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2012届高三数学一轮复习第八章平面解析几何8-6


第8章
一、选择题

第6节

x2 y2 1.(2010·湖北黄冈)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值 6 2 为( ) A.-2 C.-4 [答案] D [解析] 椭圆中,a2=6,b2=2,∴c= a2-b2=2, p ∴右焦点(2,0),由题意知 =2,∴p=4. 2 2.已知点 M

是抛物线 y2=2px(p>0)上的一点,F 为抛物线的焦点,若以|MF|为直径作 圆,则这个圆与 y 轴的关系是( A.相交 C.相离 [答案] B [解析] 如图,由 MF 的中点 A 作准线 l 的垂线 AE,交直线 l 于点 E,交 y 轴于点 B; 由点 M 作准线 l 的垂线 MD,垂足为 D,交 y 轴于点 C, ) B.相切 D.以上三种情形都有可能 B.2 D.4

则 MD=MF,ON=OF, OF+CM ON+CM ∴AB= = 2 2 = DM MF = , 2 2

∴这个圆与 y 轴相切. 3.(2010·山东文)已知抛物线 y2=2px(p>0),过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 C.x=2 [答案] B B.x=-1 D.x=-2 )

x1+x2 y1+y2 y1+y2 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 的中点( , ),∴ =2,∵A、 2 2 2 B 在抛物线 y2=2px 上,
? 2 ?y1 =2px1 ① ∴? 2 ?y2 =2px2 ② ?

①-②得 y12-y22=2p(x1-x2), ∴kAB= y1-y2 2p p = = ,∵kAB=1,∴,p=2 x1-x2 y1+y2 2

∴抛物线方程为 y2=4x,∴准线方程为:x=-1,故选 B. x2 y2 4.双曲线 - =1 的渐近线上一点 A 到双曲线的右焦点 F 的距离等于 2,抛物线 y2 9 4 =2px(p>0)过点 A,则该抛物线的方程为( A.y2=9x 4 13 C.y2= x 13 [答案] C x2 y2 2 [解析] ∵双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,F 点坐标为( 13,0),设 A 点坐标 3 9 4 2 为(x,y),则 y=± x,由|AF|=2? 3 2 9 6 (x- 13)2+?3x?2=2?x= ,y=± ,代入 y2=2px ? ? 13 13 ) B.y2=4x 2 13 D.y2= x 13

2 13 4 13 得 p= ,所以抛物线方程为 y2= x,所以选 C. 13 13 5. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点, 则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线 准线的距离之和的最小值为( A. 17 2 ) B.3 9 D. 2

C. 5 [答案] A

1 [解析] 记抛物线 y2=2x 的焦点为 F?2,0?, 由抛物线的定义知点 P 到焦点 F ? ? 准线是 l, 的距离等于它到准线 l 的距离, 因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离 之和的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值, 结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 与点(0,2)的距离,因此所求的最小值等于

?1?2+22= 17,选 A. ? 2? 2
6.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F, 准线为 l, 过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线, 垂足为 M, 若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 3?1, 则点 A 的坐标为( )

A.(2,2 2) C.(2,± 2) [答案] D

B.(2,-2 2) D.(2,±2 2)

[解析] 如图, 由题意可得, |OF|=1, 由抛物线定义得, |AF|=|AM|, ∵△AMF 与△AOF(其 中 O 为坐标原点)的面积之比为 3∶1,

1 ×|AF|×|AM|×sin∠MAF 2 S△AMF ∴ = =3, S△AOF 1 ×|OF|×|AF|×sin(π-∠MAF) 2 y02 y02 ∴|AM|=3,设 A? 4 ,y0?,∴ +1=3, ? ? 4 y02 解得 y0=±2 2,∴ =2, 4 ∴点 A 的坐标是(2,±2 2),故选 D. 7.(2010·河北许昌调研)过点 P(-3,1)且方向向量为 a=(2,-5)的光线经直线 y=-2 反射后通过抛物线 y2=mx,(m≠0)的焦点,则抛物线的方程为( A.y2=-2x C.y2=4x [答案] D → [解析] 设过 P(-3,1),方向向量为 a=(2,-5)的直线上任一点 Q(x,y),则PQ∥a, ∴ x+3 y-1 = ,∴5x+2y+13=0,此直线关于直线 y=-2 对称的直线方程为 5x+2(-4- 2 -5 3 B.y2=- x 2 D.y2=-4x )

m y)+13=0,即 5x-2y+5=0,此直线过抛物线 y2=mx 的焦点 F? 4 ,0?,∴m=-4,故选 ? ? D. 8.已知 mn≠0,则方程是 mx2+ny2=1 与 mx+ny2=0 在同一坐标系内的图形可能是 ( )

[答案] A m [解析] 若 mn>0,则 mx2+ny2=1 应为椭圆,y2=- x 应开口向左,故排除 C、D;∴ n m mn<0,此时抛物线 y2=- x 应开口向右,排除 B,选 A. n 9.(2010·山东聊城模考)已知 A、B 为抛物线 C:y2=4x 上的不同两点,F 为抛物线 C → → 的焦点,若FA=-4FB,则直线 AB 的斜率为( 2 A.± 3 3 C.± 4 [答案] D → → → → [解析] ∵FA=-4FB, ∴|FA|=4|FB|, 设|BF|=t, 则|AF|=4t, ∴|BM|=|AA1|-|BB1|=|AF| -|BF|=3t,又|AB|=|AF|+|BF|=5t,∴|AM|=4t, 3 B.± 2 4 D.± 3 )

4 4 ∴tan∠ABM= ,由对称性可知,这样的直线 AB 有两条,其斜率为± . 3 3 1 10.已知抛物线 C 的方程为 x2= y,过点 A(0,-4)和点 B(t,0)的直线与抛物线 C 没有 2 公共点,则实数 t 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.?-∞,- )

?

2? ? 2 ? ∪ ,+∞ 2? ?2 ?

C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,-2 2)∪( 2,+∞) [答案] B

[解析]

?x =2y 由题意知方程组? x y ? t +-4=1
2

1

① 无实数解 ②

4x 由②得 y= -4,代入①整理得, t 4x 16 2x2- +4=0,∴?= 2 -32<0, t t ∴t> 2 2 或 t<- ,故选 B. 2 2

1 [点评] 可用数形结合法求解,设过点 A(0,-4)与抛物线 x2= y 相切的直线与抛物线 2 切点为 M(x0,y0), 则切线方程为 y-y0=4x0(x-x0), ∵过 A 点,∴-4-2x02=4x0(0-x0), ∴x0=± 2,∴y0=4, ∴切线方程为 y-4=±4 2x-8, 令 y=0 得 x=± 2 2 ,即 t=± , 2 2 2 2 或 t> . 2 2

由图形易知直线与抛物线无公共点时,t<- 二、填空题

→ → 11.已知点 A(2,0)、B(4,0),动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动,则AP·BP取得最小值时 的点 P 的坐标是______. [答案] (0,0) [解析]
2

设 P?
4

y2 y2 y2 -y2 ? → → → → ,y ,则AP=?- 4 -2,y?,BP=?- 4 -4,y?,AP·BP=?- 4 -2? ? ? ? ? ? ? ? 4 ?

?-y -4?+y2= y +5y2+8≥8,当且仅当 y=0 时取等号,此时点 P 的坐标为(0,0). ? 4 ? 16 2
12. (文)(2010·泰安市模拟)如图, 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l,交抛物线于 A、B 两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是________.

[答案] y2=3x [解析] 设抛物线准线为 l,作 AA1⊥l,BB1⊥l,FQ⊥l,垂足分别为 A1、B1、Q,作 BM t ⊥AA1 垂足为 M,BM 交 FQ 于 N,则由条件易知∠ABM=30°,设|BF|=t,则|NF|= ,|MA| 2



t+3 t+3 t 3 ,∵|AM|=|QN|,∴3- =p- ,∴p= ,∴抛物线方程为 y2=3x. 2 2 2 2 (理)(2010·泰安质检)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线 l 依次交抛物线及其准

线于点 A、B、C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.

[答案] y2=3x [解析] 解法 1:过 A、B 作准线垂线,垂足分别为 A1,B1,则|AA1|=3,|BB1|=|BF|, ∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴|AC|=2|AA1|=2|AF|=6,∴|CF|=3, 3 1 ∴p= |CF|= ,∴抛物线方程为 y2=3x. 2 2 解法 2: 由抛物线定义, |BF|等于 B 到准线的距离, 由|BC|=2|BF|得∠BCB1=30°, 又|AF| =3, 3 p 3 3 3? 从而 A? + , 在抛物线上,代入抛物线方程 y2=2px,解得 p= . 2 ?2 2 2 ? 1 p 点评:还可以由|BC|=2|BF|得出∠BCB1=30°,从而求得 A 点的横坐标为|OF|+ |AF|= 2 2 3 p p 3 p 3 + 或 3- ,∴ + =3- ,∴p= . 2 2 2 2 2 2 13.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A、B 两点.设 |FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于________. [答案] 3+2 2 [解析] 分别由 A 和 B 向准线作垂线,垂足分别为 A1,B1,则由条件知,

?|AA1|= 4 |AB| ?|AA1|+|BB1|=|AB|, ? ? ? ,解得? 2 2- 2 ?|AA1|-|BB1|= 2 |AB| ? ?|BB1|= 4 |AB| ?
2+ 2 ∴ |AA1| |FA| =3+2 2,即 =3+2 2. |BB1| |FB|



14.(文)若点(3,1)是抛物线 y2=2px 的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为 2, 则 p=________. [答案] 2 [解析] 设弦两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),

?y12=2px1 ? y1-y2 2p 则? 2 ,两式相减得, = =2, x1-x2 y1+y2 ? ?y2 =2px2

∵y1+y2=2,∴p=2. (理)(2010·衡水市模考)设抛物线 x2=12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相 交于 A、B 两点,又知点 P 恰为 AB 的中点,则|AF|+|BF|=________. [答案] 8 [解析] 过 A、B、P 作准线的垂线 AA1、BB1 与 PP1,垂足 A1、B1、P1,则|AF|+|BF| =|AA1|+|BB1|=2|PP1|=2[1-(-3)]=8.

三、解答题 x2 y2 3 15.(文)若椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率等于 ,抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦 4 b 2 点在椭圆 C1 的顶点上. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)若过 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E、F 两点,又过 E、F 作抛物线 C2 的切线 l1、l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程. [解析] (1)已知椭圆的长半轴长为 a=2,半焦距 c= 4-b2, 4-b2 c 3 由离心率 e= = = 得,b2=1. 2 a 2 ∴椭圆的上顶点为(0,1),即抛物线的焦点为(0,1), ∴p=2,抛物线的方程为 x2=4y. (2)由题知直线 l 的斜率存在且不为零,则可设直线 l 的方程为 y=k(x+1),E(x1,y1), F(x2,y2), 1 1 ∵y= x2,∴y′= x, 4 2 1 1 ∴切线 l1,l2 的斜率分别为 x1, x2, 2 2 1 1 当 l1⊥l2 时, x1· x2=-1,即 x1·x2=-4, 2 2

?y=k(x+1) ? 由? 2 得:x2-4kx-4k=0, ? ?x =4y

由 ?=(-4k)2-4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0. 又 x1·x2=-4k=-4,得 k=1. ∴直线 l 的方程为 x-y+1=0. → → → → 1 → → (理)在△ABC 中,CA⊥CB,OA=(0,-2),点 M 在 y 轴上且AM= (AB+CD),点 C 2 在 x 轴上移动. (1)求 B 点的轨迹 E 的方程; 1 → 1→ (2)过点 F?0,-4?的直线 l 交轨迹 E 于 H、E 两点,(H 在 F、G 之间),若FH= HG, ? ? 2 求直线 l 的方程.

[解析] (1)设 B(x,y),C(x0,0),M(0,y0),x0≠0, π → → ∵CA⊥CB,∴∠ACB= , 2 2 y0 ∴ · =-1,于是 x02=2y0① x0 -x0 → 1 → → M 在 y 轴上且AM= (AB+AC), 2 所以 M 是 BC 的中点,可得

?x +x=0 2 ?y+0 ? 2 =y
0 0

?x0=-x ? ,∴? y ?y0=2 ③ ?



把②③代入①,得 y=x2(x≠0), 所以,点 B 的轨迹 E 的方程为 y=x2(x≠0). 1 (2)点 F?0,-4?,设满足条件的直线 l 方程为: ? ? 1 y=kx- ,H(x1,y1),G(x2,y2), 4

?y=kx-1 ? 4 消去 y 得,x2-kx+1=0. 由? 4 ?y=x2 ?

?=k2-1>0?k2>1, 1 1 → 1→ ∵FH= HG,即?x1,y1+4?= (x2-x1,y2-y1), ? ? 2 2 1 1 ∴x1= x2- x1?3x1=x2. 2 2 1 2 3 ∵x1+x2=k,x1x2= ,∴k=± , 4 3 故满足条件的直线有两条,方程为:8x+4 3y+ 3=0 和 8x-4 3y- 3=0. 16.(文)已知 P(x,y)为平面上的动点且 x≥0,若 P 到 y 轴的距离比到点(1,0)的距离小 1. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 M(m,0)的直线交曲线 C 于 A、B 两点,问是否存在这样的实数 m,使得以线 段 AB 为直径的圆恒过原点. [解析] (1)由题意得: (x-1)2+y2-x=1,化简得:y2=4x (x≥0). ∴点 P 的轨迹方程为 y2=4x(x≥0). (2)设直线 AB 为 y=k(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2),
?y=k(x-m) ? 由? 2 ,得 ky2-4y-4km=0, ? ?y =4x

4 ∴y1+y2= ,y1·y2=-4m.∴x1·x2=m2, k ∵以线段 AB 为直径的圆恒过原点, ∴OA⊥OB,∴x1·x2+y1·y2=0. 即 m2-4m=0?m=0 或 4.当 k 不存在时,m=0 或 4. ∴存在 m=0 或 4,使得以线段 AB 为直径的圆恒过原点. [点评] (1)点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1,即点 P 到定点 F(1,0)的距离 与到定直线 l:x=-1 的距离相等.∴P 点轨迹是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线,∴p=2, ∴方程为 y2=4x. (理)已知抛物线 y2=4x,过点(0,-2)的直线交抛物线于 A、B 两点,O 为坐标原点. → → (1)若OA·OB=4,求直线 AB 的方程. (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点(n,0),求 n 的取值范围. [解析] (1)设直线 AB 的方程为 y=kx-2 4=0① 4k+4 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2. k k 8 y1y2=(kx1-2)·(kx2-2)=k2x1x2-2k(x1+x2)+4=- . k (k≠0),代入 y2=4x 中得,k2x2-(4k+4)x+

4 8 → → ∵OA·OB=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2= 2- =4,∴k2+2k-1=0,解得 k=-1± 2. k k 1 又由方程①的判别式 ?=(4k+4)2-16k2=32k+16>0 得 k>- ,∴k=-1+ 2, 2 ∴直线 AB 的方程为( 2-1)x-y-2=0. (2)设线段 AB 的中点的坐标为(x0,y0),则由(1)知 x0= ∴线段 AB 的垂直平分线的方程是 2k+2 2 1 y- =- ?x- 2 ?. k k? k ? 2k+2 2 2 令 y=0,得 n=2+ 2 = 2+ +2 k k k 1 1 3 =2?k+2?2+ . ? ? 2 1 1 1 又由 k>- 且 k≠0 得 <-2,或 >0, k k 2 1 3 ∴n>2?0+2?2+ =2.∴n 的取值范围为(2,+∞). ? ? 2 17.(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (1)证明:点 F 在直线 BD 上; →→ 8 (2)设FA·FB= ,求△BDK 的内切圆 M 的方程. 9 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l 的方程为 x=my-1(m≠0) (1)将 x=my-1(m≠0)代入 y2=4x 并整理得 y2-4my+4=0,从而 y1+y2=4m,y1y2=4① y2+y1 直线 BD 的方程为 y-y2= (x-x2) x2-x1
2 4 ? y2 ? x- 即 y-y2= 4? y2-y1?

x1+x2 2k+2 2 = 2 ,y0=kx0-2= , 2 k k

y1y2 =1,所以点 F(1,0)在直线 BD 上. 令 y=0,得 x= 4 (2)由(1)知, x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2, x1x2=(my1-1)(my2-1)=1 → → →→ 因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FA·FB=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2) +1+4=8-4m2, 8 4 故 8-4m2= ,解得 m=± , 9 3

直线 l 的方程为 3x+4y+3=0,3x-4y+3=0. 4 从而 y2-y1=± (4m)2-4×4=± 7, 3 故 4 3 =± y2-y1 7

因而直线 BD 的方程为 3x+ 7y-3=0,3x- 7y-3=0. 因为 KF 为∠BKD 的角平分线,故可设圆心 M(t,0),(-1<t<1),M(t,0)到直线 l 及 BD 的 3|t+1| 3|t-1| 距离分别为 , , 5 4 由 3|t+1| 3|t-1| 3|t+1| 2 1 = 得 t= 或 t=9(舍去),故圆 M 的半径为 r= = , 5 4 9 5 3

1 4 所以圆 M 的方程为?x-9?2+y2= . ? ? 9 (理)(2010·揭阳市模考)已知点 C(1,0),点 A、B 是⊙O:x2+y2=9 上任意两个不同的点, → → 且满足AC·BC=0,设 P 为弦 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点: 它到直线 x=-1 的距离恰好等于到点 C 的距 离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.

1 → → [解析] (1)法一:连结 CP,由AC·BC=0 知,AC⊥BC,∴|CP|=|AP|=|BP|= |AB|, 2 由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2, 即|OP|2+|CP|2=9, 设点 P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9, 化简得,x2-x+y2=4.

法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 根据题意知,x12+y12=9,x22+y22=9,2x=x1+x2,2y=y1+y2, ∴4x2=x12+2x1x2+x22,4y2=y12+2y1y2+y22 故 4x2+4y2=(x12+y12)+(2x1x2+2y1y2)+(x22+y22)=18+2(x1x2+y1y2)① → → 又∵AC·BC=0,∴(1-x1,-y1)·(1-x2,-y2)=0 ∴(1-x1)×(1-x2)+y1y2=0,故 x1x2+y1y2=(x1+x2)-1=2x-1, 代入①式得,4x2+4y2=18+2(2x-1), 化简得,x2-x+y2=4. (2)根据抛物线的定义,到直线 x=-1 的距离等于到点 C(1,0)的距离的点都在抛物线 y2 p =2px 上,其中 =1,∴p=2,故抛物线方程为 y2=4x, 2
? 2 ?y =4x 得,x2+3x-4=0, 由方程组? 2 2 ?x -x+y =4 ?

解得 x1=1,x2=-4, 由于 x≥0,故取 x=1,此时 y=±2, 故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).


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