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集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数


集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 1.(2013· 山东高考)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+x ,则 f(-1)=( A

.-2 【解析】 ) B.0 C.1 D.2

1 1 当 x>0 时,f(x)=x2+ x,∴f(1)=12+1=2.

∵f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2. 【答案】 A )

2.(2013· 北京高考)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】 当 φ=π 时,y=sin(2x+φ)=sin(2x+π)=-sin 2x,此时曲线 y= sin(2x+φ)必过原点,但曲线 y=sin(2x+φ)过原点时,φ 可以取其他值,如 φ=0. 因此“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件.

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【答案】

A

3.(2013· 韶关模拟)设 a=log0.32,b=log0.33,c=20.3,d=0.32,则这四个数 的大小关系是( ) B.b<a<d<c

A.a<b<c<d

C.b<a<c<d D.d<c<a<b 【解析】 由函数 y=log0.3x 是减函数知,

log0.33<log0.32<0. 又 20.3>1,0<0.32<1,所以 b<a<d<c. 【答案】 B )

4.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( A.y=cos 2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0 ex-e-x C.y= 2 ,x∈R D.y=x3+1,x∈R 【解析】 π A 中,y=cos 2x 在(0,2)上递减,A 不满足题意.

C 中函数为奇函数,D 中函数非奇非偶. 对于 B:y=log2|x|(x≠0)是偶函数,在(1,2)内是增函数. 【答案】 B

x-1 x<2, ?2e , 5.设 f(x)=? 则不等式 f(x)<2 的解集为( 2 ?log3?x -1?,x≥2,

)

A.( 10,+∞)

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B.(-∞,1)∪[2, 10) C.(1,2]∪( 10,+∞) D.(1, 10) ?x≥2, 原不等式等价于? 2 ?log3?x -1?<2,

【解析】

?x<2, ?x≥2, ?x<2, 或? x-1 即? 或? 2 ?2e <2, ?0<x -1<9, ?x-1<0, 解得 2≤x< 10或 x<1. 【答案】 B )

6.(2013· 山东高考)函数 y=xcos x+sin x 的图象大致为(

π 【解析】 函数 y=xcos x+sin x 为奇函数,则排除 B;当 x=2时,y=1>0, 排除 C;当 x=π 时,y=-π<0,排除 A,故选 D. 【答案】 D

1 7.(2013· 江西高考)若 S1=?2x2dx,S2=?2 x dx,S3=?2exdx,则 S1,S2,S3 ?1 ?1 ?1

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的大小关系为(

)

A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1 【解析】 1 ? 1 1 7 1 S1=? x dx=3x3? =3×23-3=3,S2=?2xdx=ln ?1 ?1 ?1
2 2 2

? x? =ln 2, ?1

2

7 7 S3=? e dx=e ? =e2-e=e(e-1),ln 2<ln e=1,且3<2.5<e(e-1),所以 ln 2<3 ?1 ?1
2 x

2 x?

<e(e-1),即 S2<S1<S3. 【答案】 B

8.(2012· 重庆高考)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y= (1-x)f′(x)的图象如图 1 所示,则下列结论中一定成立的是( )

图1 A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 【解析】 当 x<-2 时,y=(1-x)f′(x)>0,得 f′(x)>0;

当-2<x<1 时,y=(1-x)f′(x)<0,得 f′(x)<0; 当 1<x<2 时,y=(1-x)f′(x)>0,得 f′(x)<0;

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当 x>2 时,y=(1-x)f′(x)<0,得 f′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数,在(-2,1)上是减函数,在(1,2)上是减函数, 在(2,+∞)上是增函数, ∴函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2). 【答案】 D 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线 上) 9.(2013· 烟台模拟)已知第一象限的点(a,b)在直线 2x+3y-1=0 上,则代 2 3 数式a+b的最小值为________. 2 3 ?2 3? 【解析】 由题意知 2a+3b=1,a>0,b>0,则a+b=?a+b?(2a+3b)=4 ? ? 6b 6a +9+ a + b ≥13+2 值为 25. 【答案】 25 6b 6a 1 2 3 a· b =25,当且仅当 a=b=5时取等号,即a+b的最小

10.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)= ________. 【解析】 ∵y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1,

∴f(-1)+(-1)2=-[f(1)+12],∴f(-1)=-3. 因此 g(-1)=f(-1)+2=-1. 【答案】 -1

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?x+2y-5≤0, 11.设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ?x≥0,
的最大值为________. 【解析】

则目标函数 z=2x+3y+1

作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示.

2 z 1 又 z=2x+3y+1 可化为 y=-3x+3-3, 结合图形可知 z=2x+3y+1 在点 A 处取得最大值. ?x+2y-5=0, ?x=3, 由? 得? 故 A(3,1). ?x-y-2=0, ?y=1, 此时 z=2×3+3×1+1=10. 【答案】 10

12 . (2013· 孝感模拟 ) 已知符号函数

?1,x>0, sgn(x) = ?0,x=0, ?-1,x<0,

则函数 f(x) =

sgn(ln x)-ln2x 的零点个数为________. 【解析】 当 x>1 时,ln x>0,sgn(ln x)=1,

∴f(x)=1-ln2x,令 f(x)=0,得 x=e. 当 x=1 时,ln x=0,sgn(ln x)=0, ∴f(x)=-ln2x,令 f(x)=0,得 x=1 满足. 当 0<x<1 时,ln x<0,sgn(ln x)=-1,

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∴f(x)=-1-ln2x<0,f(x)=0 无解. ∴函数 f(x)的零点为 x=1 与 x=e. 【答案】 2

?log2?1-x?,x≤0, 13.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ?f?x-1?-f?x-2?,x>0, 则 f(2 013)=________. 【解析】 当 x>0 时,∵f(x)=f(x-1)-f(x-2),

∴f(x+1)=f(x)-f(x-1), ∴f(x+1)=-f(x-2),即 f(x+3)=-f(x), ∴f(x+6)=f(x),即当 x>0 时, 函数 f(x)的周期是 6. 又∵f(2 013)=f(335×6+3)=f(3), 由已知得 f(-1)=log22=1,f(0)=0, f(1)=f(0)-f(-1)=0-1=-1, f(2)=f(1)-f(0)=-1-0=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0, ∴f(2 013)=0. 【答案】 0

14. 已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a), 若 f(x)在 x=a 处取得极大值, 则 a 的取值范围是________. 【解析】 若 a=0, 则 f′(x)=0, 函数 f(x)不存在极值; 若 a=-1, 则 f′(x) =-(x+1)2≤0,函数 f(x)不存在极值;若 a>0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)<0,

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当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值;若-1<a< 0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)>0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,所以函数 f(x) 在 x=a 处取得极大值;若 a<-1,当 x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,- 1)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,所以 a∈(-1,0). 【答案】 (-1,0)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B 1 5 ={y|y=2x2-x+2,0≤x≤3}. (1)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (2)当 a 取使不等式 x2+1≥ax 恒成立的 a 的最小值时,求(?RA)∩B. 【解】 A={y|y<a 或 y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.

2 ?a +1≥4, (1)当 A∩B=?时,? ?a≤2,

∴ 3≤a≤2 或 a≤- 3. ∴a 的取值范围是(-∞,- 3]∪[ 3,2]. (2)由 x2+1≥ax,得 x2-ax+1≥0, 依题意 Δ=a2-4≤0, ∴-2≤a≤2. ∴a 的最小值为-2. 当 a=-2 时,A={y|y<-2 或 y>5}.

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∴?RA={y|-2≤y≤5}. ∴(?RA)∩B={y|2≤y≤4}. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2x+k· 2-x,k∈R. (1)若函数 f(x)为奇函数,求实数 k 的值; (2)若对任意的 x∈[0,+∞)都有 f(x)>2-x 成立,求实数 k 的取值范围. 【解】 (1)∵f(x)=2x+k· 2-x 是奇函数,

∴f(-x)=-f(x),x∈R, 即 2-x+k· 2x=-(2x+k· 2-x), ∴(1+k)+(k+1)· 22x=0 对一切 x∈R 恒成立, ∴k=-1. (2)∵x∈[0,+∞),均有 f(x)>2-x, 即 2x+k· 2-x>2-x 成立, ∴1-k<22x 对 x≥0 恒成立, ∴1-k<(22x)min, ∵y=22x 在[0,+∞)上单调递增, ∴(22x)min=1, ∴k>0. ∴实数 k 的取值范围是(0,+∞). ln x 17.(本小题满分 14 分)(2013· 北京高考)设 L 为曲线 C:y= x 在点(1,0)处的 切线. (1)求 L 的方程;

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(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 【解】 1-ln x ln x (1)设 f(x)= x ,则 f′(x)= x2 .

所以 f′(1)=1,所以 L 的方程为 y=x-1. (2)证明:令 g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价 于 g(x)>0(?x>0,x≠1). g(x)满足 g(1)=0,且 x2-1+ln x g′(x)=1-f′(x)= . x2 当 0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0,所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x2-1>0,ln x>0,所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 1 18.(本小题满分 14 分)(2013· 济南模拟)已知函数 f(x)=3ax3+(a-2)x+c 的 图象如图 2 所示.

图2 (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)若 g(x)= 【解】 kf′?x? x -2ln x 在其定义域内为增函数,求实数 k 的取值范围.

(1)∵f′(x)=ax2+a-2,

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由图可知函数 f(x)的图象过点(0,3),且 f′(1)=0. ?c=3, ?c=3, 得? 即? ?2a-2=0, ?a=1. 1 ∴f(x)=3x3-x+3. (2)∵g(x)= kf′?x? k - 2ln x = kx - x x-2ln x,

2 k 2 kx +k-2x ∴g′(x)=k+x2-x= . x2

∵函数 y=g(x)的定义域为(0,+∞), ∴若函数 y=g(x)在其定义域内为单调增函数, 则函数 g′(x)≥0 在(0, +∞) 上恒成立,即 kx2+k-2x≥0 在区间(0,+∞)上恒成立. 2x 即 k≥ 2 在区间(0,+∞)上恒成立. x +1 令 h(x)= 2x ,x∈(0,+∞), x +1
2

则 h(x)=

2x 2 = 1≤1(当且仅当 x=1 时取等号). x +1 x+x
2

∴k≥1. ∴实数 k 的取值范围是[1,+∞). 19. (本小题满分 14 分)(2013· 烟台模拟)某幼儿园准备建一个转盘, 转盘的外 围是一个周长为 k 米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都 有一根直的钢管相连经预算,转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为 3k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为 x 米时,相邻两座位之间的钢管和其

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? ?128 x+20?x? ?k 元.假设座位等距分布,且至少有两 中一个座位的总费用为?2+ 25 ? ? 个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记转盘的总造价为 y 元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当 k=50 米时,试确定座位的个数,使得总造价最低? 【解】 k k (1)设转盘上总共有 n 个座位,则 x=n即 n=x,

3k2 ? ?128 x+20?x?k2 ? , y= x +?2+ 25 ? ?x
? ? ? ? ? k k 定义域?x?0<x≤2,x∈Z ?. ? ? ? ? ?

?5 ?128 x+20?? ?, (2)y=f(x)=k2? + 25 ?x ? 3 -125+64x2 25x
2

y′=

25 k2,令 y′=0 得 x=16.

25? 25? ? ? 当 x∈?0,16?时,f′(x)<0,即 f(x)在 x∈?0,16?上单调递减, ? ? ? ? ?25 ? ?25 ? 当 x∈?16,25?时,f′(x)>0,即 f(x)在 x∈?16,25?上单调递增, ? ? ? ? 25 50 y 的最小值在 x=16时取到,此时座位个数为25=32 个. 16 1 20.(本小题满分 14 分)(2013· 鄂州模拟)已知函数 f(x)= x3-ax+1. 3 (1)求 x=1 时,f(x)取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)在[0,1]上的最小值; (3)若对任意 m∈R, 直线 y=-x+m 都不是曲线 y=f(x)的切线, 求 a 的取值

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范围. 【解】 (1)因为 f′(x)=x2-a,

当 x=1 时,f(x)取得极值,所以 f′(1)=1-a=0,a=1. 又当 x∈(-1,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值,即 a=1 符合题意. (2)当 a≤0 时,f′(x)>0 对 x∈(0,1)成立, 所以 f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)在 x=0 处取最小值 f(0)=1, 当 a>0 时,令 f′(x)=x2-a=0,x1=- a,x2= a, 当 0<a<1 时, a<1, x∈(0, a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, x∈( a,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以 f(x)在 x= a处取得最小值 f( a)=1- 当 a≥1 时, a≥1, x∈[0,1]时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 4 所以 f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=3-a. 综上所述, 当 a≤0 时,f(x)在 x=0 处取最小值 f(0)=1; 2a a 当 0<a<1 时,f(x)在 x= a处取得最小值 f( a)=1- 3 ; 4 当 a≥1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=3-a. 2a a . 3

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(3)因为?m∈R,直线 y=-x+m 都不是曲线 y=f(x)的切线, 所以 f′(x)=x2-a≠-1 对 x∈R 成立, 只要 f′(x)=x2-a 的最小值大于-1 即可, 而 f′(x)=x2-a 的最小值为 f(0)=-a, 所以-a>-1,即 a<1. 所以 a 的取值范围是(-∞,-1).

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