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2014高考数学(文科)二轮专题突破课件:专题七 数学思想方法 第4讲


思想方法概述

专题七 第4讲

第4讲

转化与化归思想

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转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采 用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种 方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题, 将难解的问题通过变换转化为容易求

解的问题,将未解决的 问题通过变换转化为已解决的问题.

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转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题 的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新 知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同 数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化
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等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思 想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利 于我们运用熟悉的知识、经验来解决. (2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题,通过对简 单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解 题的启示和依据.

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(3)直观化原则:将比较抽象的问题化为比较直观的问题 来解决. (4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑 问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解.
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2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受 阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就 是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问 题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方 法有: (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公 式或基本图形问题.

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(2)换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的 基本问题.
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(3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式 (图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题, 达到化归的目的. (5)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明 特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于 解决的问题.

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(7)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转 化方法的一个重要途径. (8)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定.
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(9)参数法:引进参数,使原问题转化为熟悉的形式进行解 决. (10)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结 果看做集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全 集U,通过解决全集U及补集?UA获得原问题的解决,体现了 正难则反的原则.

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3.转化与化归的指导思想
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(1)把什么问题进行转化,即化归对象. (2)化归到何处去,即化归目标. (3)如何进行化归,即化归方法. 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.

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类型一 例1
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特殊与一般的转化

(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于 1 1 P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则p+q等于 ( 1 B. 2a ) 4 A.2a C.4a D.a ? 1 ? ? 2 ? ax (2)已知函数f(x)= x (a>0且a≠1),则f ?100? +f ?100? ? ? ? ? a+ a ? 99 ? +?+f ?100?的值为________. ? ?

(1)过抛物线y=ax2

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解析 1 (1)由x =ay (a>0)知抛物线开口向上,
2

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故过焦点F作一在特殊位置的直线即平行于x轴的直线交抛物 线于P、Q,
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1 1 1 则|PF|=|FQ|= ,即 + =4a. 2a p q (2)由于直接求解较困难,可探求一般规律, a ax ax a ∵f(x)+f(1-x)= x + - = + a + a a1 x+ a ax+ a a+ax a a+ax ax a = x + =1, x= x a+ a a+a a + a
1-x

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? 1 ? ? 2 ? ? 99 ? ∴f?100?+f?100?+?+f?100? ? ? ? ? ? ?
? ? 1 ? ? 99 ?? ? ? 2 ? ? 98 ?? ? ? 49 ? ? 51 ?? 本 =?f ?100?+f ?100??+?f ?100?+f ?100??+?+?f ?100?+f ?100?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? 讲 ? 50 ? 栏 ? 目 +f ? 100 ? ?

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1 99 =1×49+2= 2 .
答案 (1)C
99 (2) 2

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一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特
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殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一 般规律,从而达到成批的处理问题的效果.

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(1)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、 cos A+cos C b、c,若a、b、c成等差数列,则 =________. 1+cos Acos C
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(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且 ?5? 对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f ?2?=________. ? ?
解析 (1)根据题意,所求数值是一个定值, 故可利用满足条件的直角三角形进行计算. 令a=3,b=4,c=5,则△ABC为直角三角形, 4 且cos A=5,cos C=0,

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4 +0 cos A+cos C 5 4 代入所求式子,得 = = . 4 5 1+cos Acos C 1+ ×0 5 (2)因为xf(x+1)=(1+x)f(x),
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f?x+1? 1+x 所以 = x , f?x? 使f(x)特殊化,可设f(x)=xg(x), 其中g(x)是周期为1的奇函数,再将g(x)特殊化, 可设g(x)=sin 2πx,则f(x)=xsin 2πx, 经验证f(x)=xsin
?5? 2πx满足题意,则f?2?=0. ? ?

4 答案 (1)5

(2)0

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类型二

相等与不等的转化

例2 若关于x的方程9x+(4+a)· 3x+4=0有解,则实数a的取
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值范围是________.
可采用换元法,令t=3x,将问题转化为关于t的 方程有正解进行解决.

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解析

设 t=3x,则原命题等价于关于 t 的方程

t2+(4+a)t+4=0有正解,分离变量a得
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? 4? a+4=-?t+ t ?, ? ? ? 4? ∵t>0,∴-?t+ t ?≤-4, ? ?

∴a≤-8,即实数a的取值范围是(-∞,-8].

答案 (-∞,-8]

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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面,但是它
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们在一定的条件下可以相互转化,例如本例,表面看来似乎 只具有相等的数量关系,且根据这些相等关系很难解决,但 是通过挖掘其中的不等量关系,转化为不等式(组)来求解, 则显得非常简捷有效.

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定义运算:(a 等式(a a) x<0 的解集为 A.(1,2) ? ? 本 C.?-2,1? 讲 ? 3 ?
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b) x=ax2+bx+2,若关于 x 的不 ( D ) B.(-∞,1)∪(2,+∞) ? 2? D.?-∞,-3?∪(1,+∞) ? ?

b) x<0 的解集为{x|1<x<2},则关于 x 的不等式(b

1,2是方程ax2+bx+2=0的两实根,

? ?a=1, b 2 1+2=- ,1×2= ,解得? a a ? ?b=-3,

∴(-3 1) x=-3x2+x+2<0,得3x2-x-2>0, 2 解得x<-3或x>1.

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类型三

常量与变量的转化

例3 对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x2+px>4x+p -3成立的x的取值范围是______________.
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本题若按常规法视x为主元来解,需要分类讨 论,这样会很繁琐,若以p为主元,即可将原问题化归为在 区间[0,4] 上,一次函数f(p)=(x-1)p+x2-4x+3>0成立的x 的取值范围.这样,借助一次函数的单调性就很容易使问 题得以解决.

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解析 设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,

则当x=1时,f(p)=0.所以x≠1.
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? ?f?0?>0, f(p)在0≤p≤4上恒正,等价于? ? ?f?4?>0, ? ??x-3??x-1?>0, 即? 2 ? ?x -1>0,

解得x>3或x<-1.

答案

(-∞,-1)∪(3,+∞)

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在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的 常数(或参数),将其看做是“主元”,而把其它变元看做是常 量,从而达到减少变元简化运算的目的.

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设f(x)是定义在R上的单调增函数,若f(1-ax- x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,求x的取值范围. 解 ∵f(x)在R上是增函数,
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∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a) 可得1-ax-x2≤2-a,a∈[ -1,1] . ∴a(x-1)+x2+1≥0,对a∈[ -1,1] 恒成立. 令g(a)=(x-1)a+x2+1. 则当且仅当g(-1)=x2-x+2≥0,g(1)=x2+x≥0, 解之,得x≥0或x≤-1. 故实数x的取值范围为x≤-1或x≥0.

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类型四 正与反的相互转化
3

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例4 若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x +

?m ? ? +2 ? ?2 ?

x2-2x在区

间(t,3)上总不为单调函数,则实数m的取值范围是______.
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解析 g′(x)=3x2+(m+4)x-2,
若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则
①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.
2 由①得3x +(m+4)x-2≥0,即m+4≥ -3x在x∈(t,3)上恒成立, x
2

2 ∴m+4≥ t -3t恒成立,则m+4≥-1,即m≥-5;

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2 由②得m+4≤x-3x在x∈(t,3)上恒成立, 2 37 则m+4≤ -9,即m≤- . 3 3
∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为 37 - 3 <m<-5. 答案 37 - 3 <m<-5

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否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从正
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面求解,再取正面答案的补集即可.一般地,题目若出现多 种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简 单,因此,间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性 命题情形的问题中.

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若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区 间[-1,1]内至少存在一个值c使得f(c)>0,求实数p的取值范 围.
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解 如果在[ -1,1] 内没有值满足f(c)>0, 1 ? ? ?p≤-2或p≥1, ?f?-1?≤0, 则? ?? ? ?f?1?≤0 ?p≤-3或p≥3 2 ? 3 ?p≤-3 或 p≥2,

3 取补集为-3<p< ,即为满足条件的p的取值范围.` 2

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在将问题进行化归与转化时,一般应遵循以下几种原则
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(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为我们熟悉的问题. (2)简单化原则:将复杂的问题通过变换转化为简单的问题. (3)直观化原则:将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数 形结合思想,立体几何问题向平面几何问题转化). (4)正难则反原则:若问题直接求解困难时,可考虑运用反证 法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.

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1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=Sn· Sn-1 (n≥2),a1= 2 ,则a10等于 ( C ) 9 4 4 4 5 A. B. C. D. 9 7 63 63
解析 由an=Sn· Sn-1 (n≥2),得

1 1 1 9 Sn-Sn-1=-1,∴Sn=2+(n-1)×(-1), 2 4 ∴Sn= ,∴a10=S10-S9=63. 11-2n

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2.方程m+ 1-x=x有解,则m取得最大值 A.1
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( A )

B. 0

C.-1

D.-2

解析 由原式得m=x- 1-x,

设 1-x=t(t≥0), 5 ? 1?2 则 m=1-t -t= -?t+2? , 4 ? ?
2

5 ? 1?2 ∴m= -?t+2? 在[0,+∞)上是减函数, 4 ? ? ∴t=0时,m的最大值为1.

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x2 y2 3.过双曲线 2 - 2 =1上任意一点P,引与实轴平行的直线, a b → → 交两渐近线于R、Q两点,则PR· PQ的值为 ( A )
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A.a2

B.b2

C.2ab

D.a2+b2

解析 当直线RQ与x轴重合时,
→ → |PR|=|PQ|=a,故选A.

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4.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1、a3、a9成等比数列, 13 a1+a3+a9 则 的值是________ 16 . a2+a4+a10
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解析 由题意知,只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件, {an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的.
因此,可把抽象数列化归为具体数列. 比如,可选取数列an=n(n∈N*), a1+a3+a9 1+3+9 13 则 = = . a2+a4+a10 2+4+10 16

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5.已知函数f(x)=x3+2x2-ax+1.若函数g(x)=f′(x)在区间 ? 4 ? ?- ,7? ? 3 ? (-1,1)上存在零点,则实数a的取值范围是___________ .
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解析 g(x)=f′(x)=3x2+4x-a,g(x)=f′(x)在区间(-1,1) 上存在零点,
等价于3x2+4x=a在区间(-1,1)上有解, 等价于a的取值范围是函数y=3x2+4x在区间(-1,1)上的值 ? 4 ? 域,不难求出这个函数的值域是?-3,7?. ? ?
? 4 ? 故所求的a的取值范围是?-3,7?. ? ?

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6.已知奇函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)在[0,+∞)上 π 是增函数,当0≤θ≤ 时,是否存在这样的实数m,使 2 ? π? f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>f(0)对所有的θ∈?0,2?均成 ? ?
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立?若存在,求出所有适合条件的实数m;若不存在,请 说明理由.
解 因为f(x)在R上为奇函数,又在[0,+∞)上是增函数,
故 f(x)在 R 上为增函数,且 f(0)=0. 由题设条件可得,f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>0. 又由f(x)为奇函数,可得 f(cos 2θ-3)>f(2mcos θ-4m).

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∵f(x)在R上为增函数, ∴cos 2θ-3>2mcos θ-4m, 即cos2θ-mcos θ+2m-2>0.
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π 令cos θ=t,∵0≤θ≤2,∴0≤t≤1. 于是问题转化为对一切0≤t≤1, 不等式t2-mt+2m-2>0恒成立.
2 t -2 2 ∴t -2>m(t-2),即m> 恒成立. t-2 t2-2 2 又∵ =(t-2)+ +4≤4-2 2,∴m>4-2 2, t-2 t-2

∴存在实数m满足题设的条件,且m>4-2 2.


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