当前位置:首页 >> 数学 >>

2013石家庄二模数学试题答案(理科)


2013 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 数学(理科答案)
一、选择题: 1-5 ABCCC 6-10BCABD 12 题解析: 11-12BD

由 F ( x) ? f ( x ? 4) ? g ( x ? 4) 可知,函数 F ( x) 的零点即为 f ? x ? 4 ? 的零点或 g ? x ? 4 ? 的零点.

f

' ( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x3 ? ??? ? x 2012 ,
当 x ? ?1 时, f ( x)?1? x ? x ? x ????? x
' 2 3 2012

1? x 2013 ? ?0 成立, 1? x

f ' (?1) ? 1 ? x ? x 2 ? x3 ? ??? ? x 2012 ? 1 ? 0 ,
当 x ? ?1时, f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ??? ? x
' 2 3 2012

?

1 ? x 2013 ? 0 也成立, 1? x

即 f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ??? ? x
' 2 3

2010

? 0 恒成立,

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ??? ? 所以 f ( x) ? 1 ? x ? 在 R 上单调递增. 2 3 4 2013
1 1 ? ? 1 1? ? f (0) ? 1, f ? ?1? ? ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ?? 0, ? 2 3? ? 2012 2013 ?
f ? x ? 的惟一零点在 ? ?1, 0 ? 内, f ? x ? 4 ? 的惟一零点在 ? ?5, ?4? 内.
同理 g ? x ? 4 ? 的惟一零点在 ? 5, 6 ? 内,因此 b ? 6, a ? ?4, a ? b ? 2. 二、填空题: 13. -33 14.

3? + 3 2
? 4

15.

4 3 3

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
2 解: (I)设等差数列 {a n } 的公差为 d,由 (a2 ) ? a1 ? a4 ,…………2 分

又首项为 2 ,得

(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d )



因为 d ? 0 ,所以 d ? 2 ,……………4 分 所以 an ? 2n .………………6 分

(Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 由(Ⅰ)知 an ? 2n , , 所以 bn ?

1 1 = bn ? 2 (2n ? 1) 2 ? 1 ……………8 分 (a n ? 1) ? 1

=

1 1 1 1 1 = ?( ? ) ,…………10 分 4 n(n+1) 4 n n+1

所以 Tn =

n 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? (1- + ? +? + ) = ? (1)= 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1) n .………………12 分 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

18. (本小题满分 12 分) 解法一: (Ⅰ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时, PM∥平面 BCA ,……………1 分 取 EB 的中点 N,连接 PN,MN,则 MN∥BA,PN//CB, 所以平面 PMN//平面 ABC, ……………3 分 因为 PM 在平面 PMN 内, 所以 PM∥平面 ABC.………………5 分 (Ⅱ)连接 PH,NH ,可知 PN ? 平面ABE , 所以 PH 与平面 ABE 所成角为 ?PHN ,

PN , PN ? 2 , NH 所以当 NH ? AB 时, PH 与平面 ABE 所成角最大,……………7 分
又 tan ?PHN ? 可得 BH ?

2 ,…………………8 分 2

过 H 做 HR ? EB 交 EB 于 R , 则 HR ? 平面BCDE ,且 BR ? HR ?

过 R 做 RG ? CD 垂足为 G ,连接 HG , 则 HG ? CD , 所以 ?HGR 为二面角 H ? PC ? E 的平面角,………………10 分 所以在直角 ?HRG 中 tan ?HGR ? 所以 cos ?HGR ?

1 , 2

HR 1 ? , RG 4

4 17 4 17 ,所以二面角 H ? PC ? E 的余弦值为 . 17 17

解法二: (Ⅰ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 BCA ,………1 分 建立如图所示空间直角坐标系,则 A?0,0,2? , M ?0,0,1? , P?2,1,0?, B?0,2,0?

C ?2,2,0? ,

AB 中点 F ?0,1,1? ,
所以 PM ? ? ?2, ?1,1? , BC ? ?2,0,0? , AB ? ?0,2,?2 ? , EF ? ?0,1,1? 可知 EF ? BC ? 0 , EF ? AB ? 0 ,? EF ? 平面 ABC ,…………3 分 又 EF ? PM ? 0 ,

???? ?

? PM // 平面 ABC .……………5 分
(Ⅱ) 可知 P ( 2, 1,0 ),A(0,0,2),E(0,0,0) ,B(0,2,0) , 设 H ( x,y,z ) ,则 BA ? ?0,?2,2 ? , BH ? ( x,y ? 2,z ) , 设 BH ? ? BA ,则得 H (0,? 2?, ) , 2 2?

1 2 所以 PH ? (?2,? 2?,? ) ,因为点 P 到平面 ABE 的距离为定值 2,……………7 分
所以当 PH 最小时 PH 与平面 ABE 所成角最大, 此时 PH ? BA ,即 PH ? BA ? 0 ,得 ? ? 所以 BH ? (0, ?

3 1 1 ,所以 H (0, , ) , 2 2 4

1 1 , ) ,…………………8 分 2 2

设平面 PCH 的一个法向量为 n ? ( x0,y0,z0 ) ,

??? ? ???? 1 1 PC ? (0,1,0) PH ? (?2,, ) , 2 2

? y0 ? 0; ??? ? ???? 1 ? 则由 n ? PC ? 0 , n ? PH ? 0 ,可得 ? ,则 n ? ( ,0, , 2) 1 1 2 ? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ?
平面 PBE 的一个法向量为 EA ? ?0,0,2? ,…………………10 分 设二面角 H ? PC ? E 的大小为 ? ,

??? ? n ? EA 4 17 则 cos ? ? . ……………………12 分 ??? ? ? 17 n ? EA
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设商店某天销售 A 商品获得的利润为 ? (单位:元) 当需求量为 3 时, Y ? 15 ? 3 ? 5 ? (4 ? 3) ? 40 ,

当需求量为 4 时, Y ? 15 ? 4 ? 60 , 当需求量为 5 时, Y ? 15 ? 4 ? 60 , ………………2 分

? 的分布列为
Y
40 60

P

0.3

0.7

……………4 分 则 E (? ) ? 40 ? 0.3 ? 60 ? 0.7 ? 54 (元) 所以商店该天销售 A 商品获得的利润均值为 54 元.……………………………6 分 (Ⅱ)设销售 A 商品获得的利润为 Y, 依题意, 视频率为概率,为追求更多的利润, 则商店每天购进的 A 商品的件数取值可能为 3 件,4 件,5 件. 当购进 A 商品 3 件时,

E (Y ) = [(30 ? 15) ? 3] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 3] ? 0.4 ? [(30 ?15) ? 3] ? 0.3 ? 45 ,
当购进 A 商品 4 件时,

E (Y ) = [(30 ? 15) ? 3 ? (15 ? 10) ?1] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 4] ?
分 当购进 A 商品 5 件时,

x 70 ? x ? [(30 ? 15) ? 4] ? ? 54 100 100

……………8

E (Y ) ? [(30 ? 15) ? 3 ? (15 ? 10) ? 2] ? 0.3 ? [(30 ? 15) ? 4 ? (15 ? 10) ?1] ?
……………10 分 ? 63 ? 0.2x 由题意 63 ? 0.2 x ? 54 ,解得 x ? 45 ,又知 x ? 100 ? 30 ? 70 , 所以 x 的取值范围为 ? 45, 70 ? , x ? N .………………12 分
*

x 70 ? x ? [(30 ? 15) ? 5] ? 100 100

20. (本小题满分 12 分)

1 1 4 4 ???? ? ? 1 ???? 1 ???? 1 ??? 1 则 MF ? (? x, ), ? (0, y ? ), FM ? ( x, ? ), FP ? ( x, y ? ) ,…………………2 分 MP 2 4 2 4 ???? ???? ??? ???? ? ? 2 2 由 MP ? MF ? FP ? FM ,得 y ? x ,动点 P 的轨迹 E 的方程为 y ? x .………………4 分
解: (Ⅰ)设 P( x, y ) ,则 M ( x, ? ) ,又 F (0, ) ( Ⅱ ) 将 抛 物 线 E : y ? x 代 入 圆 Q : x ? ( y ? 4) ? r ( r ? 0 ) 的 方 程 , 消 去 x 2 , 整 理 得
2 2 2 2

y 2 ? 7 y ? 16 ? r 2 ? 0 ....... , ......(1)
抛物线 E : y ? x 与圆 Q : x ? ( y ? 4) ? r ( r ? 0 )相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点的充要条件是:方程
2 2 2 2

(1)有两个不相等的正根 y1、y 2 ,

?49 ? 4(16 ? r 2 ) ? 0 15 ? ∴ ? y1 ? y 2 ? 7 ? 0 解这个方程组得 ? r ? 4 ,………………6 分 2 ? 2 ? y1 ? y 2 ? 16 ? r ? 0
设四个交点的坐标分别为 A( y1,y1 ) 、 B(? y1,y1 ) 、 C (? y 2 ,y 2 ) 、 D( y 2 ,y 2 ) , 则 S ?| y 2 ? y1 | ( y1 ?

y2 ) ,

2 2 2 2 所以 S ? [( y1 ? y2 ) ?4 y1 y2 ]( y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ) ? (7 ? 2 16 ? r )(4r ? 15) ,

设t ?

7 16 ? r 2 得 t ? (0, ) 代入上式,则 S 2 ? (7 ? 2t )2 (7 ? 2t ) ,并令 f ( t ) ? S 2 , 2

7 f ( t ) ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? ?8t 3 ? 28t 2 ? 98t ? 343(0 ? t ? ) , 2
∴ f `( t ) ? ?24t ? 56t ? 98 ? ?2( 2t ? 7)( 6t ? 7) ,
2

令 f `( t ) ? 0 得 t ?

7 7 ,或 t ? ? (舍去) 6 2

当0 ? t ?

7 7 7 7 时, f `( t ) ? 0 ;当 t ? 时 f `( t ) ? 0 ;当 ? t ? 时, f `( t ) ? 0 6 6 6 2
7 527 时, f (t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,此时 r 2 ? , 6 36
527 36 .
2x

故当且仅当 t ?

圆的方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 21. (本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)定义域为 (??, ?) , f ' ( x) ? e ?

?a,

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (??, ?) 上为增函数;………………2 分 ? 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x?(

ln a ln a ,且当 x ? (??, ) 时, f ' ( x) ? 0 , 2 2

ln a , ? ) 时 f ' ( x) ? 0 , ? 2 ln a ln a 所以 f (x) 在 x ? (??, ) 为减函数,在 x ? ( , ?) 为增函数.………………4 分 ? 2 2 1 1 (Ⅱ)当 a ? 1 时, g ( x) ? ( x ? m)( e2 x ? x) ? e 2 x ? x 2 ? x , 2 4
若 g (x) 在区间 (0, ?) 上为增函数, ? 则 g '( x) ? ( x ? m)(e 即m ?
2x

? 1) ? x ? 1 ? 0 在 (0, ?) 恒成立, ?

x ?1 ? ? x 在 (0, ?) 恒成立, e2 x ? 1 x ?1 令 h( x ) ? 2 x ? ? x , x ? (0, ?) ;………………6 分 e ?1
e 2 x (e 2 x ? 2 x ? 3) 2x h' ( x ) ? , x ? (0, ?) ;令 L( x) ? e ? 2 x ? 3 , ? 2x 2 (e ? 1)
可知 L( ) ? e ? 4 ? 0 , L(1) ? e ? 5 ? 0 ,
2

1 2

又当 x ? (0, ?) 时 L' ( x) ? 2e ? 所以函数 L( x) ? e
2x

2x

?2 ? 0,

? 2 x ? 3 在 x ? (0, ?) 只有一个零点,………………8 分 ?

设为 ? ,即 e 2? ? 2? ? 3 ,且 ? ? ( , ; 1 ) 由上可知当 x ? (0,? ) 时 L( x) ? 0 ,即 h' ( x) ? 0 ;当 x ? (?, ?) 时 L( x) ? 0 ,即 h' ( x) ? 0 , ? 所以 h( x) ? 把 e 2?

1 2

x ?1 ? ?1 ? ? x , x ? (0, ?) ,有最小值 h(? ) ? 2? ? ? ,……………10 分 2x e ?1 e ?1 1 1 3 ? 2? ? 3 代入上式可得 h(? ) ? ? ? ,又因为 ? ? ( , ,所以 h(? ) ? 1, ) , 1 ) ( 2 2 2

又 m ? h( x) 恒成立,所以 m ? h(? ) ,又因为 m 为整数, 所以 m ? 1 ,所以整数 m 的最大值为 1.…………………12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 解: (Ⅰ)连结 BD ,在直角三角形 ABC 中,易知 AC ? 5 , ?BDC ? ?ADB ? 90 0 ,…………2 分 所以 ?BDC ? ?ABC ,又因为 ?C ? ?C ,所以 ?ABC 与 ?BDC 相似, 所以

BC 2 9 CD BC ? .…………5 分 ,所以 CD ? ? AC 5 BC AC

(Ⅱ)当点 E 是 BC 的中点时, 直线 ED 与圆 O 相切.……………6 分 连接 OD ,因为 ED 是直角三角形 ?BDC 斜边的中线,所以 ED ? EB ,所以 ?EBD ? ?EDB ,因为 OD ? OB ,所以 ?OBD ? ?ODB ,………………8 分 所以

?ODE ? ?ODB ? ?BDE ? ?OBD ? ?EBD ? ?ABC ? 90 0
,所以直线 ED 与圆 O 相切.……………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)法一: a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ,……………2 分
2 2

∴圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0) ,且点A与点 O 关于点 C 对称, 所以点 A 的直角坐标为(4,-4)……………5 分 法二: a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8
2 2

①…………2 分

∴圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0) , 所以直线 OA 的直线方程为 y ? ?x 联立①②解得 ?



?x ? 0 ?x ? 4 (舍)或 ? ?y ? 0 ? y ? ?4

所以点 A 的直角坐标为(4,-4)…………5 分 法三:由 ? ? 4 2 cos( ? ?

?

) 得圆心 C 极坐标 (2 2 ,? ) , 4 4

?

所以射线 OC 的方程为 ? ? ? 代入 ? ? 4 2 cos( ? ?

?

?
4

4

,……………2 分

)得 ? ? 4 2

所以点 A 的极坐标为 (4 2 ,?

?
4

)

化为直角坐标得 A(4,-4).…………………5 分 (Ⅱ)法一:圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 直线 l 的方程为 y=2x.

2 2 2 2 a) ? ( y ? a) ? a 2 , 2 2

?
所以圆心 C(

2 2 a ,? a )到直线 l 的距离为 2 2

2 a ? 2a 2 5

,……………8 分

∴d=2 a ?
2

9a 2 10 = a. 10 5

所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 5
2 2

法二:圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2ax ? 将?

2ay ? 0 ,

? x ? 2t 化为标准参数方程 ? y ? 4t

2 ? ? x ? 20 m 10 10 ? 2 am ? 0 ,解得 m1 ? 0, m2 ? ? a, 代入得 m ? ? 5 5 ?y ? 4 m ? 20 ?
∴d= | m1 ? m2 | =

10 a ,…………………8 分 5

,所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 5
2 2

法三:圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2ax ? 直线 l 的方程为 y=2x. 联立 ?

2ay ? 0 ,

? x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 ? y ? 2x
2

得 5 x ? 2ax ? 0 解得 x1 ? 0, x 2 ? ?

2 a 5

∴d= 2 ? 1 | x1 ? x 2 | =
2

10 a ,…………………8 分 5

所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .………………10 分 5

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? ?2 时,设函数 f ( x) ? lg(| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2)

| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2 >0,
令 g ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2

? ?2 x ? 3 ? 则 g ( x) ? ?1 ?2 x ? 3 ?
若 g ( x) ? 0, 则 x ? ?

x ? ?2; ? 2 ? x ? ?1; …………………3 分 x ? ?1.

1 5 , x?? . 2 2 或
5 2 1 2

所以 f ( x) 定义域为 (??, ) ? (? , ?) .…………………5 分 ? ? (Ⅱ)由题意, | x ? 1 | ? | x ? a |? 2 在 R 上恒成立,因为 | x ? 1| ? | x ? a |?|1 ? a | ,……………8 分 所以 | 1 ? a |? 2 ,得 a ? ?3或a ? 1.………………10 分


相关文章:
2013石家庄二模数学试题答案(理科)
2013石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 数学(理科答案) 一、选择题: 1-5 ABCCC 6-10BCABD 12 题解析: 11-12BD 由 F ( x) ? f ( x ? 4) ? ...
2013年石家庄一模理科数学试题及答案
2013石家庄一模理科数学试题答案_数学_高中教育_教育专区。河北省石家庄市 ...(I)求证:平面 PBD 丄平面 PAC 2013 年高中毕业班第一次模拟考试数学理科答案...
石家庄市2013年高三质量检测(二)数学理科试题答案doc
石家庄市2013年高三质量检测(二)数学理科试题答案doc_专业资料。2013石家庄市高中毕业班教学质量检测(二) 高三数学(理科答案)一、选择题:本大题共 12 小题,...
2015石家庄二模数学答案(理科)
2015石家庄二模数学答案(理科)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2015石家庄二模数学答案(理科)_数学_高中教育_教育专区。2015 石家庄...
2013石家庄二模数学试题答案(文科)
2013石家庄二模数学试题答案(文科)_数学_高中教育_教育专区。2013石家庄二模数学试题答案(文科)2013 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 数学(文科答案) 一、选择题...
2013石家庄二模数学试题答案(理科)
2013石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 数学(理科答案) 一、选择题: 1-5 ABCCC 6-10BCABD 12 题解析: 11-12BD 由 F ( x) ? f ( x ? 4) ? ...
2012年石家庄市二模数学有答案(理科)
2012年石家庄市二模数学答案(理科)_数学_高中教育_教育专区。2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 高三数学(理科) 注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择...
2013年高中石家庄数学第二次模拟理及答案
2013石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 数学(理科答案) 一、选择题: 1-5 ABCCC 6-10BCABD 12 题解析: 11-12BD 由 F ( x) ? f ( x ? 4) ? ...
2013石家庄二模数学试题答案(文科)[1]
2013石家庄二模数学试题答案(文科)[1]_数学_高中教育_教育专区。2013 年石家庄市...清华附中文科学霸高中政治笔记 东北师大附中理科学霸高中化学选修5笔记89...
更多相关标签:
2013石家庄二模 | 2016石家庄二模数学 | 2016石家庄二模理综 | 2013石家庄二模数学 | 2016石家庄二模文综 | 2016河北石家庄二模 | 2014石家庄二模理综 | 2016石家庄二模英语 |