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充分条件和必要条件


充分条件和必要条件

阳谷二中高二数学组

一、复习引入
1、四种命题 原命题: 若 p 则 q

逆命题: 若 q 则 p
否命题: 若 ? 则 ? p q 逆否命题:若 ? 则? q p 2、写出命题“若a=0,则a· b=0”的逆命题,并判断真假。

逆命题:若a· ,则a=0 (假命题) b=0
原命题:若a=0,则a· b=0 (真命题)

a ?b ? 0 ? a ? 0 a ? 0 ? a ?b ? 0

二、新课讲授
p 1、一般地:若p则q为真,记作: ? q 或 q ? p p 若p则q为假,记作: ? q

例 如

(1)如果两个三角形全等,那么两三角形 真命题 面积相等。

两个三形全等
(2)“若 2 ? 1 x
2

? 两三角形面积相等
则 x ?1 ”为假命题

x ?1 ? x ?1

练习一 用符号“? ”或“ ?
(1)x=0 (2)xy=0

”填空

? ?

xy=0 x=0

(3)两个角相等

?

两个角是对顶角

(4)两个角是对顶角 (5) x ? 1

? ? ?

两个角相等

x ?2

(6)

1? ? x

动动 手

x ?1

二、新课讲授
2、充分条件与必要条件

一般地,如果已知

p ? q那么我们就说

p是q的充分条件, q是p的必要条件。 例 如
两个三形全等

? 两三角形面积相等。

“两个三形全等”是“两三角形面积相 等”的充分条件 “两三角形面积相等”是“两个三形全 等 ”的必要条件

三、举例应用
例题1 指出下列各组命题中,哪些命题中的p是q 的充分条件?

(1) p : x ? y

q : x2 ? y2

p : x2 ? y2 ? 0 (2) q:x? y ?0 (3)p:两个角是对顶角,
q:两个角相等

(请同学们先独立思考 再小组讨论,然后小组 代表回答)

(4)p: a=0 q: a· b=0
(5)p:两个三角形全等, q:两个三角形面积相等

q是p的必要 条件?

以上均是

例2:下列“若P,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是 p的必要条件? 2 (1)若x=1,则 x ? 4 x ? 3 ? 0 ; (2)若f(x)=x,则f(x)在(-∞,+ ∞)上为增函数; (3)若x为无理数,则 x 2 为无理数 (先独立思考在小组讨论最后代表发言) 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题, 故命题(1)(2)中的q为p的必要条件,p是q的充分 条件。

练习二
指出下列各组命题中,哪些命题中的p是q 的必要条件? (先独立思考在小组讨论最后代表发言)

(1) p: x2=9 q: x= -3 (2) p: 三角形是直角三角形

答案
(1)p是q的必要条件q是p 的充分条件 不是必要条件

q:三角形有一个角等于60? (2)p不是q的充分条件也 (3) p:三角形的三条边相等
q:三角形的三个角相等
(3)q是p的充分条件p是q 的必要条件

反馈练习
指出下列各组命题中,哪些命题中的p是q 的充分条件? (先独立思考在小组讨论最后代表发言) (1) p : a ? Q q : a ? R (2)

p:a?R

q : a ?Q
q:两直线平行 q:内错角相等

(3) p:内错角相等 (4) p:两直线平行 (5) p : x ? ?1

q : x2 ? 1

小 结
p 1、一般地:若p则q为真,记作: ? q 或q ? p 若p则q为假,记作: p ? q

2、充分条件与必要条件 一般地,如果已知

p ? q那么我们就说

p是q的充分条件, q是p的必要条件。
作业:P10 练习 1 ,2

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