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高中三角函数习题


历年高考综合题 一,选择题
1.(08 全国一 6) y = (sin x ? cos x ) ? 1 是
2





A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数

B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

2.(08 全国一 9)为得到函数 y = cos ? x +

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y = sin x 的图像( 3?



π 个长度单位 6 5π 个长度单位 C.向左平移 6
A.向左平移

B.向右平移

π 个长度单位 6 5π D.向右平移 个长度单位 6
( )

3.(08 全国二 1)若 sin α < 0 且 tan α > 0 是,则 α 是 A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

4.(08 全国二 10) .函数 f ( x ) = sin x ? cos x 的最大值为





A.1

B.

2

C. 3

D.2

5.(08 安徽卷 8)函数 y = sin(2 x + A. x = ?

π
3

) 图像的对称轴方程可能是
C. x =





π
6

B. x = ?

π
12

π
6

D. x =

π
12

π
2

6.(08 福建卷 7)函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 析式为 A.-sinx B.sinx C.-cosx

个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解 ( D.cosx ( ) )

7.(08 广东卷 5)已知函数 f ( x ) = (1 + cos 2 x) sin 2 x, x ∈ R ,则 f ( x ) 是 A、最小正周期为 π 的奇函数 C、最小正周期为 π 的偶函数

π
B、最小正周期为 的奇函数

π
D、最小正周期为

2
的偶函数

2
( )

8.(08 海南卷 11)函数 f ( x ) = cos 2 x + 2 sin x 的最小值和最大值分别为 A. -3,1 B. -2,2 C. -3,

3 2

D. -2,

9.(08 湖北卷 7)将函数 y = sin( x ? θ ) 的图象 F 向右平移 轴是直线 x = A.

π
3
( ) D. ?

3 2

个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称

π
1

, 则 θ 的一个可能取值是
B. ?

5 π 12

5 π 12

C.

11 π 12

11 π 12

10.(08 江西卷 6)函数 f ( x ) =

sin x x sin x + 2sin 2
是 ( )

A.以 4π 为周期的偶函数 C.以 2π 为周期的偶函数

B.以 2π 为周期的奇函数 D.以 4π 为周期的奇函数

11.若动直线 x = a 与函数 f ( x ) = sin x 和 g ( x) = cos x 的图像分别交于 M,N 两点,则 MN 的最大值为 ( A.1 ) B. 2 C. 3 D.2

12.(08 山东卷 10)已知 cos ? α ?

? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? α + ? + sin α = ? 的值是( 6? 5 6 ? ?
C. ?



A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D.

4 5
( )

13.(08 陕西卷 1) sin 330° 等于 A. ?

3 2

B. ?

1 2
2

C.

1 2

D.

3 2
( )

14.(08 四川卷 4) ( tan x + cot x ) cos x = A. tan x B. sin x C. cos x D. cot x

15.(08 天津卷 6)把函数 y = sin x ( x ∈ R ) 的图象上所有的点向左平行移动 上所有点的横坐标缩短到原来的 ( ) A. y = sin ? 2 x ?

π 个单位长度,再把所得图象 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 2

? ?

π? ? ,x ∈ R 3?

B. y = sin ?

? x π? + ? ,x ∈ R ?2 6?
2π ? ? ,x ∈ R 3 ?
( )

C. y = sin ? 2 x +

? ?

π? ? ,x ∈ R 3?

D. y = sin ? 2 x +

? ?

16.(08 天津卷 9)设 a = sin A. a < b < c

5π 2π 2π , b = cos , c = tan ,则 7 7 7
C. b < c < a D. b < a < c

B. a < c < b

17.(08 浙江卷 2)函数 y = (sin x + cos x ) 2 + 1 的最小正周期是





π
A.

2

B. π

C.

3π 2

D. 2π

18.(08 浙江卷 7)在同一平面直角坐标系中,函数 y = cos( 交点个数是 (

x 3π 1 + )( x ∈ [0, 2π ]) 的图象和直线 y = 的 2 2 2


A.0 二,填空题

B.1

C.2

D.4

19.(08 北京卷 9)若角 α 的终边经过点 P (1, ? 2) ,则 tan 2α 的值为 20.(08 江苏卷 1) f ( x ) = cos ? ω x ?



? ?

π?

? 的最小正周期为 ,其中 ω > 0 ,则 ω = 5 6?

π



2 sin 2 x + 1 ? π? 21.(08 辽宁卷 16)设 x ∈ ? 0, ? ,则函数 y = 的最小值为 sin 2 x ? 2?
22.(08 浙江卷 12)若 sin(



π 3 + θ ) = ,则 cos 2θ = _________。 2 5

π 23.(08 上海卷 6)函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 三,解答题 24. (08 四川卷 17)求函数 y = 7 ? 4sin x cos x + 4 cos x ? 4 cos x 的最大值与最小值。
2 4

25. (08 北京卷 15) 已知函数 f ( x ) = sin 2 ω x + 3 sin ω x sin ? ω x +

? ?

π? 的最小正周期为 π . (Ⅰ) ?( ω > 0 ) 2?

求 ω 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. 3

? 2π ? ? ?

26. (08 天津卷 17)已知函数 f ( x ) = 2 cos

2

ω x + 2 sin ω x cos ω x + 1 ( x ∈ R, ω > 0 )的最小值正周期是

π
2

. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合.

27. (08 安徽卷 17)已知函数 f ( x ) = cos(2 x ?

π

) + 2sin( x ? ) sin( x + ) 3 4 4

π

π

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

, ] 上的值域 12 2

π π

28. (08 陕西卷 17)已知函数 f ( x ) = 2sin (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x ) = f ? x +

x x x cos ? 2 3 sin 2 + 3 . 4 4 4

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x ) 的奇偶性,并说明理由. 3?

1.D 11.B 19.

2.C

3.C

4.B

5.B

6.A 15.C

7.D 16.D

8.C 9.A 10.A 17.B 22. ? 18.C

12.C 13.B 20. 10

14.D

4 3

21. 3
2

7 25
4

23.2

24. 解: y = 7 ? 4sin x cos x + 4 cos x ? 4 cos x

= 7 ? 2 sin 2 x + 4 cos 2 x (1 ? cos 2 x )
= 7 ? 2 sin 2 x + 4 cos 2 x sin 2 x = 7 ? 2 sin 2 x + sin 2 2 x = (1 ? sin 2 x ) + 6
2

, 由于函数 z = ( u ? 1) + 6 在 [ ?11 ] 中的最大值为
2

zmax = ( ?1 ? 1) + 6 = 10
2

最小值为

zmin = (1 ? 1) + 6 = 6
2

故当 sin 2 x = ?1 时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x = 1 时 y 取得最小值 6 【点评】 :此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值; 【突破】 :利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键; (Ⅰ) f ( x ) = 25. 解:

1 ? cos 2ω x 3 3 1 1 + sin 2ω x = sin 2ω x ? cos 2ω x + 2 2 2 2 2

π? 1 ? = sin ? 2ω x ? ? + . 6? 2 ?
因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ω > 0 , 所以

2π = π ,解得 ω = 1 . 2ω ? ? π? 1 ?+ . 6? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) = sin ? 2 x ?

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

1 π? ≤ sin ? ? 2 x ? ? ≤1 , 2 6? ?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ? 26. 解:

? ?

π? 1 3 ? 3? ? + ≤ ,即 f ( x ) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

f (x ) = 2 ?

1 + cos 2ωx + sin 2ωx + 1 2 = sin 2ωx + cos 2ωx + 2

π π? ? = 2 ? sin 2ωx cos + cos 2ωx sin ? + 2 4 4? ? π? ? = 2 sin ? 2ωx + ? + 2 4? ?
由题设,函数 f ( x ) 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) =

π
,可得

2

2π π = ,所以 ω = 2 . 2ω 2

π? ? 2 sin ? 4 x + ? + 2 . 4? ? π
16 + kπ π? (k ∈ Z ) 时,sin ? ? 4 x + ? 取得最大值 1,所以函数 f (x ) 的最大值 2 4? ?

当 4x +

π
4

=

π
2

+ 2kπ ,即 x =

是2+

π kπ ? ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x = + ,k ∈ Z? 16 2 ? ? π
) + 2sin( x ? ) sin( x + ) 3 4 4

27. 解: (1)∵ f ( x ) = cos(2 x ?

π

π

=

1 3 cos 2 x + sin 2 x + (sin x ? cos x )(sin x + cos x ) 2 2 1 3 cos 2 x + sin 2 x + sin 2 x ? cos 2 x 2 2 1 3 cos 2 x + sin 2 x ? cos 2 x 2 2

=

=

(2)∵ x ∈ [ ?

π π 5π , ],∴ 2 x ? ∈ [ ? , ] 12 2 6 3 6 π π
3 6 ) 在区间 [ ?

π π

= sin(2 x ? ) 6

π

∴周期T =

2π =π 2

因为 f ( x ) = sin(2 x ? 所以 当x=

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 12 3 3 2

π π

π π

时, f ( x ) 取最大值 1

又 ∵ f (?

π
12

)=?

3 π 1 π 3 < f ( ) = ,∴ 当 x = ? 时, f ( x ) 取最小值 ? 2 2 2 12 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [ ?

3 , ] 上的值域为 [ ? ,1] 12 2 2

π π

(Ⅰ)∵ f ( x ) = sin 28. 解:

x x ? x π? + 3 cos = 2 sin ? + ? . 2 2 ?2 3?

∴ f ( x ) 的最小正周期 T =

2π = 4π . 1 2

当 sin ?

? x π? ?x π? + ? = ?1 时, f ( x ) 取得最小值 ?2 ;当 sin ? + ? = 1 时, f ( x ) 取得最大值 2. ?2 3? ?2 3?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) = 2sin ?

π? ?x π? ? + ? .又 g ( x) = f ? x + ? . 3? ?2 3? ?

?1 ? π ? π? x ?x π? ∴ g ( x) = 2 sin ? ? x + ? + ? = 2sin ? + ? = 2 cos . 3 ? 3? 2 ?2 2? ?2 ? x ? x? ∵ g (? x) = 2 cos ? ? ? = 2 cos = g ( x) . 2 ? 2?
∴ 函数 g ( x ) 是偶函数.


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