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【步步高】2016高考数学大一轮复习 14.1几何证明选讲试题 理 苏教版


第1讲

几何证明选讲

1.如图,已知 B 在 AC 上,D 在 BE 上,且 AB∶BC=2∶1,ED ∶DB=2∶1,求 AD∶DF.



如图,过 D 作 DG∥AC 交 FC 于 G(还可过 B 作 EC 的平行

线). ∵

DG ED 2 = = , BC EB 3

2 ∴DG= BC. 3 1 2 ∵BC= AC,∴DG= AC. 3 9 ∴

DF DG 2 2 = = ,∴DF= AF, AF AC 9 9

7 从而 AD= AF,故 AD∶DF=7∶2. 9 2. 如图, 圆 O1 与 O2 内切于点 A, 其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2). 圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C(O1 不在 AB 上). 求证:AB∶AC 为定值. 证明 如图,连接 AO1,并延长分别交两圆于点 E 和点 D,连接

BD、CE.
∵圆 O1 与圆 O2 内切于点 A, ∴点 O2 在 AD 上,故 AD、AE 分别为圆 O1,圆 O2 的直径. 从而∠ABD=∠ACE=90°. ∴BD∥CE,于是 = =

AB AD 2r1 r1 = ,∴AB∶AC 为定值. AC AE 2r2 r2

3. 如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点,ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F. 求证:FD =FB·FC. 证明 ∵E 是 Rt△ACD 斜边 AC 的中点, ∴DE=EA,∴∠A=∠2. 又∵∠1=∠2,∴∠1=∠A.
1
2

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1, ∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,∴∠FDC=∠FBD. 又∵∠F 是公共角,∴△FBD∽△FDC,∴ = , ∴FD =FB·FC. 4. 如图,在△ABC 中,CM 是 1 ∠ACB 的平分线, △AMC 的外接圆 O 交 BC 于点 N.若 AC= AB, 2 求证:BN=2AM. 证明 连结 MN.因为 CM 是∠ACB 的平分线, 所以∠ACM=∠NCM,所以 AM=MN. 因为∠B=∠B,∠BMN=∠A, 所以△BMN∽△BCA,所以 = =2, 即 BN=2MN=2AM. 5. 如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切线,交
2

FB FD FD FC

BN AB MN AC

BD 的延长线于点 P,交 AD 的延长线于点 E.
(1)求证:AB =DE·BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长. ︵ ︵ (1)证明 ∵AD∥BC,∴AB=CD.∴AB=CD, ∠EDC=∠BCD.又 PC 与⊙O 相切,∴∠ECD=∠DBC. ∴△CDE∽△BCD.∴ = . ∴CD =DE·BC,即 AB =DE·BC. (2)解 由(1)知,DE=
2 2 2

DC DE BC DC

AB2 62 = =4, BC 9

∵AD∥BC,∴△PDE∽△PBC,

PD DE 4 36 81 ∴ = = .又∵PB-PD=9,∴PD= ,PB= . PB BC 9 5 5
36 81 54 54 2 ∴PC =PD·PB= · = 2 .∴PC= . 5 5 5 5 6.如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合.已知 AE 的长 为 m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x -14x+mn=0 的两个根. (1)证明:C,B,D,E 四点共圆; (2)若∠A=90°,且 m=4,n=6,求 C,B,D,E 所在圆的半径.
2 2

2



(1)证明:连结 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD×AB=mn=AE·AC,即

AD = AC

AE . AB

又∠DAE=∠CAB,从而△ADE~△ACB. 因此∠ADE=∠ACB.所以 C,B ,D,E 四点共圆. (2)m=4,n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连 结 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 1 由于∠A=90°,故 GH∥AB,HF∥AC.从而 HF=AG=5,DF= ×(12-2)=5.故 C,B,D, 2
2

E 四点所在圆的半径为 5 2.
7. 如图,圆 O 是△ABC 的外接圆,延长 BC 边上的高 AD 交圆 O 于点

E,H 为△ABC 的垂心.求证:DH=DE.
证明 连结 CE,CH.因为 H 为△ABC 的垂心,所以∠ECD=∠BAD =90°-∠ABC, ∠HCD=90°-∠ABC,所以∠ECD=∠HCD. 又因为 CD⊥HE,CD 为公共边, 所以△HDC≌△EDC,所以 DH=DE. 8. 已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于 点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB、FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=3 3, 求 AD 的长. (1)证明 ∵AD 平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC. ∵四边形 AFBC 内接于圆,∴∠DAC=∠FBC. ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,
3

∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC. (2)解 ∵AB 是圆的直径,∴∠ACD=90°. 1 ∵∠EAC=120°,∠DAC= ∠EAC=60°,∠D=30°. 2 在 Rt△ACB 中,∵BC=3 3,∠BAC=60°,∴AC=3, 又在 Rt△ACD 中,∠D=30°,AC=3,∴AD=6. 9. 如图,从圆 O 外一点 P 作圆 O 的两条切线,切点分别为 A、B,AB 与 OP 交于点 M,设 CD 为过点 M 且不过圆心 O 的一条弦,求证:O、C、P、D 四点共 圆. 证明 ∵PA、PB 为圆 O 的两条切线,∴OP 垂直平分弦 AB,∴

AM=BM.在 Rt△OAP 中,OM·MP=AM2,在圆 O 中,AM·BM= CM·DM,∴OM·MP=CM·DM,又弦 CD 不过圆心 O,∴O、C、P、D 四点共圆.
10. 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的 延长线交⊙O 于 N,过点 N 的切线交 CA 的延长线于 P. (1)求证:PM =PA·PC; (2)若⊙O 的半径为 2 3,OA= 3OM,求 MN 的长. (1)证明 连结 ON.因为 PN 切⊙O 于 N, 所以∠ONP=90°. 所以∠ONB+∠BNP=90°. 因为 OB=ON,所以∠OBN=∠ONB. 因为 BO⊥AC 于 O,所以∠OBN+∠BMO=90°. 所以∠BNP=∠BMO=∠PMN.所以 PM=PN. 所以 PM =PN =PA·PC. (2)解 OM=2,BO=2 3,BM=4. 因为 BM·MN=CM·MA=(2 3+2)(2 3-2)=8, 所以 MN=2. 11. 如图,已知 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点,
2 2 2

CH⊥AB 于点 H,直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D,E 为 CH 的中点,连接 AE 并延长交 BD 于点 F,
直线 CF 交直线 AB 于点 G. (1)求证:点 F 是 BD 的中点; (2)求证:CG 是⊙O 的切线; (3)若 FB=FE=2,求⊙O 的半径.
4

(1)证明 ∵CH⊥AB,DB⊥AB, ∴△AEH∽△AFB,△ACE∽△ADF. ∴ = =

EH AE CE .∵HE=EC,∴BF=FD. BF AF FD

即点 F 是 BD 的中点. (2)证明 连接 CB、OC, ∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∵F 是 BD 的中点,∴∠CBF=∠FCB. ∵∠CBF=∠BAC,∠BAC=∠ACO,∴∠FCB=∠ACO. ∵∠ACO+∠OCB=90°,∴∠BCF+∠OCB=90°. ∴∠OCF=90°.∴CG 是⊙O 的切线. (3)解 由 FC=FB=FE,得 ∠FCE=∠FEC. ∵∠G+∠GCH=90°, ∠FAG+∠FEC=90°, ∴∠FAG=∠G. ∴FA=FG,∵FB⊥AG,∴AB=BG. 由切割线定理,得 (2+FG) =BG·AG=2BG .① 在 Rt△BGF 中,由勾股定理,得
2 2

BG2=FG2-BF2.②
由①②,得 FG -4FG-12=0. 解得 FG=6 或 FG=-2(舍去). ∴AB=BG=4 2.∴⊙O 的半径为 2 2. 12.如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2).圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点
2

C(O1 不在 AB 上).求证:AB∶AC 为定值.

证明 连结 AO1,并延长分别交两圆于点 E 和点 D.连结 BD,CE.

5

因为圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,所以点 O2 与 AD 上, 故 AD,AE 分别为圆 O1,圆 O2 的直径. π 从而∠ABD=∠ACE= .所以 BD∥CE, 2

AB AD 2r1 r1 于是 = = = . AC AE 2r2 r2
∴AB∶AC 为定值.

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