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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):9.3二项式定理


课时跟踪检测(六十) 二项式定理

1.(2012· 四川高考)(1+x)7 的展开式中 x2 的系数是( A.42 C.28 B.35 D.21

)

2.(2012· 东城模拟)(x- 2y)8 的展开式中,x6y2 项的系数是( A.56 C.28 B.-56 D.-28

)

r />3.(2012· 皖南八校联考)(x+2)2(1-x)5 中 x7 的系数与常数项之差的绝对值为( A.5 C.2 4.(2012· 蚌埠模拟)在? A.3 项 C.5 项 B.3 D.0

)

? x+ 1 ?24 3 ? 的展开式中,x 的幂的指数是整数的项共有( x? ?
B.4 项 D.6 项 )

)

1 5.(2012· 北京东城模拟)?2x-x?4 的展开式中的常数项为( ? ? A.-24 C.6 B.-6 D.24

1 6.(2012· 安徽高考)(x2+2)?x2-1?5 的展开式的常数项是( ? ? A.-3 C.2 B.-2 D.3

)

2 1 7.(2012· 郑州模拟)在二项式?x -x ?n 的展开式中,所有二项式系数的和是 32,则展开 ? ?

式中各项系数的和为( A.32 C.0

) B.-32 D.1
-x

8.(2011· 陕西高考)(4x-2 )6(x∈R)展开式中的常数项是( A.-20 C.15
2 9.(2012· 北京朝阳二模)二项式 ?ax +

)

B.-15 D.20

?

1 ?5 的展开式中的常数项为 5,则实数 a= x?

________. 2 10.(2012· 上海高考)在?x-x?6 的二项展开式中,常数项等于________. ? ?

11.(2012· 浙江高考)若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1 +x)5,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实数,则 a3=____________. 1 12.(2012· 深圳模拟)已知等比数列{an}的第 5 项是二项式? x-3x?6 展开式的常数项, ? ? 则 a3a7=________. 13.二项式(2x-3y)9 的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和.

? x+ 1 ?n 14.已知? 4 ? 的展开式中,前三项系数成等差数列. 2 x? ?
(1)求 n; (2)求第三项的二项式系数及项的系数; (3)求含 x 项的系数.

1 1.(2012· 大纲全国卷)若?x+x?n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展 ? ? 1 开式中 2的系数为________. x 2.(2012· 北京海淀二模)已知(x+1)10=a1+a2x+a3x+…+a11x10.若数列 a1,a2,a3,…, ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则 k 的最大值是________. 3.已知 a 为如图所示的算法框图中输出的结果,求二项式?a x-

?

1 ?6 的展开式中含 x2 x?

项的系数.





课时跟踪检测(六十) A级 1.选 D 依题意可知,二项式(1+x)7 的展开式中 x2 的系数等于 C2×15=21. 7 2.选 A 由二项式定理通项公式得,所求系数为 C2(- 2)2=56. 8 3.选 A 常数项为 C2×22×C0=4,x7 系数为 C0×C5(-1)5=-1,因此 x7 系数与常数 2 5 2 5 项之差的绝对值为 5. 4.选 C 共 5 项. 1 - - - 5.选 D Tr+1=Cr (2x)4 r?-x ?r=(-1)r24 r· r x4 2r,令 4-2r=0,得 r=2,常数项为 C4 4 ? ? T3=(-1)222C2=24. 4 Tr+1=Cr ( 24 x)
24-r

? 1 ?r r 12-5r ? 3 ? =C24x 6 ,故当 r=0,6,12,18,24 时,幂指数为整数, ? x?

6.选 D

1 1 - r 二项式?x2-1?5 的展开式的通项为:Tr+1=Cr ?x2?5 r· 5 ? ? ? ? (-1) ,r=0,1,2,3,4,5.

当因式(x2+2)中提供 x2 时,则取 r=4;当因式(x2+2)中提供 2 时,则取 r=5,所以(x2+ 1 2)?x2-1?5 的展开式的常数项是 5-2=3. ? ? 7.选 C 依题意得所有二项式系数的和为 2n=32,解得 n=5.因此,该二项展开式中的 1 2 各项系数的和等于?1 -1?5=0. ? ? 8.选 C Tr+1=Cr (22x)6 r(-2 x)r=(-1)rCr · x)12 6 6 (2
4 常数项,T5=(-1)4C6=15.
- - -3r

,r=4 时,12-3r=0,故第 5 项是

1 5r 5r - - 9.解析:Tr+1=Cr (ax2)5 r?x-2?r=a5 rCr x10- 为常数项,则 10- =0,解得 r=4. 5 5 ? ? 2 2 此时 aC4=5,得 a=1. 5 答案:1 2 2 - ? - 10.解析:?x-x?6 展开式的第 r+1 项 Tr+1=Cr x6 r·-x?r=Cr (-2)rx6 2r,令 r=3,得 6 6 ? ? ? ?
3 常数项为 T4=C3· 6 (-2) =-160.

答案:-160 11.解析:不妨设 1+x=t,则 x=t-1,因此有(t-1)5=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5, 则 a3=C2(-1)2=10. 5 答案:10 1 1 1 3r 3r - ? 12. 解析: x-3x?6 的展开式的通项是 Tr+1=Cr · x)6 r· r=Cr · r· - x3- .令 3- 6( 6- ? ? 3x 3 2 2 1 5 5 ? 1 =0 得 r=2,因此? x-3x?6 的展开式中的常数式是 C2·-3?2= ,即有 a5= ,a3a7=(a5)2 6 ? ? ? ? 3 3 5 25 =?3?2= . ? ? 9 25 答案: 9 13.解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
9 (1)二项式系数之和为 C0+C1+C2+…+C9=29. 9 9 9

(2)各项系数之和为 a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1. (3)由(2)知 a0+a1+a2+…+a9=-1, 令 x=1,y=-1,得 a0-a1+a2-…-a9=59, 59-1 将两式相加,得 a0+a2+a4+a6+a8= ,即为所有奇数项系数之和. 2 1 1 14.解:(1)∵前三项系数 1, C1, C2成等差数列. 2 n 4 n

1 1 ∴2·C1=1+ C2,即 n2-9n+8=0. 2 n 4 n ∴n=8 或 n=1(舍). 3 4 1?r ?1?r r - ? (2)由 n=8 知其通项公式 Tr+1=Cr · x)8 r·1 C x4- ? ? =?2? · 8· 4r,r=0,1,…,8. 8( x? ?2 ∴第三项的二项式系数为 C2=28. 8 1 第三项系数为?2?2· 2=7. ? ? C8 3 (3)令 4- r=1,得 r=4, 4 1 35 ∴含 x 项的系数为?2?4· 4= . ? ? C8 8 B级 1 - ?1 2 1.解析:由 Cn=C6可知 n=8,所以?x+x?8 的展开式的通项公式为 Tr+1=Cr x8 r·x?r n 8 ? ? ? ? =Cr x8 8
-2r,

1 当 8-2r=-2 时,r=5,所以 2的系数为 C5=56. 8 x

答案:56
10 2.解析:∵(x+1)10=(1+x)10=C0 +C1 x+C2 x2+…+C10x10, 10 10 10

∴a1=C0 ,a2=C1 ,a3=C2 ,…,a6=C5 ,…,a11=C10,要使 a1,a2,a3…,ak 是一 10 10 10 10 10 个递增数列,只需 2≤k≤6,∴k 的最大值是 6. 答案:6 3.解:记 f(x)= 1 1 1 1 1 ,则有 f(2)= =-1,f[f(2)]=f(-1)= ,f?2?= =2,依题 2 ? ? 1 1-x 1-2 1- 2

1 1 意得题中所给的算法框图中输出的结果是数列 2,-1, ,2,-1, ,…(注:该数列的项 2 2 以 3 为周期重复出现)的第 2 014 项,由于 2 014=3×671+1,因此 a=2,二项式?a x-

?

1? x?

6

,即?2 x-

?

1 ?6 1 - ? - - 的展开式的通项是 Cr · x)6 r·- ?r=Cr ·6 r· (-1)r·3 r.令 3-r=2 得 r x 6 (2 62 x? x? ?

=1.所以,二项式?a x-

?

1 ?6 - 的展开式中含 x2 项的系数是 C1·6 1· (-1)1=-192. 62 x?


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