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2011届江苏高考数学仿真模拟押题卷14


2011 届高考数学仿真押题卷——江苏卷(14)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 复数 2+i 在复平面上对应的点在第 象限. i 2. 某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种,从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样 的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 . 3. 已知集合 A ? {x | x ? 5} ,集合 B ? {x | x ? a} ,若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的充分 不必要条件,则实数 a 的取值范围是 . 4. 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 5 , AA1=3,M 为线段 BB1 上的一动点,则当 AM+MC1 最小时,△AMC1 的面积为 .
开始 输入 n
S ?0

n?2




(第 4 题) 5 . 集 合 A ? { 3 , l2 oag B} , a b , A} ,B ? {2}, 则 若 ? ? { . A? B ? 6. 阅读如图所示的程序框,若输入的 n 是 100,则输出 的变量 S 的值是 . 7. 向量 a ? (cos10 ? ,sin10 ?), b ?(cos70 ?,sin 70 ?) , a ? 2b = 8. 方程 x lg( x ? 2) ? 1 有 是
2

S ?S ?n

输出 S

n ? n ?1
第 6 题图

结束



个不同的实数根.

9. 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若1 ≤ a5 ≤ 4 , 2 ≤ a6 ≤ 3 ,则 S 6 的取值范围 .

a2 x y2 2 2 10.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c,0)(c ? 0) ,作圆: x ? y ? 的 4 a b ??? 1 ??? ??? ? ? ? 切线,切点为 E ,直线 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? (OF ? OP) ,则双曲线的 2
离心率为 . 2 11.若函数 f ? x ? ? mx ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是 . ???? ? ? ???? ??? ???? ? ? 1? , ? , ON =(0,1),O 为坐标原点,动点 P(x,y)满足 0≤ OP ? OM ≤1, 12.设 OM = ?1 2? ? ??? ???? ? 0≤ OP ? ON ≤1,则 z=y-x 的最小值是 . 13.设周期函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若 f ( x) 的最小正周期为 3,且满足 f (1) >- 2, f (2) =m-

3 ,则 m 的取值范围是 m



d? d 2 ? x + ? a1 ? ? x +c≥0 的解集为[0,22], 2? 2 ? 则使数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 最大的正整数 n 的值是 .
14.等差数列 ?an ? 的公差为 d,关于 x 的不等式

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分. 15. (本题满分 14 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (1)求 sin C ; (2)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a .

3 . 4

16. (本题满分 14 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF ,

BE 与平面 ABCD 所成角为 60 0 .
(1)求证: AC ? 平面 BDE ; (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的 位置,使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论. E

F

D

C

A

B

17. (本题满分 14 分) 已知椭圆的中心为坐标原点, 短轴长为 2, 一条准线方程为 l:x ? 2 . ⑴ 求椭圆的标准方程;⑵ 设 O 为坐标原点,F 是椭圆的右焦点,点 M 是直线 l 上的动点, 过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值.

18.已知某种稀有矿石的价值 y (单位:元)与其重量 ? (单位:克)的平方成正比,且 3 克该种矿石的价值为 54000 元。⑴写出 y (单位:元)关于 ? (单位:克)的函数关系式; ⑵若把一块该种矿石切割成重量比为 1: 3 的两块矿石,求价值损失的百分率; ⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的百分率最大。 原有价值 ? 现有价值 (注:价值损失的百分率 ? ?100% ;在切割过程中的重量损耗忽略 原有价值 不计)

19. (本小题满分 16 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n =2- an ,n=1,2,3,?. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 =1, bn ?1 = bn + an ,求数列 ?bn ? 的 且 通项公式; (3)设 cn =n (3- bn ),求数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .

20. (本题满分 16 分) 已知 k ? R ,函数 f ( x) ? m x ? k ? n x (0 ? m ? 1,0 ? n ? 1) . (1) 如果实数 m, n 满足 m ? 1, mn ? 1 ,函数 f ( x) 是否具有奇偶性?如果有,求出相应的 k 值,如果没有,说明为什么? (2) 如果 m ? 1 ? n ? 0, 判断函数 f ( x) 的单调性; (3) 如果 m ? 2 , n ?
1 ,且 k ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 的对称轴或对称中心. 2

参考答案 1. 四 2. 6

? ?12, 42?
10.

3. a ? 5

4.

3

5. {2,3,4}

6. 5049

7. 3

8. 2

9.

1 12.-1 13. (?? , ?1) ? (0 , 3) 14.11 2 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)

10 2

11. m≥

在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 cos 2C ? ? (1)求 sin C ; (2)当 c ? 2a ,且 b ? 3 7 时,求 a .

3 . 4

3 7 2 .所以 sin C ? . ?????? 2 分 4 8 14 因为在 ?ABC 中, sin C ? 0 ,所以 sin C ? . ????????4 分 4 1 14 (2)因为 c ? 2a ,所以 sin A ? sin C ? . ????????????6 分 2 8 2 5 2 因为 ?ABC 是锐角三角形,所以 cos C ? , cos A ? . ??????8 分 4 8
解: (1)由已知可得 1 ? 2sin C ? ?
2





s B?

?

?s A

?

?

1 8

?

3 7 . 11 分 i 8

A

i

由正弦定理可得:

3 7 a ? ,所以 a ? 14 . sin B sin A

???????14 分

说明:用余弦定理也同样给分. 16. (本题满分 14 分) 如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面 ABCD , AF // DE , DE ? 3 AF . (1)求证: AC ? 平面 BDE ; E (2)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置, 使得 AM // 平面 BEF ,并证明你的结论. 16.(1)证明:因为 DE ? 平面 ABCD , 所以 DE ? AC . ????????2 分 因为 ABCD 是正方形, F 所以 AC ? BD ,因为 DE ? BD ? D ??????4 分 D 从而 AC ? 平面 BDE . ????????6 分 (2)当 M 是 BD 的一个三等分点,即 3BM=BD 时,AM∥平面 A B BEF. ????7 分 取 BE 上的三等分点 N,使 3BN=BE,连结 MN,NF,则 DE∥ MN,且 DE=3MN, 因为 AF∥DE,且 DE=3AF,所以 AF∥MN,且 AF=MN, 故四边形 AMNF 是平行四边形. ??????????????10 分 所以 AM∥FN, 因为 AM ? 平面 BEF,FN ? 平面 BEF, ????????????????12 分

C

所以 AM∥平面 BEF. ????????????????14 分 17.(本题满分 14 分) 已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为 2,一条准线方程为 l: x ? 2 . ⑴ 求椭圆的标准方程; ⑵ 设 O 为坐标原点,F 是椭圆的右焦点,点 M 是直线 l 上的动点,过点 F 作 OM 的垂线 与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长为定值. 解:⑴∵椭圆 C 的短轴长为 2,椭圆 C 的一条准线为 l: x ? 2 , ∴不妨设椭圆 C 的方程为 分)

x2 a2 1 ? c2 (2 ∴ ( 即 (5 ? ? 2 , 4 分) c ? 1 . ? y 2 ? 1 . 分) c c a2

x2 ∴椭圆 C 的方程为 (6 ? y 2 ? 1 . 分) 2 ⑵ F(1,0) ,右准线为 l: x ? 2 , 设 N ( x0 , y0 ) , y0 y 则直线 FN 的斜率为 k FN ? ,直线 ON 的斜率为 kON ? 0 , 分) (8 x0 ? 1 x0 x ?1 ∵FN⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ? 0 , 分) (9 y0
∴直线 OM 的方程为: y ? ?

x0 ? 1 2( x0 ?1) x ,点 M 的坐标为 M (2, ? ) . (11 分) y0 y0

2( x0 ? 1) y0 ∴直线 MN 的斜率为 k MN ? . (12 分) x0 ? 2 2( x0 ? 1) y0 ? y0 y ? 0 ? ?1 , ∵MN⊥ON,∴ kMN ? kON ? ?1, ∴ x0 ? 2 x0 y0 ?
∴ y0 2 ? 2( x0 ? 1) ? x0 ( x0 ? 2) ? 0 , x0 2 ? y0 2 ? 2 . 即 (13 分) ON ? ∴

2 为定值. (14

分) 说明:若学生用平面几何知识(圆幂定理或相似形均可)也得分,设垂足为 P,准线 l 与 x 轴交于 Q,则有 ON 2 = OPgOM ,又 OPg OM = OF g = 2 ,所以 ON = OQ
2

2 为定值.

6 解⑴依题意设 y ? k? (? ? 0) ,又当 ? ? 3 时, y ? 54000 ,∴ k ? 6000 , 故 y ? 6000? (? ? 0) 。
2

⑵设这块矿石的重量为 a 克,由⑴可知,按重量比为 1: 3 切割后的价值 为 6000( a) ? 6000( a) ,价值损失为 6000a ? (6000( a) ? 6000( a) ) ,
2 2 2 2 2

1 4

3 4

1 4

3 4

1 3 6000a 2 ? [6000( a) 2 ? 6000( a) 2 ] 4 4 价值损失的百分率为 ?100% ? 37.5% 。 6000a 2
⑶解法 1:若把一块该种矿石按重量比为 m : n 切割成两块,价值损失的百分率应为

m?n 2 ) m 2 n 2 2mn 2mn 1 2 ,又 1 ? [( ) ?( ) ]? ? ? ,当且仅当 m ? n 时 2 2 2 m?n m?n ( m ? n) ( m ? n) ( m ? n) 2 2?(
取等号,即重量比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大。 解法 2:设一块该种矿石切割成两块,其重量比为 x :1 ,则价值损失的百分率为

x 2 1 2 2x 2 ,又 x ? 0 ,∴ x ? 1 ? 2 x , 1 ? [( ) ?( ) ]? 2 1? x 1? x x ? 2x ?1 2x 2x 1 故 2 ? ? ,等号当且仅当 x ? 1 时成立。 x ? 2x ?1 2x ? 2x 2
答:⑴函数关系式 y ? 6000? (? ? 0) ; ⑵价值损失的百分率为 37.5% ;
2

⑶故当重量比为 1:1 时,价值损失的百分率达到最大。

19. (1)因为 n=1 时, a1 + S1 = a1 + a1 =2,所以 a1 =1. 因为 S n =2- an ,即 an + S n =2,所以 an ?1 + Sn?1 =2. 两式相减: an ?1 - an + Sn?1 - S n =0,即 an ?1 - an + an ?1 =0,故有 2an ?1 = an . 因为 an ≠0,所以

an ?1 1 = ( n∈ N ? ). an 2
n?1

1 ?1? 所以数列 ?an ? 是首项 a1 =1,公比为 的等比数列, an = ? ? 2 ?2?

( n∈ N ? ).
n?1

?1? (2)因为 bn ?1 = bn + an ( n=1,2,3,?),所以 bn ?1 - bn = ? ? ?2?

.从而有

1 ?1? ?1? b2 ? b1 =1, b3 ? b2 = , b4 ? b3 = ? ? ,?, bn ? bn ?1 = ? ? 2 ?2? ?2?
将这 n-1 个等式相加,得
n?1

2

n? 2

( n=2,3,?).

?1? 1? ? ? 2 n? 2 1 ?1? 2 ?1? bn - b1 =1+ + ? ? +?+ ? ? = ? ? 1 2 ?2? ?2? 1? 2
?1? 又因为 b1 =1,所以 bn =3- 2 ? ? ?2?
n?1

?1? =2- 2 ? ? ?2?

n?1



( n=1,2,3,?).

?1? (3)因为 cn =n (3- bn )= 2n ? ? ?2?

n ?1



2 n?2 n ?1 ?? 1 ? 0 ?1? ?1? ?1? ?1? ? 所以 Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? n ? ? ? . ?2? ?2? ?2? ?2? ? ?? 2 ? ? ? 2 3 n ?1 n ?? 1 ?1 1 ?1? ?1? ?1? ?1? ? 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? n ? ? ? . Tn = 2 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2? ? ?? 2 ? ? ?





?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ?1? ①-②,得 Tn = 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?
0 2

n?1

n ? ?1? ? - 2n ? ? . ?2? ? ?

?1? 1? ? ? n n 8 1 2 ?1? ?1? 故 Tn = 4 ? ? - 4 n ? ? =8- n - 4 n ? ? =8- (8 ? 4n) n ( n=1,2,3,?). 1 2 2 ?2? ?2? 1? 2

n

20. (本题满分 16 分) 已知 k ? R ,函数 f ( x) ? m x ? k ? n x (0 ? m ? 1,0 ? n ? 1) . (1) 如果实数 m, n 满足 m ? 1, mn ? 1 ,函数 f ( x) 是否具有奇偶性?如果有, 求出相应的 k 值;如果没有,说明为什么? (2) 如果 m ? 1 ? n ? 0, 判断函数 f ( x) 的单调性; 1 (3) 如果 m ? 2 , n ? ,且 k ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 的对称轴或对称中心. 2 解: (1)如果 f ( x) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x), m? x ? k ? n? x ? m x ? k ? n x 恒成立, 分) (1 即: n x ? k ? m x ? m x ? k ? n x , (n x ? m x ) ? k (m x ? n x ) ? 0 , (n x ? m x )(k ? 1) ? 0 (2 分) 由 n x ? m x ? 0 不恒成立,得 k ? 1. (3 分) 如果 f ( x) 为奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x), m? x ? k ? n? x ? ?m x ? k ? n x 恒成立, 分) (4 即: n x ? k ? m x ? ?m x ? k ? n x , (n x ? m x ) ? k (m x ? n x ) ? 0 , (5 分)

(n x ? m x )(k ? 1) ? 0 , 由 n x ? m x ? 0 恒成立,得 k ? ?1. (6 分)
(2)? m ? 1 ? n ? 0, 分)
m 当 k ? 0 时, f ?( x) ? mx ln m ? kn x ln n ? [( ) x ln m ? k ln n)]n x ? 0 , n m x m x ln n 由 n x ? 0, 得 ( ) ln m ? k ln n ? 0, 得 ( ) ? ?k ? ?k log m n, 得 x ? log m (?k logm n) . n n ln m n

m (8 ? 1 , ∴ 当 k ? 0 时,显然 f ( x) ? mx ? k ? n x 在 R 上为增函数; n

(9 分) ∴当 x ? (??,log m (?k logm n)] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; (10 分)
n

当 x ?[log m (?k logm n), ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. (11 分)
n

(3) 当 m ? 2, n ?

1 时, f ( x) ? 2 x ? k ? 2? x , 2 如果k ? 0, f ( x) ? 2 x ? k ? 2? x ? 2 x ? (?k ) ? 2? x ? 2 x ? 2log2 ( ? k ) ? 2? x ? 2 x ? 2log2 ( ? k ) ? x , 分) (13 1 则 f (log2 (?k ) ? x) ? ? f ( x), ∴函数 y ? f ( x) 有对称中心 ( log2 (?k ),0). (14 分) 2 log2 k log2 k ? x x ?x x ?x x ?2 ? 2 ? 2 , (15 分) 如果 k ? 0, f ( x) ? 2 ? k ? 2 ? 2 ? 2 1 则 f (log2 k ? x) ? f ( x), ∴函数 y ? f ( x) 有对称轴 x ? log 2 k .(16 分) 2


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