA 垂直平面内任意一条直线.

A

O C

知识小结
1.直线与平面垂直的定义 2.直线与平面垂直的判定、性质

线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题

问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢?

一条直线与平面相交,但和这个平面不垂直, 这条直线叫做这个平面的斜线。

直线与平面所成的角

线面角相关概念
斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点 向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线 在这个平面上的射影。平面的一条射线和它在平面上的射 影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 平面的斜线 平面的垂线

P
斜足A

l

垂足O

α
斜线PA在平面内的射影

A

O

斜线PA与平面?所成的角为 ?PAO ?

1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 射影所成的角 (0,900 )

2.平面的垂线与平面所成的角为直角
3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这 条直线与平面所成的角的00角 一条直线与平面所成的角的取值范围是 [0,900 ]

例2

在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

(1)求直线A1B和平面ABCD所成的角; (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. D1 A1 B1 O D A B
(1)

C1

解题关键: 找射影。

C

解题步骤: 作——证——求

例2

在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

(1)求直线A1B和平面ABCD所成的角; (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
(2)证明:连接 1交B1C于点O,连接A1O. BC 设正方体的棱长为 ,因为A1 B1 ? B1C1, a A1 B1 ? B1 B, 所以A1 B1 ? 平面BCC1 B1 .

D1
A1 B1 O A D

C1 所以A1 B1 ? BC1 .
?BA1O为A1 B与平面A1 B1CD所在的角。

又因为A1O为斜线A1 B在平面A1 B1CD内的射影,

C

例2

在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

(1)求直线A1B和平面ABCD所成的角; (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

D1
A1 B1 O A D

2 在Rt?A1 BO中,A1 B ? 2a, BO ? a, 2 1 所以BO ? A1 B, ?BA1O ? 30?. 2 C1 因此,直线A1 B和平面A1 B1CD所成的角为 ?。 30

C


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