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1.3 正弦定理、余弦定理的应用(1)


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1.3
教学目标:

正弦定理、余弦定理的应用(1)
江苏省靖江高级中学 刘丽云

1.能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形中的有关问题; 2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题,并能应用正弦、余弦定理及 相关的三角公式解决这些问题; 3.通过

复习、小结,使学生牢固掌握两个定理,应用自如.

教学重、难点: 能熟练应用正弦、 余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题,牢固掌握两 个定理,应用自如.

教学过程: 一、复习:正弦定理、余弦定理及其变形形式,解斜三角形的要求和常用方 法. 1.正弦定理、三角形面积公式:
a b c ? ? ? 2R ; sin A sin B sin C
1 1 1 S ?ABC ? bc sin A ? ab sin C ? ac sin B . 2 2 2

2.正弦定理的变形: (1) a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; (2) sin A ?
a b c , sin B ? , sin C ? ; 2R 2R 2R

(3) sin A : sin B : sin C ? a : b : c . 3.利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题: (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求其它的 边和角. 4.余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, cos A ?
b2 ? c 2 ? a 2 . 2bc

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5.应用余弦定理解以下两类三角形问题: (1)已知三边求三内角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个内角. 二、例题 (学生自主学习讨论后到黑板板演,教师规范解题格式) 例1 如图,为了测量河对岸两点 A,B 之间的距离,在河岸这边取点 C,

D, 测得∠ ADC=85°, ∠ BDC=60°, ∠ ACD=47°, ∠ BCD=72°, CD=100m. 设 A,B,C,D 在同一平面内,试求 A,B 之间的距离(精确到 1 m) . 解 在△ ADC 中,∠ ADC=85°,∠ ACD=47°,则∠ DAC=48°. 又 DC=100,由正弦定理,得
AC ? DC sin ?ADC 100sin 85? ? ≈134.05(m) . sin ?DAC sin 48?

在△ BDC 中, ∠ BDC=60° , ∠ BCD=72°, 则∠ DBC=48°. 又 DC=100,由正弦定理,得
BC ? DC sin ?BDC 100sin 60? ? ≈116.54(m) . sin ?DBC sin 48?

在△ ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ ACB =134.052+116.542-2×134.05×116.54cos25°≈3233.95, 所以 答 AB≈57(m) . A,B 两点之间的距离约为 57 m. 如图, 某渔轮在航行中不幸遇险, 发出呼救信号. 我

例2

海军舰艇在 A 处获悉后,测出该渔轮在方位角为 45° ,距离 为 10n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105° 的方向, 以 9n mile/h 的速度向小岛靠拢. 我海军舰艇立即以 21n mile /h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间 (角度精确到 0.1°,时间精确到 1min) . 解 设舰艇收到信号后 x h 在 B 处靠拢渔轮,则 AB=21x, BC=9x,又 AC=10,∠ ACB=45°+(180°-105°)=120°. 由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠ ACB,

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即(21x)2=102+(9x)2-2×10?9xcos120°. 化简,得 36x2-9x-10=0, 解得 x= 2 (h)=40(min) (负值舍去) . 3
BC sin ?ACB 9 x sin120? 3 3 , ? ? AB 21x 14

由正弦定理,得 sin ?BAC ?

所以∠ BAC≈21.8° ,方位角为 45°+21.8°=66.8°. 答 例3 舰艇应沿着方位角 66.8°的方向航行,经过 40min 就可靠近渔轮. 作用于同一点的三个力 F1,F2,F3 平衡.已知 F1=30N,F2=50N,

F1 与 F2 之间的夹角是 60° ,求 F3 的大小与方向(精确到 0.1° ) . 解 F3 应和 F1,F2 的合力 F 平衡, 所以 F3 和 F 在同一直线上,并且大小相等,方向相反. 如图,在△ OF1F 中,由余弦定理,得

F ? 302 ? 502 ? 2 ? 30 ? 50cos120? ? 70( N ) .
再由正弦定理,得 sin ?F1OF ?

50sin120? 5 3 , ? 70 14

所以∠ F1OF≈38.2°,从而∠ F1OF3≈141.8°. 答 F3 为 70N,F3 和 F1 间的夹角为 141.8°.

三、课题小结 解斜三角形问题即用正余弦定理求解,已知三角形边角的三个量(至少一条 边) ,即可求其余所有量,注意解的个数. 四、练习 课本 P21 习题 1.3 第 2,4 题. 五、布置作业 课本习题.

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