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选修2-1导学案第二,三章




第2章 §2.1.1 平面向量的复习
一、教学目标:复习平面向量的基础知识,为学习空间向量准备。 二、教学重点:平面向量的基础知识。 教学难点:运用向量知识解决具体问题 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向

法 1 ? a 是一个向量,满
王新敞
奎屯 新疆

? (?a ) ? (?? )a
(? ? ? )a ? ?a ? ?a

向 量 的 乘 法

足: 2 ? >0 时, ? a 与 a 同
王新敞
奎屯 新疆

向;

?a ? (?x , ? y )

? <0 时 , ? a 与 a 异
向;

? (a ? b ) ? ?a ? ?b

? =0 时, ? a =0

王新敞
奎屯

新疆

a ∥ b ? a ? ?b

a ?b ? b ? a
a ? b 是一个数
1 a ? 0 或 b ? 0 时,
王新敞
奎屯 新疆

(?a ) ? b ? a ? (?b ) ? ? (a ? b )

量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、 向 向量的数量积、射影。 (二) 、基本运算 1、向量的运算及其性质 运算类型 向 量 的 加 法 向 量 的 三角形法则 几何方法 1 平行四边形法则
王新敞
奎屯 新疆

量 的 数 坐标方法 运算性质 量 积

a ? b =0

a ?b ? x 1x 2 ? y 1 y 2

(a ? b ) ? c ? a ?c ? b ?c

2 a ? 0 且 b ? 0 时,
王新敞
奎屯 新疆

a ?b ? b ? a

a ? b ?| a || b | cos(a , b )

a 2 ?| a |2
| a |? x 2 ? y 2

2 三角形法则
王新敞
奎屯 新疆

a ?b ? (x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )

(a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

| a ?b |?| a || b |
2、平面向量基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量
? ?

AB ? BC ? AC

a ? b ? a ? (?b )

a ?b ? (x 1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )

? a ,有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ?
1 2



AB ? ? BA

注意: OP ? (OA ? OB) , OP ? ?OA ? (1 ? ? )OA 的几何意义
-1-

OB ? OA ? AB

3、 两个向量平行的充要条件: ⑴ a // b 的充要条件是: ⑵ 若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 则 a // b 的充要条件是: 标表示) 4、两个非零向量垂直的充要条件: ⑴ a ? b 的充要条件是: 表示)
? ? ⑵ 若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b 的充要条件是: ? ?

; (向量表示) ; (坐

? ?[0,?? ) 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(

) D.垂心

A.外心 (四) 、作业布置

B.内心

C.重心

; (向量

1.设平面向量 a =(-2,1), b =(λ ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值 范围是( )
1 2

; (坐标表示)

A. (? ,2) ? (2,??)

B. (2,?? )

C. (? ,?? )

1 2

D. (??,? ) 。 .

1 2

(三) 、课堂练习 1. O 为平面上的定点, A、 B、 C 是平面上不共线的三点, 若( OB - OC )·( OB + OC -2 OA )=0,则 ?ABC 是( ) B.以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形 )

2.若 a ? ?2,3?, b ? ?? 4,7?, a ? c ? 0, 则c在b方向 上的投影为 3.向量 OA ? (k ,1), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A,B,C 三点共线,则 k=

4.在直角坐标系 xoy 中,已知点 A(0,1)和 点 B(-3,4),若点 C 在∠AOB 的平分 线上且| OC |=2,则 OC = 5.在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是 __________。

A.以 AB 为底边的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形

2. P 是△ABC 所在平面上一点, 若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA , 则 P 是△ABC 的 ( A.外心 B.内心
? ??
? ??

C.重心
? ??
? ??

D.垂心 )

3.在四边形 ABCD 中, AB = DC ,且 AC · BD =0,则四边形 ABCD 是( A. 矩形 B. 菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形

4.已知 | p |? 2 2 , | q |? 3 , p 、 q 的夹角为 45? ,则以 a ? 5 p ? 2q , b ? p ? 3q 为邻 边的平行四边形的一条对角线长为( A. 15 B. 15 ) C. 14 D. 16

5 . O 是 平 面 上 一 定 点 ,A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足
OP ? OA ? ? (

AB | AB |

?

AC | AC |

),

-2-

§2.1.2 从平面向量到空间向量
序号 课型 学习 目标 重点 难点 1 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

向量垂直: 向量平行:

; ;

新授课

向量的表示:
射影:




1. 理解概念:空间向量、自由向量、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向 量、直线的方向向量、平面的法向量、向量的长度(模) 、向量的夹角、向量垂直, 向量平行; 2. 掌握空间向量的表示方法; 空间向量概念了理解

精讲互动: 例1. 如图,在正方形 ABCD ? A 'B 'C 'D ' 中:

(1)向量 DC , A ' B ' , D 'C ' 与向量 AB 相等吗? 复备、笔记、 ; 纠错
; ;

自主学习:
空间向量: 自由向量: 单位向量:

(2)向量 C ' D ' , CD , BA 与 A ' B ' 是相反向量吗? (3)E 和 F 分别是 AB 和 BB ' 的中点, 在正方体中能找到 3 个与
EF 平行的向量吗?

零向量 :

; ; ; ; ; 、

学习 相等向量: 过程 与方 相反向量: 法
平行向量: 直线的方向向量: 平面的法向量: 向量的长度 (模) : 向量的夹角:

例 2.课本 27 页练习第 1 题
; ; ;

-3-

作业 课本习题 2-1B 组第 1、2 题 布置 例 3.课本 27 页练习第 2 题

达标训练: 课本习题 2-1A 组第 1、2 题

小结 反思

课本习题 2-1A 组第 3、4 题

课 堂 检 测

-4-

§2.2 空间向量的运算
序号 课型 学习 目标 重点 难点 2 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

6.空间向量的基本定理 .

新授课

1.掌握空间向量的加减、数乘、数量积运算及运算律 2.理解两个空间向量共线的定理 重点:向量的加减、数乘、数量积运算及运算律 难点:空间共线向量的应用

精讲互动:
课本 30 页例 1 解:(1):

自主学习: 1.空间向量的加法: ; 2.空间向量的减法: ; 3.空间向量加减法的运算律: 结合律 ; 交换律 ;

复备、笔记、 纠错

(2):

4.空间向量的数乘:空间向量 a 与一个实数错误!未找到引用 源。的乘积是一个向量,记作 学习 满足(1) ; (2) 过程 ; 与方 运算律: (1) ?a ? a? (2)错误!未找到引用源。 (a ?b ) 法 = , (错误!未找到引用源。) a = ( ?, ? ? R ) 5.空间向量 a 和 b 的数量积的运算公式 运算律: (1)交换律 (3) 结论: (1) (3) (2)分配律 ( 3 ) (?? )a ?

(3):

课本 31 页例 2 解(1) :

(2):

(2) ;
-5-

第2题

第3题

达标训练:
(1)课本 31 页练习 2

作业 课本 32 页习题 2-2A 组第 4 题 B 组第 1 题 布置

(2)课本 31 页练习 3

小结 反思 课 堂 检 测
课本 31 页习题 2-2A 组 第1题

-6-

§2.3.1 空间向量的标准正交分解及其坐标表示
序号 课型 3 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

? 结论: a ? OP ? 总结:

? ? ? i 在给定空间直角坐标系中, , j , k 分别为空间直角坐标系
,对空间的任意向量 a , ? ,使得 a ? , ? ? ? 叫 作 a 的标准正交分解,把 i , j , k 叫 作

新授课

学习 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示; 目标 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律; 重点 空间向量的坐标运算 难点 自主学习: 复备、 笔记、 复习 1:平面向量基本定理: 纠错 ? ? ? 对平面上的任意一个向量 a , 向量, i , j 是平面上两个 ? ? ? 总是存在 实数对 ? x, y ? ,使得向量 a 可以用 i , j 来表示,表 ? ? ? ? 达式为 , 其中 i , j 叫做 . 若 i ? j ,则 ? 称向量 a 正交分解. 复习 2:平面向量的坐标表示: 平面直角坐标系中,分别取 x 轴和 y 轴上的 向量 i, j 作为基 底, 对平面上任意向量 a , 有且只有一对实数 x, y, 使得 a ? xi ? y j , 则称有序对 ? x, y ? 为向量 a 的 ,即 a = . ? ? ? 学习 2. 问题:在给定空间直角坐标系中,令 i , j , k 分别为空间直角 过程 坐标系中 x 轴,y 轴,z 轴正方向上的单位向量,对空间的任 ? ? ? 与方 意向量 a ,能否用 i , j , k 唯一表示? z 法 分析过程:
? a
o x y

中 x 轴,y 轴,z 轴正方向上的 存在唯一一组三元有序实数 我们把 ____________

a =___________叫作空间向量 a 的坐标,记作___________,

___________叫作向量 a 的坐标表示。 ? ? ? ? 2.设 a ? xi ? yj ? zk ,那么 ? ? a ?i ? ? ? a? j ? ? ? a?k ? 总结:我们把 分别称为向量 a 在 x 轴,y 轴,z 轴正方向上的投影,向量的坐标等于 _____________________________ 一般的, 若 b0 为 b 的单位向量, 称___________________为向量 a ? 在向量 b 上的投影 精讲互动: 例 1:课本 p34 例 1

例 2:课本 p34 例 2

-7-

达标训练: 1.课本 34 页练习第一题:

2.课本 34 页练习第二题: 作业 如图 4,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1, AB ? 2 ,点 E 为棱 AB 中点, ? ? ? 布置 i 请给出 D1C 、 D1 E 、 EC 关于 , j , k 的分解式, 并求 D1C 、 D1 E 、 EC 的坐标。

3.如图,在单位正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E1 , F1 分别是 A1 B1 , C1 D1 的一个四等分点.求 BE1 与 DF1 的坐标;

小结 反思
1 设 i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向 量,且 AB ? ?i ? j ? k ,则点 AB 的坐标是

D
课 堂 检 测 2 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AD=BC=1

C

A

B

? ? ? i DD1 =2,请给出 B1C 和 C1 D 关于 , j , k 的分解式, D 1
并求 B1C 和 C1 D 的坐标。
A1 B1

C1

-8-

§2.3.2 空间向量基本定理
序号 课型 学习 目标 重点 难点 4 授课 时间 备课人 班级 审核人 精讲互动: 例 1:阅读课本 35 页例 3 姓名

新授课

⒈了解空间向量基本定理及其推论; ⒉理解空间向量的基底、基向量的概念

1.空间向量的基本定理及应用。 2.空间向量的基本定理唯一性的理解 自主学习: 1 空间向量基本定理: ____________________________________________。 2 如果三个向量 e1, e2 , e3 不共面, 那么空间的每一个向量都可有 向量 e1, e2 , e3 线性表示,我们把空间不共面的三个向量 e1, e2 , e3 叫做这个空间的 。

复备、笔记、 纠错
G 在 AE 例 2: .在空间四边形 OABC 中, 已知 E 是线段 BC 的中点,
上,且 AG

? 2GE ,试用向量 OA, OB, OC 表示向量 OG 。

3.当 e1, e2 , e3 ______________时,就得到这个向量的一个正交 分解,当_____________________时,就是标准正交分解。 分析理解:阅读课本 35 页分析, 学习 ? 过程 理解 a ? OP ? OA ? OB ? OC ? ?1e1 ? ? 2 e2 ? ?3 e3 是怎么在下图 F P 与方 中分析出来 法
C E

例 3 : 空 间 平 移 △ ABC 到 △ A1B1C1 , 连 接 对 应 顶 点 , 已 知

AA1 ? a, AB ? b, AC ? c, 且 M 是 BC1 的中点, N 在 AC1 上,
B D

AN ? 2 NC1 ,试用向量 a, b, c 表示 MN .

o

A

-9-

达标训练: 1:课本 36 页练习第 1 题 2: 如图, 已知空间四边形 OABC , 其对角线 OB, AC ,M , N 分别是对边 OA, BC 的中点, 点 G 在线段 MN 上, 且 MG ? 2GN ,

作业 布置 课本 36 页练习第 2 题,课本 39 页第 8 题

OA ? a, OB ? b, OC ? c ,试用向量 a , b, c 表示向量 MN 和 OG 。
O

M G

C N

A B

小结 反思 1.下列三个命题, (1) 三个非零向量不能构成空间的一个基底, 则这三个向量共面。 (2)两个向量 a, b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基 底,则 a, b 共线。 课 堂 检 测 (3) 而 c ? xa ? yb (x,y 为非零实数) , a, b 是两个不共线向量, 则 a, b , c 构成空间的一个基底。 真命题个数是 OA 2. 若点 P 是线段 AB 的中点, 点 O 在直线 AB 外, 则 OP ? OB . + 3 .已知 A,B,C 三点不共线,O 为平面 ABC 外一点,若向量
1 7 OP ? OA ? OB ? ?OC ? ? ? R ? , 则 P,A,B,C 四 点 共 面 的 条 件 是 5 3 ? ?_

- 10 -

§2.3.3 空间向量运算的坐标表示
序号 课型 5 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

文字描述:____________________________________________ 4. 空间向量长度和夹角的坐标表示 ? (1) : a ? _________=_____________________;
? ? (2): cos a, b ? _________________________________ ? ? (3): a ? b ? _________ ? _____________________; 精讲互动: ? ? 例 1:已知 a ? ?? 1,?3,2?, b ? ?1,2,0?求:

新授课

学习 1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算; 目标 2.会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 重点 空间向量的坐标运算 难点 自主学习: ? ? 设a ? ?x1 , y1 , z1 ?, b ? ?x2 , y2 , z 2 ?, ? ? ? ? ? ? ? ? 即a ? x1i ? y1 j ? z1 k ; b ? x 2 i ? y 2 j ? z 2 k 1. 向量加减法和数乘的坐标表示 ? ? ? a ? b ? _____________________________________________

复备、笔 记、纠错

? ? ? ? ? ? (1) 4 a , ? 3a , a ? 2b , 2a ? b

? ? ? ? (2) (a ? 2b ) ? (2a ? 3b )

? ? ? a ? b ? (_______________________________) ? ? 同理 a ? b ? (___________________________)
文字描述:___________________________________________ ? 学习 ? ?a ? ________________________ 过程 ? ? ?a ? (_____________________) 与方 法 文字描述:____________________________________________ ? ? 空间向量间的平行关系:若 b ? 0 ? ? 则: a // b ? __________ ? ___________________________

例 2: 已知 A ? ? 3,5, ?7 ? , B ? ? ?2,4,3? ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段
AB 的长度.

例 3: 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1 和 BB1
的中点. (用向量方法求解) (1)证明:AEC1F 是平行四边形; (2)求 AE 和 AF 之间的夹角; (3)求四边形 AEC1F 的面积.
D A1 E F C B B1 D1 C1

2. 若 A?x1 , y1 , z1 ?, B?x2 , y2 , z 2 ?则 AB ? (___________________) ? ? ? ? ? ? ? ? 3. a ? b ? ( x1i ? y1 j ? z1k ) ? ( x2 i ? y2 j ? z 2 k ) =_______________________________________________ _______________________________________________ ? __________________________________________ ? ? ? a ? b ? ______________________________
- 11 -

A

达标训练: 1:课本 38 页练习第 3,4,5 题

1. a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则 5a ? 3b ? (

)

A.-15 B.-5 C.-3 D.-1 2. 已知 a ? ?1,2, ? y ? , b ? ? x,1,2? , 且 (a ? 2b) //(2a ? b) ,则( ) 2:已知 A ?1,0,0? , B ? 0, ?1,1? , OA ? ? OB 与 OB 的夹角为 120° ,则 ? 的值 为___________. 课 堂 检 测 A. x ? , y ? 1 C. x ? 2, y ? ?
1 3

B. x ? , y ? ?4

1 2

1 D. x ? 1, y ? ?1 4 3. 已知 a ? ? 2, ?1,3? , b ? ? ?4,2, x ? ,且 a ? b ,则 x=

.

4.已知 a ? ? ?3,2,5? , b ? ?1,5, ?1? ,求: ⑴a + b ; ⑵3a ? b ; ⑶6a ;

3 如图,在单位正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E1 , F1 分别是 A1 B1 , C1 D1 的 一个四等分点. (1)求 BE1 与 DF1 的坐标; (2)求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.

? ? ⑷a ? b ;

(5) b

作业 布置 课本 38~39 页,第 6,7 题。

小结 反思

- 12 -

§2.4.1 用向量讨论垂直与平行
序号 课型 6 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

精讲互动: 用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系. 设空间直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 ? , ? 的法向量 分别为 n1 , n2 ,则:

新授课

学习 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 目标 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。 重点 1.空间直角坐标系的正确建立,空间向量的运算及其坐标表示; 难点 2.用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题. 自主学习: 复备、笔 ? ? 记、纠错 1. 设a ? ?x1 , y1 , z1 ?, b ? ?x2 , y2 , z 2 ?, ? ? 空间向量间的平行关系:若 b ? 0 ? ? 则: a // b ? __________ ? ___________________________ ? ? a ? b ? _________ ? _____________________; 2.线面垂直判定定理:________________________________ 学习 ___________________________________________________. 过程 3.面面平行判定定理:__________________________________ 与方 ___________________________________________________. 法 4.三垂线定理:_______________________________________ _____________________________________________________ 5.怎样确定直线的方向向量?
6.怎样确定平面的法向量?

1.理解直线的方向向量与平面的法向量.

? ? ①线线平行: l1 // l 2 或 l1 与 l 2 重合 ? e1 // e2

即:两直线平行或重合 ②线线垂直:

两直线的方向向量共线。

即:两直线垂直

两直线的方向向量垂直。 外

? ? ③线面平行: l1 // ? ? e1 ? n1 且 在平面

即:直线与平面平行 垂直且直线在平面外。 ④面面平行: 或 与 重合

直线的方向向量与该平面的法向量

- 13 -

直线,则该直线与此平面垂直。 2 面面平行判定定理:若一个平面内有两条相交直线都平行与另 一个平面,则这两个平面平行。 3.三垂线定理:若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在 该平面上的投影,则这两条直线垂直 即:两平面平行或重合 ⑤线面垂直: 两平面的法向量共线。

即:直线与平面垂直 线 直。 ⑥面面垂直:

直线的方向向量与平面的法向量共 达标训练: 1:课本 41 页练习第 1,2,3 题 2.如右图,棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E、F、分别是
DD1 、 BD 的中点.求证: EF ? CF

直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂

D1 A1

C1
B1
C

E
D

即:两平面垂直

两平面的法向量垂直。

关键:用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题,关键是找 出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量,通过讨 论向量的共线或垂直,确定线面之间的位置关系。 阅读课本例 1, 例 2, 例 3 思考三个定理是怎么应用向量方法证明 的。 1.线面垂直判定定理:若一条直线垂直于一个平面内的两条相交
- 14 -

A

F

B

小结 反思 1.平面 α 的一个法向量为(1,2,0),平面 β 的一个法向量为 (2,-1,0),则平面 α 与平面 β 的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 2.从点 A(2,-1,7)沿向量 a=(8,9,-12)的方向取线段长 AB= 34,则 B 点的坐标为( ) A. (-9, -7,7) B. (18,17, -17) C. (9,7, -7) D. (-14, -19,31) 3.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线 l1、l2 的方向向量, 若 l1∥l2,则( ) 15 15 A.x=6,y=15 B,x=3,y= 2 C.x=3,y=15D.x=6,y= 2 4. 若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2), 平面 α 的法向量为 u=(-2,0, -4),则( ) A. l ∥α B. l ⊥α C. l ? ? D.l 与 α 斜交 5.已知 A(1,1,-1),B(2,3,1),则直线 AB 的模为 1 的方向向量 是____________.

课 堂 检 测

作业 布置 课本 42 页习题 2-4 第 3 题

- 15 -

§2.4.2 用向量讨论垂直与平行
序号 课型 7 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

精讲互动: 问题 1:怎样确定直线的方向向量? (1)若 l 上有不同两点 A?x1 , y1 , z1 ?, B?x2 , y2 , z 2 ?,则 l 的方向向量为

新授课

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 , z 2 ? z1 ,?
(2)若 l1 // l 2 ,则 l1 的方向向量可以用 l 2 的方向向量表示。 问题 2:怎样确定平面的法向量? 例 1.已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2, 0),试求平面 α 的一个法向量. 解: ∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), → ? AB =(1,-2,-4),AC=(2,-4,-3), ? 设平面 α 的法向量为 n =(x,y,z). ? ? ?n ? AB ? 0 依题意,应有 ? ? ? ?n ? AC ? 0 ?x-2y-4z=0 即? ?2x-4y-3z=0 ?x=2y ,解得? ?z=0 .

1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 学习 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 目标 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。 重点 1.空间直角坐标系的正确建立,空间向量的运算及其坐标表示; 难点 2.用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题. 自主学习: 复备、笔 ? ? 记、纠错 1. 设a ? ?x1 , y1 , z1 ?, b ? ?x2 , y2 , z 2 ?, ? ? 空间向量间的平行关系:若 b ? 0 ? ? 则: a // b ? __________ ? _____________________ ? ? a ? b ? _________ ? _____________________; 2. 用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题,关键是找出或求 出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量,通过讨论向量 的共线或垂直,确定线面之间的位置关系。 设空间直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 ? , ? 的法向量 学习 分别为 n1 , n2 ,则: 过程 与方 ①线线平行: l1 // l 2 ? __________________ 法 ②线面平行: l1 // ? ? __________________ ③面面平行: ? // ? ? __________________ ④线线垂直: l1 ? l2 ? ___________ ? ____________ ⑤线面垂直: l1 ? ? ? ___________ ? __________________ ⑥面面垂直: ? ? ? ? ___________ ? ________________

令 y=1,则 x=2. ? ∴平面 α 的一个法向量为 n =(2,1,0). 【反思】用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个 不共线向量,列出方程组,取其中一组解(非零向量)即 可. “用向量法”求法向量的解题步骤: (1)设平面的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ; (2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标

a ? (a1, b1, c1 ),b ? (a2 , b2 , c2 ) ;
? ?n ? a ? 0 (3)根据法向量的定义列出方程组 ? ; ? ?n ? b ? 0

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量。
- 16 -

小结 反思 1. 平面 α 的一个法向量为(1,2,0), 平面 β 的一个法向量为(-2, -4,0),则平面 α 与平面 β 的位置关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 达标训练: 1. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, O 是 B1 D1 的中点, 求证: B1C // 面ODC1 2. 设 a ? ( x,4,3),b ? (3,2, z) ,且 a ∥ b ,则 xz 等于( 课 堂 检 测 A.-4 B.9 C.-9 D. )

64 9 3. 已知平面 α 经过点 O(0,0,0),且 e=(1,1,1)是 α 的法向量, M(x, y, z)是平面 α 内任意一点, 则 x, y, z 满足的关系式是_____.

4.若直线 a 和 b 是两条异面直线,它们的方向向量分别是(1,1,1)和 (2,-3,-2),则直线 a 和 b 的公垂线(与两异面直线垂直相交的 直线)的一个方向向量是________. 作业 1.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点, 布置 求证:平面 ADE∥平面 B1C1F.

2.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别是棱 AB, BC 的中点,

M 为 BB1 中点,求证: D1 M ⊥平面 EFB1 .

2.课本 42 页习题 2-4 第 4 题

- 17 -

§2.5.1 直线间的夹角
序号 课型 学习 目标 重点 难点 8 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

当 0 ?? s1 , s 2 ?? 当

?

?

?
2

时,直线 l1与l 2 的夹角等于___________;

?
2

?? s1 , s 2 ?? ? 时,直线 l1与l 2 的夹角等于__________

?

?

新授课

用向量求直线间的夹角 用向量求直线间的夹角

a?b ? 总结: 两直线 l , m 所成的角为 ? ( 0 ≤ ? ≤ ), cos ? ? ; 2 a b
精讲互动: 例1. 条 如图, 在空间直角坐标系中有长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? , AB ? 2 , BC ? 1 , AA? ? 3 .求对角线 AC ? 和侧面对角线
A ?D 的夹角 ? 的余弦值.
B? A? D?

自主学习:
1. 共面直线的夹角:当两条直线 l1与l 2 共面时,我们把两 学习 过程 与方 法 角.(如图 1) 2. 异面直线的夹角:当直线 l1与l 2 是异面直线时,在直线 l1 上 任 取 一 点 A 作 AB // l 2 , 我 们 把 直 线 l1 和 直 线 AB 的 ___________叫作异面直线 l1与l 2 的_________.(如图 2)
B A ) C 图1

直线交角中,范围在 ___________ 内的角叫作两直线的夹

C?

A

D

l2

B

C

l2

l1

?

l1

B A 图2 C 复备、笔记、 纠错

3. 空间直线夹角的求法: 空间直线由一点和一个方向确定, 所以空间两条直线的夹角 由它们的______________的夹角确定. ? l1 l2 s
1

B

A

s2
A

?

s1

?

例 2. 如图,A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1、 F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点,若 BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到 引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

B

l2

s2

?

C 图3

l1
? ?

C

s2 , 已知直线 l1与l 2 的方向向量分别为 s1 、

- 18 -

达标训练:
1. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1C 和 C1 D 与底面所成的角

作业 布置

P47 页习题 2-5A 组 1、5

分别为 60°和 45°,则异面直线 B1C 和 C1 D 所成角的余弦值 为 . 2. 如图, ABCD—A1B1C1D1 是正方 体,B1E1=D1F1=错误!未找 到引用源。 ,则 BE1 与 DF1 所 成角的余弦值是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

小结 反思

1. 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 若 AB ? 2BB1 , 则 AB1 与 C1 B 所成角的大小为( ) A.60° B.90° C.105° D.75° 课堂 检测

3. 已知直线 l1 的方向向量为 s1 ? (1,?1,1) , 直线 l 2 的方向向量为
s 2 ? (?1,2,0) .求两条直线夹角的余弦值.
?

?

- 19 -

§2.5.2 平面间的夹角
序号 课型 学习 目标 重点 难点 9 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

新授课

用向量求平面与平面的夹角 用向量求平面与平面的夹角
例2.

在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

自主学习:
1.平面间夹角的概念: 如图,平面 ? 1 和平面 ? 2 相交于直线 l ,点 R 为直线 l 上任意 学习 过程 与方 法 一点,过点 R ,在平面 ? 1 上作直线 l1 ? l ,在平面 ? 2 上 作直线 l 2 ? l , 则 l1 ? l 2 ? R , 我们把直线 l1 和 l 2 的____________ 叫作平面 ? 1 与 ? 2 的夹角. 2. 平面间夹角的求法: 设平面 ? 1 与 ? 2 的法向量分别为 n1 与 n 2 当 0 ?? n1 , n 2 ?? 当
? ?

?

?

复备、 笔记、 纠错

达标训练: 1. 课本练习 45 页练习 2

?
2

时,平面 ? 1与? 2 的夹角等于___________;

?
2

?? n1 , n 2 ?? ? 时,平面 ? 1与? 2 的夹角等于__________

?

?

总结:设平面 ? 1 和平面 ? 2 的夹角为 ? ,则 ? ? _________,且
cos ? ? ___________

精讲互动: 例 1. 如 图 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 有 单 位 正 方 体 ABCD ? A?B ?C ?D ? .求平面 BC D ?A? 与平面 ABCD 的夹角 ? . .

2. 如图 4,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1, AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 上移动, 问 AE 等于何值时,二面角 D1-EC-D 的大小 为
π 4

- 20 -

作业 布置 小结 反思

P47 页习题 2-5A 组 2、4

已知 E,F 分别是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 BC 和 CD 的中点, 求: (1)A1D 与 EF 所成角的大小; (2)A1F 与平面 B1EB 所成角的大小; (3)二面角 C ? D1 B1 ? B 的大小

课堂 检测

- 21 -

§2.5.3 直线与平面的夹角
序号 课型 学习 目标 重点 难点 10 授课 时间 备课人 班级 审核人 精讲互动: 例1. 如图,在空间直角坐标系中有单位正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? . 求对角线 A?C 与平面 ABCD 的夹角 姓名

新授课

掌握用向量求直线与平面所成的角
向量在求直线与平面所成角的应用

自主学习:
直线与平面的夹角 1.直线与平面夹角的概念:平面外一条直线与它在该平面 学习 过程 与方 法 内的__________的夹角叫作该直线与此平面的夹角. 如果一条直线与一个平面平行或者在平面内,我们规定 这条直线与平面的夹角为_________. 如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这条直线与平 面的夹角为_________. 2.直线与平面夹角的求法: 设平面 ? 的法向量为 n ,直线 l 的方向向量为 a ,直线 l 与平面 ? 所成角为 ? . 当 0 ?? n , a ?? 当
? ?

? 的正弦值

?

?

复备、 笔记、 纠错

?
2

时, ? =_____________;

例2.

?
2

?? n , a ?? ? 时, ? =_____________.
A

? ?

如图,在空间直角坐标系中有单位正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? , E、 F 分别是 B ?C ?,A?D ? 的中点 . 求直线 AC 与平面 ABEF 的夹角 ? 的正弦值.

总结: sin ? ? ______________________________

?

C

? ( B

- 22 -

作业 布置 达标训练:
课本 46 页练习

P47 页习题 2-5A 组 3

小结 反思

如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD, AB=1,BC=2,PA=2,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:CD⊥EF (3)求 EF 与平面 ABCD 所成的角的大小. 课堂 检测

- 23 -

§2.6.1 距离的计算
序号 课型 学习 目标 重点 难点 11 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

①求平面 ? 的法向量为错误!未找到引用源。 ( n0 是 n 的单位 向量); ②在平面 ? 内取一点 P,确定 PA (PA 是平面 ? 的斜线) ; ③d ?
PA ? n n ? PA ? n 0 ;

新授课

1. 几何中点到直线的距离,点到平面的距离的概念 2. 掌握各种距离计算的方法 重点:求点到直线,点到平面的距离 难点:直线的方向向量和平面法向量的确定

自主学习: 1.概念:点到直线的距离概念 ; 点到平面的距离的概念 ; 异面直线间的距离的概念 ; 线到面的距离 ; 面到面的距离 ; 学习 2. 利用直线的方向向量求点到直线的距离的基本思路如图设 过程 点 A 是直线 L 外一定点,步骤如下: 与方 ①求出直线 L 的一个方向向量 s ; 法 ②在直线 L 上任意找一点 P,确定向量 PA 并求出 PA ; ③求出 PA 在 s 上的射影,即 单位向量) ;
2

复备、笔记、 纠错

4.异面直线间距离的求法: l1 , l 2 是两条异面直线, n 是 l1 , l 2 的 公垂线段 AB 的方向向量,又 C、D 分别是 l1 , l 2 上的任意两点,

则 | AB |?

| DC ? n | ; |n|

5.线面距、面面距均可转化为点面距离求解。 精讲互动: 例 1. 课本 48 页例 1

PA ? s s

? PA ? s 0 ( s 0 是 s 的

④d ?

PA ?

2

PA ? s s

?

PA ? PA ? s 0

2

2

例 2. 课本 49 页例 2

3.利用法向量求点面距离的基本思路如图设点 A 是平面 ? 外 一定点,步骤如下:

- 24 -

2.已知点 M (-1,1,-2) , 平面 ? 过原点 O, 且垂直于向量 n = (1, -2,2).求点 M 到平面 ? 的距离。 例 3.如图边长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E,F 分别是
1 BB1 ,C1C 的中点, DG ? DD1 ,过 E、F、G 的平面交 AA1 于点 3

H.。 (1)求 A1D1 到面 EFGH 的距离;
1 1 (2) M, N 在棱 AA1、 且 A1M ? AA1 , D1N ? DD1 , DD1 上, 6 6

求面 B1C1NM 与 EFGH 的距离。

小结 反思 1.棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E,F 分别是棱 CC 1 和

D1A1 的中点,求点 A 到直线 EF 的距离。

达标训练: 1.已知点 A (1, -1,2) , 直线 L 过原点 O, 且平行于向量 (0,2,1) . 求点 A 到直线 L 的距离。

课 堂 检 测

2. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱 AA1 ? 3 , 底面 ?A BC 中,

?C ? 900 , AC ? BC ? 1,求点 B1 到平面 A1BC 的距离。

- 25 -

作业 布置 习题 2-6A 组第 1、2、3 题

特别地,当 t ?

1 1 时,P 为 AB 的中点, OP ? (OA ? OB) 称为线 2 2

第二章 空间向量与立体几何 小结与复习
序号 课型 学习 目标 重点 难点 12 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

段 AB 的中点公式.

2、共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线,则向量 p 与向量

a, b 共面的充要条件是存在实数对 x、y,使 p ? xa ? yb 。
推论:空间一点位于平面 MBA 内的充分必要条件是存在有序实 数对(x,y) ,使 MA ? xMB ? yMC . 对于空间任一定点 O,有 OP ? OM ? xMA ? yMB .对于空 间任一定点 O , P 、 M 、 A 、 B 四点共面的充分必要条件是

新授课

1.平面向量向空间向量堆广,空间向量的坐标表示及运算 2.用向量去证明有关线,面位置关系的定理,用向量去求空间中的夹角及距 离的问题 空间向量在立体几何中的应用 知识梳理: (一) 、基本概念 1、共线向量定理: 对于空间任意两个向量( b ? 0 ) , a // b 的充要条件是存在

OP ? xOM ? yOA ? zOB ,其中 x ? y ? z ? 1 。
b、 c 不共面,那么对于空间任一向量 p ,存 3、如果三个向量 a、
b、 c} 在唯一的有序实数组 (x, y, z) , 使 p ? xa ? yb ? zc , 其中{ a、

学习 过程 与方 法

实数 ? ,使 a ? ? b . 复备、 推论: 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线, 笔记、 那么对于任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t , 纠错 满足等式 OP ? OA ? ta ,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 在 l 上取 AB ? a ,则 OP ? OA ? t AB 或 OP ? (1 ? t )OA ? tOB .O 是空间任一点,A、B、C 三点共线的充要条件是

b、 c 都叫做基向量。 叫做空间的一个基底, a、
推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x、y、z , 使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 。 4、空间向量的数量积:
a ? b ? a ? b cos ? a, b ?

空间向量的数量积的性质: ① a ? e ? a cos ? a, e ? ② a ? b ? a ?b ? 0

OA ? xOB ? yOC ,其中 x + y = 1.

- 26 -

③ a ? a?a ? a

2

2

④ cos ? a, b ??

a ?b a?b

标为 ( x, y, z ) ,利用 n 与平面 ? 内的两个不共线向量 a, b 垂直, 其数量积为 0 列出两个关于 x、y、z 的三元一次方程组,取这 个方程组的一组非零解即得平面 ? 的一个法向量 n 。 2、线面角的求法:设 n 是平面 ? 的一个法向量, AB 是平面

空间向量的数量积的运算律: ① (? a) ? b ? ?(a ? b) (结合律)

② a ? b ? b ? a (交换律) ③ a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律) 5、向量的直角坐标运算:设 a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) ,则
2 2 a ? a ? a ? a12 ? a2 ? a3

? 的斜线 l 的一个方向向量,则直线 l 与平面 ? 所成角为
arc aec sin
AB ? n AB ? n

a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R)
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0
设 A( x1 , y1, z1 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 )
AB ?

3、二面角的求法:① AB、CD 分别是二面角 ? ? l ? ? 的两个

(? ? R )

面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小为 ? AB, CD ? ; ② 设 n1 , n2 分别是二面角 ? ? l ? ? 的两个面的法向量,则
? n1 , n2 ?? arccos n1 ? n2 n1 ? n2

,这就是二面角 ? ? l ? ? (或其补角)

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

cos ? a ? b ??

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 a12 ? a2 ? a3 ? b12 ? b22 ? b32

的大小。 4、点、面距离的求法

(二)基本方法 1、平面法向量的求法:设 n 是平面 ? 的一个法向量,其坐

- 27 -

(2)求 cos ? AE , D1 B ?
A1

D1

C1
B1
C

E

D
设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的斜线段,则点 B 到平面

A

F

B

? 的距离 d ?

AB ? n n

.

达标训练: 精讲互动: 例1. 如右图,棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E、F、G 分别是 DD1 、 BD 、 BB1 的中点. (1)求证: EF ? CF (2)求 EF 与 CG 所成角的余弦值; (3)求 CE 的长. 2.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点, 那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值 是 ( ) 1.已知错误!未找到引用源。 ( )

例 2.如图正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,E、F、G 分别是 B1B 、AB、 的中点. (1)证明: D1F ⊥平面 AEG;

BC

小结 反思

- 28 -

1.对空间任意两个向量错误!未找到引用源。的充要条件是(其 中错误!未找到引用源。)( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 2. 已 知 向 量 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 夹 角 为 ( A.0° C.90° ) B.45° D.180°

作 业 课本复习题(二)A 组 1、3、4、6 布 置 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

3.已知 A(0,2,3) ,B(-2,1,6) ,C(1,-1,5) ,若错误! 未找到引用源。的坐标为 .

课堂 检测

4.如图:ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD,M、N 分 别是 PC、AB 中点, 求证:MN⊥平面 PCD.(12 分) 错误!未找到引用源。

§1.1.1 椭圆及其标准方程(第一课时)
序号 1 授课 时间 班级 姓名

- 29 -

课型

新授课

备课人

审核人

圆上任意一点,则有 F1 (-c,0), F2 (c,0).

1、理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题; 学习 2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 目标 3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法. 重点 重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程. 难点 难点:椭圆的标准方程的推导. 自主学习: 复备、笔 1. 取一条定长的细绳,把它的两端固定在平面内的同一点 F 上, 记、纠错 用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在平面内慢慢移动,问笔尖画出的 图形是_________ 2. 取一条一定长的细绳, 把它的两端固定在画图板上的 F1 和 F2 两 点: (1)当绳长大于| F1 F2 |时, 用铅笔尖把绳子拉紧, 使笔尖在图板上 慢慢移动,就可以画出一个__________. (2)当绳长等于| F1 F2 |时,就可以画出_________. (3) 当绳长小于| F1 F2 |时,能否画出图形____________. 由上述探究过程容易得到椭圆的定义: 学习 _____ 其 中 这 两 个 定 点 F1 和 F2 叫 做 椭 圆 过程 , F1 和 F2 间的距离叫做椭圆的 .即当动点设为 与方 的 法 时,椭圆即为点集 ?M | MF1 ? MF2 ? 2a?. 精讲互动: 1.椭圆标准方程的推导过程(见教材61页)思考: (1)建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使定点,定线段放 在坐标轴上,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选 取方法是恰当的. 以两定点 F1 、 F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系(如图 2-14).设| F1 F2 |=2c(c>0),M(x,y)为椭
- 30 -

(2)点的集合由定义不难得出椭圆集 P=?M||MF 1 |+|MF 2 |=2a? . (3)代数方程

(4)化简方程 化简方程可请同学在下面完成,教师巡视,适当给予提示: 1) 注意化简技巧,原方程要移项平方,否则化简相当复杂;两次 平方整理后,再平方得 (a 2 -c2 )x 2 +a 2 y2 =a 2 (a 2 -c2 )

由2a ? 2c 2) 为使方程对称和谐而引入 b, 同时 b 还有几何意义,
可得a 2 ? c 2 ? 0, 令a 2 ? c 2 ? b 2 , 则得方程 x2 y2 ? ? 1 (a>b>0). a2 b2

2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、 F2 (c,0),这里 c2 =a 2 -b2

-c)、 F2 (0,c),这里 c2 =a 2 -b2 ,只须将(1)方程的 x、y 互换即可 得到.

(3)通过具体示例总结如何判断椭圆焦点位置。再对上面内容 进行一个总结:给出一个表格说明 标准方程
x2 y 2 ? ? 1??? a ? b ? 0? a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1??? a ? b ? 0? b2 a 2

3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴焦点坐标分别为 ? 0, ?4? , ? 0, 4? , a ? 5 ⑵ a ? c ? 10, a ? c ? 4

图 形

焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置 的判断 达标训练:

F1 ? ??c???0? 、F2 ? c?,?0?

F1 ? 0?,???c ?、F2 ? 0?,?c ?

课 堂 检 测

1.平面内一动点 M 到两定点 F1 、 F2 距离之和为常数 2a ,则点 M 的 轨迹为( ) A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 2 2.如果方程 x ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 那么实数 k 的取值 范围是( ) A. (0, ??) B. (0, 2) C. (1, ??) D. (0,1)
x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 100 36 到另一个焦点 F2 的距离是( )

3.如果椭圆

A.4 B.14 C.12 D.8 4.椭圆两焦点间的距离为 16 ,且椭圆上某一点到两焦点的距离分 别等于 9 和 15 ,则椭圆的标准方程是 . 5 . 如 果 点 M ( x, y ) 在 运 动 过 程 中 , 总 满 足 关 系 式
x2 ? ( y ? 3)2 ? x2 ? ( y ? 3)2 ? 10 ,点 M 的轨迹是

x2 , y2 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

,它的

方程是 ,b ?



x2 y 2 1.快速反应:① 2 ? 2 ? 1 ,则 a ? 5 3 x y ② 2 ? 2 ? 1 ,则 a ? 4 6
2 2



§1.1.2 椭圆及其标准方程(第二课时)
序号 2 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

,b ?

; 课型 ;

新授课



x2 y 2 ? ? 1 ,则 a ? 9 4

,b ?

2. 判断下列椭圆的焦点位置,并求出焦点坐标。
1. x2 y 2 ? ?1 10 12

1、理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题; 学习 2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 目标 3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法. 重点 理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义;会求椭圆标准方程
- 31 -

2.16 x2 ? 25 y 2 ? 400

难点 自主学习: 1. 椭圆的定义: _____ 其 中 这 两 个 定 点 F1 和 F2 叫 做 椭 圆 , F1 和 F2 间的距离叫做椭圆的 .即当动点 复备、笔记、 纠错 例 2.已知椭圆两焦点坐标分别是(0,-2) , (0,2) ,并且经过 的 设为 时,椭圆即为点集 ?M | MF1 ? MF2 ? 2a?.
? 3 5? ? ? , ? ,求椭圆的标准方程。 ? 2 2?

2.填写下表: 标准方程

例 3 求证: 点 M ?a cos? , b sin ? ??0 ? ? ? 2? ? 在椭圆

x2 y2 ? ? 1上 a2 b2

图 形 学习 过程 与方 法

焦点坐标 a、b、c 焦点位置 精讲互动: 例 1 已知 B,C 是两个定点,|BC|=10,且△ABC 的周长等于 22, 求顶点 A 满足的一个轨迹方程。

达标训练: 1.课本 65 页练习 2 第 1 题 2.设点 A, B 的坐标分别为 ? ?5,0? , ?5,0? , . 直线 AM , BM 相交于点
4 M ,且它们的斜率之积是 ? ,求点 M 的轨迹方程 . 9

2 2 3. 一 动 圆 与 圆 x ? y ? 6x ? 5 ? 0 外 切 , 同 时 内 切 与 圆

x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 ,求动圆圆心的轨迹方程式,并说明它是
什么曲线.

- 32 -

迹方程是

小结 反思 1.若关于 x, y 的方程 x2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1 所表示的曲线是椭圆, 则 ? 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若 ?ABC 的个顶点坐标 A(?4, 0) 、 B(4,0) , ?ABC 的周长为 18 , 则顶点 C 的轨迹方程为( )
x2 A. ? 25 x2 C. ? 16 y2 ?1 9 y2 ? 1 ( y ? 0) 9 y 2 x2 B. ? ? 1 ( y ? 0) 25 9 x2 y 2 D. ? ? 1 ( y ? 0) 25 9

作业 布置 课本 65 页练习 2 第 2,3 题

§1.2.1 椭圆的简单性质(第一课时)
序号 课型 3 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

新授课

了解用方程的方法研究图形的对称性; 理解椭圆的范围、 对称性及对称轴, 学习 目标 对称中心、离心率、顶点的概念; 理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念; 重点 难点 掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题. 复备、笔 记、纠错 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

课 堂 检 测 3 . 设 定 点 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) , 动 点 P 满 足 条 件 )
4 PF1 ? PF2 ? m ? (m ? 0) ,则点 P 的轨迹是( m

焦点的位 置 学习 过程 与方 法

A.椭圆 C.不存在

B.线段 D.椭圆或线段

图形

定义 标准方程 4. 与 y 轴相切且和半圆 x2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 2) 内切的动圆圆心的轨
- 33 -

a b c 关系 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 自主学习: 问题 1: 椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系无关的本身 固有的性质,如: 是与坐标系有关的性质如 精讲互动: 由 椭 圆 方
y

不变,图象关于原点对称. 如果曲线具有关于 x 轴对称, 关于 y 轴对称和关于原点对称中 的任意两种,则它一定具有第三种对称 原点叫椭圆的 短轴长= ,长轴长=
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,简称中心. x 轴、 y 轴叫椭圆的对称
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轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
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在椭圆 对称轴: 对称中心:

x2 y2 ? ? 1 的方程里,令 y ? 0 得 x ? ? a ,椭圆和 x 轴有 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 的顶点,令 a2 b2

e?

?

两个交点 A (?a,0), A2 (a,0) ,它们是椭圆

x ? 0 ,得 y ? ?b ,椭圆和 y 轴有两个交 B (0,?b), B2 (0, b) ,因此椭

,一类

圆共有四个顶点 A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b) ,两焦点


A1

P′

B2

F1 (?c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊点. A1 A2 叫椭圆的
P

, B1 B2 叫椭

x2 y2 ? ?1 ( a ? b ? 0 ) 研究 a2 b2

圆的

. 长分别为 2a,2b ; a, b 分

y

F1
Q

O

F2 A2

x

椭圆的性质.(利用方程研究,说 明结论与由图形观察一致) (1)范围: 从标准方程得出

B1 P″

别为椭圆的 和 . (4)离心率: 定义式:e=________用 a 和 b 表 示离心率 e__________

B2 A1
O

A2 B1

x

x2 y2 ? 1 ? 1 ,即有 ? a ? x ? a , ? b ? y ? b ,可知 , a2 b2

e ? 0, c ? 0 ,椭圆越___,直至成为极限位置圆, e ? 1, c ? a, 椭圆越___,直至成为极限位置线段 F1 F2 。

椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组成的矩形中. (2)对称性: 把方程中的 x 换成 ? x 方程不变,图象关于 y 轴对称. y 换成
? y 方程不变,图象关于 x 轴对称.把 x , y 同时换成 ? x ,? y 方程也

达标训练:1.填表: y 2 x2 方程 ? ?1 性质 16 9 长轴长 2a 短轴长 2b 离心率 e
- 34 -

36x2 ? 100 y2 ? 3600

9 x2 ? y 2 ? 81

焦点 顶点坐标
x2 y 2 ? ? 1 上的一点,且以点 P 及焦点 F1 , F2 为顶 5 4 点的三角形的面积等于 1 ,则点 P 的坐标是 .

离心率 e 焦点 顶点坐标 作业 布置 课本 68 页练习 1,习题 3-1A 组第 6,7 题

2.已知点 P 是椭圆

3.某椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18 ,且两个焦点 恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是 .

§1.2.2 椭圆的简单性质(第二课时)
小结 反思 1.若椭圆
x2 y 2 10 ,则 m 的值是( ) ? ? 1 的离心率 e ? 5 m 5 25 5 15 A. 3 B. 3 或 C. 15 D. 15 或 3 3

序号 课型

4 新授课

授课 时间 备课人

班级 审核人

姓名

1. 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质; 学习 2.理解椭圆第二定义与第一定义的等价性; 目标 3. 掌握根据曲线方程来研究曲线性质的基本思路与方法; 培养学生观察能力, 概括能力;提高学生画图能力;提高学生分析问题与解决问题的能力
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2.短轴长为 5 ,离心率 e ? 的椭圆两焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交 课 堂 检 测 椭圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长为( A. 3 B. 6 C. 12 ) D. 24

2 3

重点 重点:椭圆的几何性质. 难点 难点:几何性质的综合运用 焦点的位 置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 复备、 笔记、 纠错

3. 填空:
方程 性质

学习 过程 与方 法
x y ? ?1 100 36
2 2

图形

定义 标准方程 a b c 关系

2x 2 ? y 2 ? 8

长轴长 2a 短轴长 2b
- 35 -

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 对称轴: 对称中心: 短轴长= ,长轴长=
N1 K1 P

y

y

B2
O F2

K2

N2 P

N2

A2
F2

A1

F1

A2

K2

x

B1

O

B2
N1

x

B1
2.椭圆的准线方程

A1
K1

F1

e?

?

对于

x2 y2 ? ? 1 , 相 对 于 左 焦 点 F1 (?c,0) 对 应 着 左 准 线 a2 b2 a2 a2 ;相对于右焦点 F2 (c,0) 对应着右准线 l 2 : x ? 。 c c

自主学习: 精讲互动: 阅读课本 67 页例 5, 总结求椭圆的标准方程的一般步骤: ①求 a, b 的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程. 例 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦距是 8,离心率为 0.8
x y 5 ? ? 1 有相同的焦点且 e ? 9 4 5
2 2

l1 : x ? ?

y2 x2 对 于 2 ? 2 ? 1 , 相 对 于 下 焦 点 F1 (0,?c) 对 应 着 下 准 线 a b l1 : y ? ? a2 a2 ;相对于上焦点 F2 (0, c) 对应着上准线 l 2 : y ? c c

(2)与

达标训练: 1. 椭圆
x2 y2 ? ? 1 上有一点 P,它到椭圆的左准线距离为 10, 100 36

25 例 2:点 M ( x, y) 与定点 F ? 4,0? 的距离和它到直线 l : x ? 的距 4 4 离之比是常数 ,求点 M 的轨迹。 5

求点 P 到椭圆的右焦点的距离。

知识拓展: 1. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距 离的比是一个 (0,1) 内常数 e , 那么这个点的轨迹叫做椭圆 其
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2.椭圆

x2 y 2 x2 y 2 和 ? ? 1 ? ? k (k ? 0) 具有( a 2 b2 a 2 b2



中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率

A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、 短轴
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- 36 -

圆的标准方程为?
1 x2 y 2 ? 1 的离心率为 ,则 m 的值是( 3.设椭圆 ? 2 4 m


16 3

A.3

B.

16 3

C.

16 或3 3

D. 2 或

作业 布置

课本 68 页练习第 2 题

4. 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形, 则离心率 e ? ( ) A.
1 5

§1.2.3 椭圆的简单性质(第三课时)
序号 课型 5 新授课 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

B.

3 4

C.

3 3

D.

1 2

小结 反思 1.椭圆 9x2 ? y2 ? 36 的长轴的端点坐标( A. (?6,0)(6,0) 2.椭圆 课 堂 检 测 B. (?2,0)(2,0) C. (0, ?6)(0,6) ) D. (0, ?12)(0,12) )

1. 了解椭圆的焦半径公式,并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的 学习 问题; 目标 2.能利用椭圆的有关知识解决实际问题,及综合问题; 重点 1.了解焦半径公式及公式的推导 难点 2.应用问题中坐标系的建立 自主学习: 复备、 笔记、 纠错 焦点的位 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 置

x2 y 2 x2 y2 ? ?1与 ? ? 1(0 ? k ? 9) 有( 25 9 9 ? k 25 ? k

A.相等的长轴

B.相等的短轴

C.相同的焦点 D.相等的焦距

学习 过程 与方 法

图形

定义 标准方程

3.已知 F1 、 F2 为椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点,过 F2 作椭 2 a b

2

2

a b c 关系 范围

3 圆的弦 AB,若 ?AF1B 的周长为 16,椭圆的离心率 e ? ,则椭 2
- 37 -

顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 准线方程 精讲互动: 1:阅读课本 67 页例 6 思考总结天体运行轨道问题的一般规律
y

即(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 短轴长= ,长轴长=__________ 同理有焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: 即(下焦半径) r1 ? a ? ey0 ,(上焦半径) r2 ? a ? ey0 注意:焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而 与点在左在右无关 可以记为:左加右减,上减下加
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对称轴:

对称中心:__________

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e?

?

知识应用:椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其上一点 P(3, y )到两 a2 b2
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焦点的距离分别是 6.5 和 3.5,求椭圆方程

a+c
B F1 O F2

a-c
A

x

达标训练: 1.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列,则其离 心率为 .

2: 椭圆的焦半径公式: 设 M ( x0 , y0 ) 是椭圆

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

2

2

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别是 F1 和 F2 ,过原点 O 作直线与椭圆 45 20 相交于 A, B 两点,若 ?ABF2 的面积是 20 ,则直线 AB 的方程式

2.椭圆 是



的一点 , r1 和 r2 分别是点 M 与点 F1 (?c,0) , F2 (c,0) 的距离 . 那么 (左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 ,其中 e 是离 心率
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3. (1)求下列直线 3x ? 10 y ? 25 ? 0 与椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的交点坐标. 25 4

推导方法:

r1 r2 ? e, ?e | MN1 | | MN 2 |
2

y
N1 K1 M

B2
O F2

a ? r1 ? e | MN1 |? e( ? x0 ) ? a ? ex0 , c a2 r2 ? e | MN 2 |? e( ? x0 ) ? a ? ex0 c
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N2

A1

F1

A2

K2

x

B1

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 60 的直线 l , 2 直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点,求 AB 的长.

(2)经过椭圆

- 38 -

作业 布置 小结 反思
x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、F2 的连线互 49 24

课本 68-69 页 A 组第 5,9 题。

1.椭圆

相垂直,则△ PF1 F2 的面积为( A. 20 B. 22

) C. 28 D. 24

课 堂 检 测

2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交 椭圆于点 P , 若△F1PF2 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率是 ( ) A.
2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1

x2 y 2 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 在椭圆上, ? ? 1 的左、 16 9 若 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距 9 9 9 7 离为( ) A. B. 3 C. D. 4 5 7

3. 已知椭圆

- 39 -

自主学习: 1.把一根直尺固定在画板上,把一块三角板的一条直角边紧 靠在直尺的边缘,取一根细绳,它的长度与另一直角边相 等, 细绳的一段固定在顶点 A 处, 另一端固定在画板上点 F 处。用笔尖扣紧绳子,靠住三角板,然后将三角板沿着直 尺上下滑动,笔尖就在画板上描出了“抛物线”

复备、笔记、 纠错

学习 的 。 过程 与方 2.抛物线的定义: 法

§2.1 抛物线及其标准方程(第 1 课时)
序号 课型 6 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

新授课

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不过 F ) 的距离 _____ 的点的集 合叫 作抛物线。 这个定点 F 叫 作 抛 物 线 的 ,这条定直线 l 叫作抛物线的________。 精讲互动: 1.抛物线标准方程的推导过程(见教材70页)思考交流: ①“建” :建立适当的直角坐标系
根据抛物线的定义,我们建立如图的平面直角坐标系 xOy ,准线

学习 1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程 目标 2.进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能力 重点 1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程 难点 2.掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能力。

l 与 x 轴垂直,垂足为 K ,焦点 F 在 x 轴上, KF 的中点为坐标系的原
点O .

- 40 -

这个方程叫作抛物线的标准方程. 这条抛物线的焦点 在 其中 p 是 ,坐标是 到 , 它的准线方程是 的距离。 ,

3.抛物线的四种标准形式 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不过 F )的距 离 ②“设” :设相关的量及其相关点的坐标 设 KF ? p( p ? 0) ,则焦点 F 的坐标为( 的方程为________. 设 M ( x, y) 是抛物线上任意一点,点 M 到 l 的距离为 d . ③“线”:找出题目中的等量关系(一般以线性等量关系多 件) 由抛物线的定义可知,抛物线上的点 M 满足 _________ ④“代” :代入坐标及其相关数据,得到方程 因为 MF ? _________, , d ? ________ 所以 ),准线 l 的 的点的集合叫作抛物线。这个定点 F 叫作抛物线 ,这条定直线 l 叫作抛物线的 。

__________ __ ? __________
精讲互动: 例1. 根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)已知抛物线的焦点坐标是 F(2,0) ; (2)已知抛物线的准线方程是 x ? ?
3 2

⑤“化” :将方程化简整理 将上式两边平方并化简,得

2.

- 41 -

作业 布置 例2. 已知抛物线的焦点在 x 轴正半轴上,焦点到准线的距离 是 2 .求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程. 序号 课型 达标训练:
1.已知抛物线的标准方程是 y =6x,求它的焦点坐标和准线方程;
2

P76 习题 3—2

A 组第 2 题

B 组第 1 题

§2.1 抛物线及其标准方程(第 2 课时)
7 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

新授课

学习 目标 重点 难点

1、理解抛物线的概念,掌握抛物线定义、会用抛物线的定义解决实际问题; 2、理解抛物线方程推导过程及化简无理方程的常用的方法; 3、了解求抛物线的伴随点的轨迹方程的一般方法.
1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程 2.掌握解析几何的基本思想方法,提高分析、对比、概括、转化等方面的能力。 复备、笔记、 自主学习:

2.已知抛物线的焦点是 F(0,-2),求它的标准方程.

1.抛物线的定义: _______________________________________ _______________________这个定点叫作抛物线的 学习 过程 与方 法 这条定直线叫作抛物线的 2. 图像 y 方程 。 ,

纠错

小结 反思 1. 已知抛物线的焦点在 x 轴正半轴上, 焦点到准线的距离 为 3.求抛物线的标准方程.
(3,0) 2. 焦点是 的抛物线的标准方程是________________;

焦点

准线

F o y F o x

课 堂 检 测

准线方程是 x ? ?2 的抛物线的标准方程是__________. 3.抛物线 y 2 ? 8mx(m ? 0) , F 是焦点,则 m 表示( A.F 到准线的距离 C.F 到准线距离的
1 8



x

B.F 到准线距离的 D.F 到 y 轴的距离

1 4

F

o

x

- 42 -

y 达标训练: o
F

x

1.(2011 陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为,则 抛物线的方程是( A. y 2 ? ?8x ) C. B. y 2 ? 8x

y 2 ? ?4x

D. y 2 ? 4 x )

精讲互动:
例1. 点 M 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 l : x ? 6 ? 0 的距离 小于 2.求点 M 的轨迹。 2.抛物线 y ? 2ax2 的准线方程是 y ? 1 ,则实数 a 的值为( A.
1 8 1 8

B. ?

C.8

D. ? 8

3.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 则 p 的值为( A. ? 2 小结 反思 B.2 ) C. ? 4 D.4

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合, 6 2

1. 根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)焦点是 F (?3,0) ; 例2. 某单行隧道横断面由一段抛物线及矩形的三边组成,尺 寸如图。 某卡车载一集装箱, 车宽 3m, 车与箱总高 4.5m, 此车能否安全通过隧道?说明理由 2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) y 2 ? 8 3x ; (2) x 2 ? 8 y ? 0 3.平面上动点 M 到定点 F (3,0) 距离比 M 到直线 x ? ?1 的距离 大 2.求动点 M 满足的方程,并画出相应的草图. 课堂 检测 (2)准线方程是 x ? ?
1 2

- 43 -

作业 布置

P76 习题 3—2A 组 7、8 题

§2.2 抛物线的简单性质
序号 课型 学习 目标 重点 难点 8 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

新授课

1、了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念; 2、 掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、对称轴等简单性质; 3、 会用顶点及通径的端点画抛物线的草图。 1.抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念; 2.抛物线上的点的坐标的取值范围、对称轴等简单性质

自主学习:
1.抛物线的定义: _______________________________________ _______________________这个定点叫作抛物线的 学习 过程 与方 法 这条定直线叫作抛物线的 2.抛物线的性质 类型 。 ,

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x 2 ? 2 py ( p ? 0)

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

图 像

复备、笔记、 纠错

焦点 准线 性 质 范围 对称 轴 顶点
- 44 -

离心 率 开口 方向 2. 抛物线的通径 通过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点且垂直于 x 轴的直线与抛物 线两焦点的坐标分别为_________,_________.连接这两点的线 段叫做抛物线的 __________, 它的长为 __________________, 这 就是抛物线标准方程中 2 p 的一种_______________意义。 精讲互动: 例1. 求顶点在原点,通过点 ,且以坐标轴为轴的抛 ( 3, - 6) 物线的标准方程.

达标训练:
1. 点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x + 6 =0 的距离小 2,求 M 得轨迹.

2.求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是 F (?5,0 ) ; (2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上

3.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的一条直线与这抛物 例2. 根据下列条件,求抛物线的标准方程: 线相交于 A、B 两点,且 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 求证: y1 y 2 ? ? p 2 , x1 x 2 ?
p2 4

(1) 顶点在原点,对称轴为 x 轴,经过点 P(4,2 3) ; (2) 焦点是 F (0,?8) ,准线方程是 y ? 8 ; (3) 与抛物线 y 2 ? ?16x 共顶点,且焦点在直线 y ? 3x ? 1 上.

- 45 -

§3.1.1 双曲线及其标准方程
小结 反思 序号 课型 1.下列抛物线中,开口最大的是(
1 2 2 C. y ? 2 x

9

授课 时间 备课人

班级 审核人

姓名

新授课

) B. y2 ? x

A. y2 ? x

学习 1.理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题; 目标 2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法; 重点 重点、难点:理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义; 难点 自主学习: 复习旧知: 1. 把平面内与两个定点 于 , 的距离之和等于___(大 会用双曲线的定义解决实际问题. 复备、笔记、 纠错

D. y 2 ? 4 x 2.顶点在原点,焦点是 F (0,5) 的抛物线方程( ) 2 2 A. y ? 20x B. x ? 20 y C. y 2 ?
1 x 20

D. x 2 ?

1 y 20

3.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l ,交抛物线于 A , B 两点, 若线段 AB 中点的横坐标为 3 ,则 AB 等于( ) 课堂 检测 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4

)的点的轨迹叫做椭圆.其中这两个定点叫做___

__,两定点间的距离叫做______.即当动点设为 时,椭圆即为点集 .

2.平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫 4.抛物线 y ? ax (a ? 0) 的准线方程是
2



5.过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) 两点,如果 y1 ? y2 ? 6 ,则 AB =

做___定点 F 不在定直线 l 上).定点 F 叫做抛物线的__ 学习 过程 _,定直线 l 叫做抛物线的___. 与方 预习新知: 法 1.由教材探究过程容易得到双曲线的定义. 叫做双曲线.其中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的 距离叫做双曲线的焦距.即当动点设为 M 时,双曲线即为点 集P? 。

作业 布置

P77 页习题 3-2B 组 1、2、3

2.双曲线标准方程的推导过程 思考: 类比求椭圆标准方程的方法自己建立直角坐标系试 着求双曲线的方程.

- 46 -

化简方程可请同学在下面完成,教师巡视,适当给予提示: 3) 注意化简技巧,原方程要移项平方,否则化简相当复杂; 两次平方整理后,再平方得 (c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 )
4) 为使方程对称和谐而引入 b,同时 b 还有几何意义,

令 c 2 ? a 2 ? b 2 (b ? 0) 精讲互动: 1.双曲线标准方程的推导过程(见教材39页)思考: (1)建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使定点,定线 段放在坐标轴上,注意充分利用图形的对称性,使学生认识 到下列选取方法是恰当的. 以两定点 F1 、 F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系(如图 2-14).设| F1 F2 |=2c(c>0),M(x, y)为双曲线上任意一点,则有 F1 (-c,0), F2 (c,0).
y



x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

2.两种标准方程的比较(引导学生归纳)

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0)表示焦点在x轴上的双曲线, (1) a 2 b 2 焦点是F1 (?c,0), F2 (c,0)这里c 2 ? a 2 ? b 2 y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0)表示焦点在y轴上的双曲线, (2) a 2 b 2 焦点是F1 (0,?c), F2 (0, c)这里c 2 ? a 2 ? b 2
(3)通过具体示例总结如何判断双曲线焦点位置。再对上面 内容进行一个总结:给出一个表格说明
x2 y2 标准方程 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b
y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

F1

o

F2

x

(2)点的集合由定义不难得出双曲线集合

图 形

P ? M MF1 ? MF2 ? 2a .
(3)代数方程 列方程得 (4)化简方程
- 47 -

?

?

( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a

焦点坐标

F1 ? ??c???0? 、F2 ? c?,?0?

F1 ? 0?,???c ?、F2 ? 0?,?c ?

a、b、c 的关系 焦点位置 的判断


c ? a ?b
2 2 2

A. ? 25 B. 25 C. ?1 D. 1 a ? 2.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 2 ,则 b ? ( ) A. 5 B. 13 C. 5 D. 13 3.已知方程 围
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范 2 ? m m ?1

在标准方程形式中,x2 , y2 哪个在前, 焦点就 在哪个轴上

. 1 、 2、3

例题精讲 例1、 已知双曲线两个焦点分别为 F1 ? ?5,0? , F2 ? 5,0? ,双曲 线上一点 P 到 F1 , F2 距离差的绝对值等于 6 ,求双曲线 的标准方程.

作业 习题 3-3 布置

例 2、相距 2km 两个哨所 A, B ,在 A 哨所听到炮弹爆炸声比在 B 哨所迟 4s, 已知声速是 340 m / s , 问炮弹爆炸点在怎样的曲线 上,并求出曲线的方程。

达标训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 2 5 ,经过点 A(?5, 2) ; (2)经过两点 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) .

小结 反思 课 堂 检 1.双曲线 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为 ( )
- 48 -

精讲互动: 一、 曲线与方程的概念及证明

例1、证明 : 圆心为M (3, 4), 半径为5的圆的方程是 (x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 25,
并判断点O (0,0), A (?1,0), B (1, 2)是否在这个圆上.

§4.1 曲线与方程
序号 课型 11 授课 时间 备课人 二、求曲线的方程 班级 审核人 姓名 葛伟 例 2、已知三点 A(-7,0) ,B(7,0) ,C(2,-12) ,若椭圆过 A、 B 两点,且 C 为其一焦点,求另一焦点 F 的轨迹方程。

新授课

学习 1、了解曲线的方程与方程的曲线的概念及其关系。 目标 2、会求简单的曲线的方程。 重点 求简单的曲线的方程。 难点 自主学习: 复备、笔记、 1、在平面直角坐标系中直线、圆、椭圆与其对应的方程之间 纠错 有什么关系? 2、曲线与方程的概念 一般地,在直角直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一 个二元方程 F(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解 ; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 ; 学习 过程 那么曲线 C 叫做__________________的曲线;方程 与方 F(x, y)=0 法 叫做___________________的方程 . 注意: 曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程 3、求曲线方程的一般步骤:

例 3、已知圆 A: (x ? 2)2 ? y 2 ? 1 与定直线 L: x ? 1 ,动 圆 M 和圆 A 外切并与直线 L 相切,求动圆的圆心 M 的 轨迹方程。

例 4 动点在曲线 x2+y2=1 上移动时,求它和定点

B(3,0)连线的中点 P 的轨迹方程。

- 49 -

达标训练:
1、 甲: “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y)=0 的解”, 乙: “曲 线 C 是方程 f (x,y)=0 的曲线”,则甲是乙的( ) (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 非充分也非必要条件

小结 反思
1.设动点 P 是抛物线 y=2x +1 上任意一点,点 A(0,-1),点 M 使得 →
2

PM=2MA,则 M 的轨迹方程是(
1 2 A.y=6x - 3



)

1 2 B.y=3x + 3 1 2 D.x=6y - 3

2.已知 A(-1,0)、B(2,4),△ABC 的面积为 10,则动点 C 的轨迹 方程是( ) C.y=-3x -1
2

A.4x-3y-16=0 或 4x-3y+16=0 B.4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0 C.4x-3y+16=0 或 4x-3y+24=0 D.4x-3y+16=0 或 4x-3y-24=0

课 堂 检 测

2.已知 ABC 中,A (-2,0),B (0,),第三个顶点 -2 C 在曲线 y ? 3x 2 ? 1上移动,求 ABC 的重心的轨迹方程。
3.已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1 ,2),

Q 是线段 PM 延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方
程( ) A.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 B.2x-y-5=0 D.2x-y+5=0

- 50 -

精讲互动: 例 1 曲线上的点 M (x, y) 到定点 F (2, 0) 的距离和它到定直线 作业 布置 课本 86 页练习第 2、3 题 课本 89 页习题 3-4 A 组第 1、2 题
l : x ? 8 的距离比是常数

1 ,求曲线方程。 2

§4.2 圆锥曲线的共同特征
序号 课型 12 授课 时间 备课人 班级 审核人 例 2、曲线上的点 M (x, y) 到定点 F (5, 0) 的距离和它到定直线
l :x ? 16 5 的距离比是常数 ,求曲线方程。 4 5

姓名

新授课

学习 掌握圆锥曲线的共同特征; 目标 重点 圆锥曲线的共同特征; 难点 自主学习:

圆锥曲线的共同特征:圆锥曲线上的点到一个定点的距离
学习 与它到一条定直线的距离之比为______e.当 0<e<1 时圆锥曲线 过程 与方 是______________;当 e>1 时,圆锥曲线是____________;当 法 e=1 时,圆锥曲线是________________________;定点叫 ______;定直线叫_____________________.
注意:定点不在定直线上。

复备、笔记、 纠错

例 3、曲线上的点 M (x, y) 到定点 F (0,3) 的距离和它到定直线
l : y ? ?3 的距离比是常数 1 ,求曲线方程。

- 51 -

检 测

x2 y2 ? ?1 A. 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3 x2? y2 ?1 4

C.

x2 ? y 2 ?1 4

D.

达标训练: 1 、曲线上的点 M (x , y ) 到定点 F (2, 0) 的距离和它到定直线
l : x ? 8 的距离的比是常数 2,求曲线方程。

2、设双曲线以椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的两端点为焦点,其准线 25 9

过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为( 4 1 3 ? A ?2 B ? C D ? 3 2 4



x2 y2 ? ? 1 上一点 p 到一个焦点 F1 (?3,0) 的距离等于 3, 2、 椭圆 25 16

求它到直线 x ? ?

25 的距离。 3

3、平面内到定点(2,0)的距离与到定直线 x=8 的距离之比为 1 的动点的轨迹是( ) 2 A 椭圆 B 双曲线 C 抛物线 D 直线

4、椭圆 小结 反思 课 堂 1、中心在原点,准线为 x ? ?4 ,离心率为 0.5 的椭圆的方程为 ( )
- 52 -

x2 y2 ? ? 1 上的点 p 到右焦点的距离为 a,则点 p 到 4a 2 a 2

左准线的距离是( A

) B
2 3 a 3

2 3a

C

3 a 2

D

3 a 6

判定条件可归纳为:
椭圆:___________________________________________________

作业 布置 课本习题 3-4A 组第 4 题

B 第4题

_____________________________________________________ ______________________________________________________; 抛物线:_________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________; 双曲线:_________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________. 4、 弦长公式:____________________________________________.

§4.3 直线与圆锥曲线的交点
序号 课型 13 授课 时间 备课人 班级 审核人 姓名

精讲互动:
x2 y2 ? ? 1 ,斜率为 1 的直线过其焦点 例 1、给定椭圆方程 5 4

新授课

学习 1、直线与圆锥曲线的交点问题; 2、直线与圆锥曲线的位置关系。 目标 重点 直线与圆锥曲线的位置关系 难点 复备、笔记、 1、 曲线的交点: 由曲线方程的定义可知, 对于曲线 C1 : f(x, y) ? 0 纠错 由于 M (x 0 , y 0 ) 是 C1 与 C 2 的一个交点 学习 和曲线 C 2 : g (x , y ) ? 0 , ? __________________, 所以,求两条曲线 C1 与 C 2 的交 过程 与方 点,就是求方程组_____________________的实数解。 法 方程组有几组不同的实数解, 两条曲线就有_____________; 方程组没有实数解,两条曲线就_____________。 2、直线与圆锥曲线的位置关系为相交、相切、相离.
- 53 -

F2 (1, 0) ,直线与椭圆相交于 A、B 两点,求 A 与 B 的坐标及 AB
的长度。

自主学习:

例 2、若直线 L: y ? (a ? 1)x ? 1 与曲线 C: y 2 ? ax 恰好有一个 公共点,试求实数 a 的取值集合。

达标训练: 1、在椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 16 中,求通过点 M (2,1) 且被这点平分的 弦所在的直线的方程和弦长。

例 3、已知双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 ,过点 p (1,1) 的直线与双曲线只 4

2、 已知直线 L : kx ? y ? 2 ? k ? 0, 双曲线 C : x 2 ? 4 y 2 ? 4 , 当k 为何值时, (1) L 与C 无公共点; (2) L 与C 有唯一公共点; (3) L 与C 有两个不同的公共点。

有一个公共点,求直线 L 的斜率 K 的值。

例 4、 求过定点 p (0,1) , 且与抛物线 y 2 ? 2x 只有一个公共点的 直线方程。

小结 反思 1、抛物线与直线有一个公共点是直线与抛物线相切的( A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2、当 k 取何值时,直线 y ? kx ? 1 与 4x 2 ? y 2 ? 1相交? )

课 堂 检 测

- 54 -

3、已知顶点在原点,焦点在 y 轴上的抛物线被直线
x ? 2 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 15 ,求此抛物线方程。

4、已知直线 L : y ? 2x ? m , 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1, 试问当 m 取 4 2

何值时,直线 L 与椭圆 C: (1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点。

作业 布置 课本 89 页习题 3-4

A组

第 3、5、7、8

B组 第1题

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高 中 数 学 人 教 版 选修 2-1 全套导学案









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执教教师:

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