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北京市东城区2016-2017学年度高三二模理科数学试题及答案(word版)


北京市东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学(理科)
学校_________班级___________姓名___________考号_________ 本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)已知集合 A = {x | x2 - 4 < 0} ,则 ?R A = (A) {x | x ? 2 或 x ? 2} (C) {x | - 2 < x < 2} (2)下列函数中为奇函数的是 (A) y ? x ? cos x (C) y = x (B) y ? x ? sin x (D) y ? e?|x| (B) {x | x < - 2 或 x > 2}

x (D) {x | - 2 #

2}

ì x - y +1 ? 0, ? ? (3)若 x, y 满足 í x + y ? 0, 则 x + 2 y 的最大值为 ? ? ? y ? 0,
(A) - 1 (B) 0 (C)

1 2

(D) 2

(4)设 a , b 是非零向量,则“ a , b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知等比数列 {an } 为递增数列, Sn 是其前 n 项和.若 a1 + a5 = (A)

17 , a2 a4 = 4 ,则 S6 = 2
(D)

27 16

(B)

27 8

(C)

63 4

63 2

1

(6)我国南宋时期的数学家秦九韶(约 1202 - 1261 )在他的著作《数书九章》中提出了多 项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实 例.若输入的 n = 5 , v = 1 , x = 2 ,则程序框图计算的是 (A) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +1 (B) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 5 (C) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +1 (D) 2 + 2 + 2 + 2 +1
4 3 2 6 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2

开始 输入 n, v, x

i =n- 1 i =i- 1
v = v?x 1 i? 0
否 输出 v



结束 束 (7)动点 P 从点 A 出发,按逆时针方向沿周长为 l 的平面图形运动一周, A, P 两点间的距 离 y 与动点 P 所走过的路程 x 的关系如图所示,那么动点 P 所走的图形可能是
y

O

l 2

x

P

P A
A

P

P A

A

(A)

(B)

(C)

(D)

2

(8)据统计某超市两种蔬菜 A, B 连续 n 天价格分别为 a1 , a2 , a3 ,L , an 和 b1 , b2 , b3 ,L , bn ,

3 n ,则称蔬菜 A 在这 n 天 4 的价格低于蔬菜 B 的价格,记作: A p B ,现有三种蔬菜 A, B, C ,下列说法正确的是
令 M ? {m | am ? bm , m ? 1, 2,L , n} ,若 M 中元素个数大于 (A)若 A p B , B p C ,则 A p C (B)若 A p B , B p C 同时不成立,则 A p C 不成立 (C) A p B , B p A 可同时不成立 (D) A p B , B p A 可同时成立 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)复数 i(2 - i) 在复平面内所对应的点的坐标为 .

(10)在极坐标系中,直线 r cosq + 3r sinq +1 = 0 与圆 r = 2a cosq (a > 0) 相切, 则 a = _______. (11) 某校开设 A 类选修课 4 门,B 类选修课 2 门, 每位同学需从两类选修课中共选 4 门. 若 要求至少选一门 B 类课程,则不同的选法共有____种.(用数字作答) ( 12 )如图,在四边形 ABCD 中, ?ABD ? 45 , ?ADB ? 30 , BC ? 1 , DC ? 2 ,
? ?

cos ?BCD ?

1 ,则 BD = 4

;三角形 ABD 的面积为___________.
A

B

D

C

(13) 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 过抛物线 y = 4 x 的焦点 F , 且与该抛物线相交于 A, B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60 ,则 | OA |=
?

2



?| x ? 1|, x ? (0, 2], ? (14)已知函数 f ( x) ? ?min{| x ? 1|,| x ? 3 |}, x ? (2, 4], ?min{| x ? 3 |,| x ? 5 |}, x ? (4, ??). ?
① 若 f ( x) ? a 有且只有一个根,则实数 a 的取值范围是_______. ② 若关于 x 的方程 f ( x ? T ) ? f ( x) 有且仅有 3 个不同的实根, 则实数 T 的取值范围 是_______.

3

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin 2x ? a ? cos 2x ( a ? R ). (Ⅰ)若 f ( ) = 2 ,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 [

π 6

? 7? , ] 上单调递减,求 f ( x) 的最大值. 12 12

(16) (本小题共 13 分) 小明计划在 8 月 11 日至 8 月 20 日期间游览某主题公园. 根据旅游局统计数据, 该主题 公园在此期间“游览舒适度” (即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比, 40% 以下为舒适,40%—60%为一般,60%以上为拥挤)情况如图所示.小明随机选择 8 月 11 日至 8 月 19 日中的某一天到达该主题公园,并游览 2 天.

(Ⅰ)求小明连续两天都遇上拥挤的概率; (Ⅱ)设 X 是小明游览期间遇上舒适的天数,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大?(结论不要求证明)

4

(17) (本小题共 14 分) 如图,在几何体 ABCDEF 中,平面 ADE ^ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为菱形,且

?DAB ? 60? , EA = ED = AB = 2 EF , EF ∥ AB , M 为 BC 中点.
(Ⅰ)求证: FM ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求直线 CF 与平面 BDE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 CF 上是否存在点 G ,使 BG ^ DE ? 若存在,求 理由.

CG 的值;若不存在,说明 CF

E

F

D M A B

C

(18) (本小题共 13 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? ax ? a) ? e (a ? R) .
2 ?x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (- 1, f (- 1)) 处的切线方程;
2 (Ⅱ)设 g ( x) = x - x - 1 ,若对任意的 t ? [0, 2] ,存在 s ? [0, 2] 使得 f ( s) ? g (t ) 成立,

求 a 的取值范围.

5

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长为 2 3 ,右焦点为 F (1, 0) ,点 M 是椭 a 2 b2

圆 C 上异于左、右顶点 A, B 的一点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若直线 AM 与直线 x = 2 交于点 N , 线段 BN 的中点为 E . 证明: 点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上.

(20) (本小题共 13 分) 对于 n 维向量 A = (a1 , a2 ,?, an ) , 若对任意 i ? {1, 2,?, n} 均有 ai = 0 或 ai = 1, 则称 A 为 n 维 T 向量.对于两个 n 维 T 向量 A, B ,定义 d ( A, B) =

? | a - b |.
i =1 i i

n

(Ⅰ)若 A = (1, 0,1, 0,1) , B = (0,1,1,1, 0) ,求 d ( A, B) 的值. (Ⅱ) 现有一个 5 维 T 向量序列:A1 , A2 , A3 ,L , 若 A1 = 1 ( 1 ,1 ,1 ,1 ,) 且满足:d ( Ai , Ai +1 ) = 2 ,

i ? N* .求证:该序列中不存在 5 维 T 向量 (0,0,0,0,0) .
( Ⅲ ) 现 有 一 个 12 维 T 向 量 序 列 : A1 , A2 , A3 ,L , 若 A1 = (1,1, ? ,1)

? ? ? ? ?
12 个

且满足:

0, ?? , 0) , d ( Ai , Ai +1 ) = m , m ? N* , i = 1, 2,3,? ,若存在正整数 j 使得 A j = (0, ? ? ??
12 个

Aj 为 12 维 T 向量序列中的项,求出所有的 m .

6

东城区 2016-2017 学年度第二学期高三综合练习(二) 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (5)D (2)B (6)A (3)C (7)C (4)B (8)C

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) (1, 2) (12) 2 (10) 1 (11) 14 (14) (1, ??)

3-1

(13) 21

(?4, ?2) U (2, 4)

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( ) ? 3 sin 2 ? 所以

? 6

? ? ? a ? cos 2 ? =2 , 6 6

???3 分

3 1 + a? 2 2

2.

???5 分 ???6 分

所以 a = 1 . (Ⅱ)由题意 f ( x)= 3 ? a 2 (

3 3? a
2

sin 2 x ?

a 3 ? a2

cos 2 x)

? 3 ? a 2 sin(2 x ? ? ) ,其中 tan ? ?
所以 T ? ? ,且

a .???8 分 3

7? ? ? ? ? , ???9 分 12 12 2 ? ? ? 2 所以当 x ? 时, ymax ? f ( ) ? 3 ? a sin( ? ? ) . 12 12 6 ? 所以 ? = +2 k ?? k ? Z ? . ???10 分 3 a = 3 , a ? 3. 所以 tan ? ? ???11 分 3 π 所以 f ( x) = 2 3 sin(2 x + ) . ???12 分 3 所以 f ( x ) 的最大值为 2 3 . ????????13 分
(16) (共 13 分)

, 19 , ? 解:设 Ai 表示事件“小明 8 月 11 日起第 i 日连续两天游览主题公园” ( i =2
根据题意, P ( Ai ) =

).

1 ,且 Ai ? Aj = 乒 (i 9

j) .

????1 分

(Ⅰ)设 B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤” , 则 B = A4 ? A7 . ????2 分

7

所以 P ( B ) = P ( A4 ? A7 ) = P ( A4 ) + P ( A7 ) = (Ⅱ)由题意,可知 X 的所有可能取值为 0,1, 2 ,

2 . 9

????5 分 ????6 分

1 P( X = 0) = P( A4 ? A7 ? A8 ) = P( A4 ) + P( A7 ) + P( A8 ) = ,????7 分 3 4 P( X = 1) = P( A3 ? A5 ? A6 ? A9 ) = P( A3 ) + P( A5 ) + P( A6 ) + P( A9 ) = , 9
????8 分

2 P( X = 2) = P( A1 ? A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) = . 9
所以 X 的分布列为

????9 分

X

0

1

2

P

1 3 1 4 2 1? 2? 3 9 9

4 9

2 9
?????10 分

故 X 的期望 EX = 0 ?

8 .???????11 分 9

(Ⅲ)从 8 月 16 日开始连续三天游览舒适度的方差最大.????13 分 (17) (共 14 分) 解: (Ⅰ)取 CD 中点 N ,连结 MN , FN . 因为 N , M 分别为 CD, BC 中点, 所以 MN ∥ BD . 又 BD ? 平面 BDE 且 MN ? 平面 BDE , 所以 MN ∥平面 BDE , 因为 EF ∥ AB , AB = 2 EF , 所以 EF ∥ CD , EF = DN . 所以四边形 EFND 为平行四边形. 所以 FN ∥ ED . 又 ED ? 平面 BDE 且 FN ? 平面 BDE , 所以 FN ∥平面 BDE , 又 FN ? MN = N , 所以平面 MFN ∥平面 BDE . 又 FM ? 平面 MFN , 所以 FM ∥平面 BDE . ????4 分 ???3 分 ???2 分
A D M B N C E F

8

(Ⅱ)取 AD 中点 O ,连结 EO , BO . 因为 EA = ED ,所以 EO ^ AD . 因为平面 ADE ^ 平面 ABCD , 所以 EO ^ 平面 ABCD , EO ^ BO .
? 因为 AD = AB , ?DAB ? 60 ,

z

E

F

所以△ ADB 为等边三角形. 因为 O 为 AD 中点, 所以 AD ^ BO .
x A O

D B

C

y

OA, OB, OE 为 x, y, z 轴, 因为 EO, BO, AO 两两垂直, 设 AB ? 4 , 以 O 为原点,
如图建立空间直角坐标系 O ? xyz . ????6 分

由题意得, A(2, 0, 0) , B(0, 2 3,0) , C(- 4, 2 3,0) , D(- 2, 0, 0) , ???7 分 E(0,0, 2 3) , F (- 1, 3, 2 3) . ??? ? ??? ? ??? ? CF = (3, - 3, 2 3) , DE = (2,0, 2 3) , BE = (0, - 2 3, 2 3) . 设平面 BDE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ì ? y - z = 0, ? n ? BE 0, ì 则í 即í ???? ? ? x + 3z = 0. ? n ? DE 0, ?
令 z ? 1 ,则 y = 1 , x = - 3 . 所以 n = (- 3,1,1) . 设直线 CF 与平面 BDE 成角为 ? , ???9 分

??? ? 10 sin α =| cos < CF , n >= | 10
所以直线 CF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

10 . ????????10 分 10
?????11 分 ?????12 分

(Ⅲ)设 G 是 CF 上一点,且 CG ? ? CF , ? ? [0,1] . 因此点 G(3? ? 4, ? 3? ? 2 3, 2 3?) .

??? ?

??? ?

??? ? BG ? (3? ? 4, ? 3?, 2 3?) .
由 BG ? DE

??? ? ??? ?

4 0 ,解得 λ = . 9 CG 4 = .???14 分 CF 9

所以在棱 CF 上存在点 G 使得 BG ^ DE ,此时

9

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时,因为 f ( x) = x 2 ?e- x , 所以 f '( x) = (- x2 + 2 x)?e- x , ????1 分 ????2 分 ????3 分

f '(- 1) = - 3e .
又因为 f (- 1) = e ,

所以曲线 y = f ( x) 在点 (- 1, f (- 1)) 处的切线方程为

y - e = - 3e( x +1) ,即 3ex + y + 2e = 0 .

????????4 分

(Ⅱ) “对任意的 t ? [0, 2] , 存在 s ? [0, 2] 使得 f ( s) ? g (t ) 成立” 等价于 “在区间 [0, 2] 上, f ( x ) 的最大值大于或等于 g ( x) 的最大值” . ???????5 分

1 2 5 ) - , 2 4 所以 g ( x) 在 [0, 2] 上的最大值为 g (2) ? 1 .
因为 g ( x) = x - x - 1 = ( x 2

f '( x) = (2x + a)?e- x ( x2 + ax - a)?e- x = - e- x [ x2 + (a - 2) x - 2a] = - e- x ( x - 2)( x + a)
令 f '( x) = 0 ,得 x = 2 或 x = - a . ① 当 - a ? 0 ,即 a ? 0 时, ???????7 分

f '( x) ? 0 在 [0, 2] 上恒成立, f ( x) 在 [0, 2] 上为单调递增函数, f ( x) 的最大值为 f (2) = (4 + a) ?
由 (4 + a ) 壮2

1 , e2

1 1 ,得 a ? e2 4 . ?????9 分 e ② 当 0 < - a < 2 ,即 - 2 < a < 0 时, 当 x ? (0, ?a) 时, f '( x) < 0 , f ( x ) 为单调递减函数,

2) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 为单调递增函数. 当 x ? (?a,
所以 f ( x ) 的最大值为 f (0) = - a 或 f (2) = (4 + a ) ? 由 - a ? 1 ,得 a ? 1 ;由 (4 + a ) 壮2

1 , e2

1 1 ,得 a ? e2 4 . e 又因为 - 2 < a < 0 ,所以 - 2 < a ? 1 . ?????11 分 ③ 当 - a ? 2 ,即 a ? 2 时, f '( x) ? 0 在 [0, 2] 上恒成立, f ( x) 在 [0, 2] 上为单调递减函数,

f ( x) 的最大值为 f (0) = - a ,
由 - a ? 1 ,得 a ? 1 , 又因为 a ? 2 ,所以 a ? 2 .
2 综上所述,实数 a 的值范围是 a ? 1 或 a ? e

4 .????????13 分

10

(19) (共 14 分)

?b ? 3, ? 解: (Ⅰ)由题意得 ?c ? 1, 解得 a ? 2 . ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
所以椭圆 C 的方程为

?????4 分

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

??????5 分

(Ⅱ) “点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于“ EF 平分 ?MFB ” . ?????6 分 设直线 AM 的方程为 y = k ( x + 2)(k ? 0) ,则 N (2, 4k ), E(2, 2k ) .??7 分

ì y = k ( x + 2), ? 2 2 2 2 设点 M ( x0 , y0 ) ,由 í x 2 y 2 得 (3 + 4k ) x +16k x +16k - 12 = 0 , ? + = 1, ? ? 4 3
ì - 8k 2 + 6 ? x0 = , 2 ? 3 + 4 k 得í ??9 分 12k ? . ? y0 = 3 + 4k 2 ?
① 当 MF ^ x 轴时, x0 = 1 ,此时 k = ? 所以 M (1, 北 ), N (2, 2), E (2, ? 1) . 此时,点 E 在 ?BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1 或 y = - x +1 , 即 EF 平分 ?MFB . ② 当k 贡 ??10 分

1 . 2

3 2

1 y0 4k 时,直线 MF 的斜率为 kMF = , = 2 x0 - 1 1 - 4k 2
??11 分

所以直线 MF 的方程为 4kx + (4k 2 - 1) y - 4k = 0 . 所以点 E 到直线 MF 的距离

d=

| 8k + 2k (4k 2 - 1) - 4k | 16k 2 + (4k 2 - 1) 2

=

| 4k + 2k (4k 2 - 1) | (4k 2 +1) 2

=

| 2k (4k 2 +1) | =| 2k |=| BE | . | 4k 2 +1|

即点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上. ???????14 分

11

(20) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由于 A ? (1, 0,1, 0,1) , B ? (0,1,1,1, 0) ,由定义 d ( A, B) = 可得 d ( A, B) = 4 . ??????????4 分

? | a - b |,
i =1 i i

n

(Ⅱ)反证法:若结论不成立,即存在一个含 5 维 T 向量序列 A1 , A2 , A3 ,L , Am , 使得 A1 = (1,1,1,1,1) , Am = (0,0,0,0,0) . 因为向量 A1 = (1,1,1,1,1) 的每一个分量变为 0 ,都需要奇数次变化,

1 不妨设 A 1 的第 i (i = 1, 2,3, 4,5) 个分量 变化了 2ni - 1 次之后变成 0 , 1 变为 0 共需要 所以将 A 1 中所有分量

(2n1 - 1) + (2n2 - 1) + (2n3 - 1) + (2n4 - 1) + (2n5 - 1) = 2(n1 + n2 + n3 + n4 + n5 - 2) - 1次,此数为奇数.
又因为 d ( Ai , Ai +1 ) = 2, i ? N* ,说明 Ai 中的分量有 2 个数值发生改变, 进而变化到 Ai ?1 ,所以共需要改变数值 2(m ? 1) 次,此数为偶数,所以矛盾. 所以该序列中不存在 5 维 T 向量 (0,0,0,0,0) . (Ⅲ)此时 m ? 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12 . 易见当 m 为 12 的因子 1, 2,3, 4, 6,12 时,给 (1 分). 答出 m ? 5,8,10 给(1 分). 答出 m ? 7,9,11 中任一个给(1 分),都对给(2 分) ?????9 分 ?????13 分

12


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