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必修四练习题


1.将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? 移后的图象所对应函数的解析式是 A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ?

? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图象如图 所示,则平 ? 6 ?

?

?
3

6

/>) )

B. y ? sin( x ? D. y ? sin(2 x ?

?
6

) )

?
3

? ? ? , 0 ? 平移, ? 6 ? ? 7? ? 3? ? )? 平移后的图象所对应的解析式为 y ? sin ? ( x ? ) ,由图象知, ? ( ,所以 6 12 6 2 ? ? 2 ,因此选 C。 sin x ? a (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是 2.设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? sin x
解: 将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值 B.有最小值而无最大 值 D.既无最大值又无最小值

sin x ? a (0 ? x ? ? ) 的值域为函数 sin x a a y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域,又 a ? 0 ,所以 y ? 1 ? , t ? (0,1] 是一个减函减,故选 B。 t t
解:令 t ? sin x, t ? (0,1] ,则函数 f ? x ? ? 3.函数 y=1+cosx 的图象 (A)关于 x 轴对称 (B)关于 y 轴对称 www.zxxk.comwww.zxxk.co

(C)关于原点对称

(D)关于直线 x=

? 对称 2

解:函数 y=1+cos 是偶函数,故选 Bwww.zxxk.comwww.zxxk.co

? 3 ? , ? ),sin ? = ,则 tan( ? ? )等于 5 2 4 1 1 A. B.7 C.- D.-7 7 7 ? 3 3 ? 1 ? tan ? 1 ? ,选 A. 解:由 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan ? ? ? , tan(? ? ) = 2 5 4 4 1 ? tan ? 7 ? ? 5.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? , ]上的最小值是-2,则? 的最小值等于 3 4 2 3 A. B. C.2 D.3 www.zxxk.comwww.zxxk.co 3 2
4.已知 ? ∈( 解:函数 f ( x) ? 2 sin? x ( ? ? 0)在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ωx 的取值范围是 , ? 3 4? ?

?? ? ?? 3? 3 ? ?? ?? ? ≤? 或 ≥ , ∴ ? ,∴ ? 的最小值等于 ,选 B. ? , ? ? 3 2 4 2 2 ? 3 4 ?

6.若 ?ABC 的内角 A 满 足 sin 2 A ?

2 ,则 sin A ? cos A ? www.zxxk.comwww.zxxk.c 3
C.

A.

15 3

B. ?

15 3

5 3

D. ?

5 www. zxxk.comwww.zxxk.co 3

解 : 由 sin2A = 2sinAcosA?0 , 可 知 A 这 锐 角 , 所 以 sinA + cosA?0 , 又

( s iA n?

2 cA o s? )?

5 1 As? i,故选 n 2 A 3

7.设点 P 是函数 f ( x) ? sin?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的 最小值

? ,则 f ( x) 的最小正周期是 4
B. π C.

? ? D. 2 4 解析:设点 P 是函数 f ( x) ? sin?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距
A.2π 离的最小值

? ,∴ 最小正周期为 π,选 B. 4
(B)1 (C)-1 (D)±1

8.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a= (A)0

【思路点拨】本题考查函数的奇偶性,三角函数 sinx 的奇偶性的判断,本题是一道送分的概 念题 【正确解答】解法 1 由题意可知, f ( x) ? ? f (? x) 得 a=0 解法 2:函数的定义域 为 R,又 f(x)为奇函数,故其图象必过原点即 f(0)=0,所以得 a=0, 解法 3 由 f(x)是奇函数图象法函数画出 f ?x? ? sin x ? a , x ? R 的图象选 A 【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性, 其前 提条件是函数的定义域必须关于原点对称. 若函数 f(x)为奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? y ? f ( x) 的图象关于原点对称. 若函数 f(x)为偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称.
x ? 9 为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点 3 6

(A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移 (D)向右平移

? ?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3

6

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

?
6

【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换,这是一道平时训练的比较多的一种类型。 【正确解答】先将 y ? 2 sin x, x ? R 的图象向左平移 得到函数 y ? 2sin( x ?

[来源:学_科_网]

?
6

? 个单位长度, 6

), x ? R 的图象, 再把所得图象上各点的横 坐标伸长到原来的 3 倍 (纵 x ? ? ), x ? R 的图像,选择 C。www.zxxk.comwww.zxxk.c 3 6
[来源:Z,xx,k.Com]

坐标不变)得到函数 y ? 2 sin(

【解后反思】由函数 y ? sin x, x ? R 的图象经过变换得到函数 y ? A sin(? x ? ? ), x ? R (1) .y=Asinx,x?R(A>0 且 A?1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0<A<1)到原来的 A 倍得到的 (2) 函数 y=sinω x, x?R (ω >0 且ω ?1)的图象, 可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω >1)
王新敞
奎屯 新疆

或伸长(0<ω <1)到原来的

倍(纵坐标不变) ? (3)函数 y=sin(x+ ? ), x∈R(其中 ? ≠0)的图象, 可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 ? > 0 时)或向右(当 ? <0 时=平行移动| ? |个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向: “加
王新敞
奎屯 新疆

1

左” “减右”),可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但注意:先伸缩 时,平移的单位把 x 前面的系数提取出来。 10.函数 y ? 4sin ? 2 x ? A.

? ?

?? ? ?1 的最小正周期为( ??

) C. 2 ? D. 4 ?

? B. ? ? 2? =? ,故选 B 解:T= 2
(A) 1 (B) -1 (C) 2k+1

11.已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( A ) (D) -2k+1 B )
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12.函数 y=sin(2x+ (A)

? 2

? )的最小正周期是( 6
(C) 2 ? (D)4 ?

(B)

?

二、填空题

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13.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? ___。 解:函数 f ( x) ? 2sin? x (? ? 0)在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值是_ , ? 3 4? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ωx 的取值范围是 , ? 3 4? ?

?? ? ?? 3? 3 ? ?? ?? ? ≤? 或 ≥ , ∴ ? ,∴ ? 的最小值等于 . ? , ? ? 3 2 4 2 2 ? 3 4 ?

14 若 f ( x) ? a sin( x ? 是

) ? b sin( x ? )(ab ? 0) 是 偶 函 数 , 则 有 序 实 数 对 ( a , b ) 可 以 4 4 .(注:只要填满足 a ? b ? 0 的一组数即可)(写出你认为正确 的一组数即可).
[来源:学科网 ZXXK]

?

?

解析. ab≠0, f ( x) ? a sin( x ? ) ? b sin( x ? ) ? a( 偶函数,只要 a+b=0 即可,可以取 a=1,b=-1.

? 4

? 4

2 2 2 2 sin x ? cos x) ? b( sin x ? cos x) 是 2 2 2 2

? ? 15 若 f ( x) ? a sin(x ? ) ? 3 sin(x ? ) 是偶函数,则 a= 4 4
解析: f ( x) ? a sin( x ?

.

? ? 2 2 2 2 ) ? 3sin( x ? ) ? a( sin x ? cos x) ? 3( sin x ? cos x) 是偶 4 4 2 2 2 2

函数,取 a=-3,可得 f ( x) ? ?3 2 cos x 为偶函数。 16 cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? = 【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值

cot 200 cos100 ? 3 sin100 tan 700 ? 2 cos 400 cos 200 cos100 3 sin100 sin 700 ? ? 2 cos 400 0 0 sin 20 cos 70 【正确解答】 cos 200 cos100 ? 3 sin100 cos 200 ? ? 2 cos 400 0 sin 20 ?
cos 200 (cos100 ? 3 sin100 ) ? 2 cos 400 0 sin 20 0 2 cos 20 (cos100 sin 300 ? sin100 cos 300 ) ? ? 2 cos 400 sin 200 2 cos 200 sin 400 ? 2sin 200 cos 400 ? sin 200 ?2 ?
【解后 反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看” 即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化, (2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称 或相近 的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看式 子是否满足三角函数的公式 .如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称 ,就可 以使用. 三、简答题 17.已知

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3

(Ⅰ)求 tan ? 的值;

5sin 2
(Ⅱ)求

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8
的值。

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ? 10 解:(Ⅰ)由 tan ? ? cot ? ? ? 得 3tan 2 ? ? 10 tan ? ? 3 ? 0 ,即 3 1 3? 1 tan ? ? ?3或 tan ? ? ? ,又 ? ? ? ? ,所以 tan ? ? ? 为所求。 3 4 3 1cos ? 1+ cos ? ? ? ? ? ? 4sin ? ? 11 ?8 5sin 2 ? 8sin cos ? 11cos 2 ? 8 5 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ) = ?? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?
=

5 ? 5cos ? ? 8sin ? ? 11 ? 11cos ? ? 16 8sin ? ? 6cos ? 8 tan ? ? 6 5 2 ? = =? 6 ?2 2 cos ? ?2 2 cos ? ?2 2

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 18. 已知函数 f ( x) ? cos x
(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 解: (1)依题意,有 cosx?0,解得 x?k?+ 即 f ( x ) 的定义域为{x|x?R,且 x?k?+

?

? ,k?Z} 2

? , 2

4 ,求 f (? ) 的值. 3

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 =-2sinx+2cosx? f (? ) =-2sin?+2cos? (2) f ( x) ? cos x 4 4 3 由 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 可得 sin?=- ,cos?= 3 5 5 14 ? f (? ) =-2sin?+2cos?= 5
19. 已知函数 f(x)=sin 2x+ 3 xcosx+2cos2x,x ? R. (I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知 识,以及推理和运算能力。满分 12 分。 解: (I) f ( x) ?

?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 ?
? f ( x) 的最小正周期 T ?
由题意得 2k? ?

?
2

? 2x ?

?

2? ? ?. 2 ? 2 k? ?

?
2

6

,k ? Z,



k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
? 个单位长度,得到 12 ? 3 y ? sin(2 x ? ) 的 图 象 , 再 把 所 得 图 象 上 所 有 的 点 向 上 平 移 个 单 位 长 度 , 就 得 到 6 2 ? 3 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象。 6 2 ? 3 , )平 移 , 就 得 到 方 法 二 : 把 y ?sinx 2 图 象 上 所 有 的 点 按 向 量 a ? (? 12 2 ? 3 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象。 6 2
(II)方法一: 先把 y ?sin 2 x 图象上所有点向左平移 20. 已知函数 f(x)=- 3 sin x+sinxcosx.
2

(Ⅰ) 求 f( 解

? 25? 1 3 )的值; (Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ),f( )= - ,求 sin ? 的值. 2 4 6 2
: ( Ⅰ )

sin

25? 25? 25? 25? 25? 1 25? 3 ?f( ) ? ? 3 sin 2 ? sin cos ?0 ? ,cos ? 6 6 6 6 6 2 6 2

(Ⅱ) f ( x) ?

3 3 1 cos 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2

? 3 1 3 1 3 ?f( )? cos ? ? sin ? ? ? ? 2 2 2 2 4 2
16sin 2 ? ? 4 sin ? ? 11 ? 0
解得 sin ? ?

1? 3 5 8

? ? ? (0, ?) ? sin ? ? 0 ? sin a ?

1? 3 5 8

21.已知向量

a ? (2 cos

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4

求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π ]上的单调区间. 解: f ( x) ? a ? b ? 2 2 cos

x x ? x ? x ? sin( ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 2 2 4 2 4 2 4 x x 1 ? tan tan ? 1 x 2 x 2 x 2? 2 ? 2 2 cos ( sin ? cos ) ? x 2 2 2 2 2 1 ? tan 1 ? tan x 2 2 x x x ? 2sin cos ? 2 cos 2 ? 1 2 2 2 ? sin x ? cos x

= 2 sin( x ?

?
4

). ? 4 ? ? 4 2

所以 f ( x)的最大值为 2 ,最小正周期为 2 ?, f ( x)在[0, ] 上单调增加,[ , ] 上单调减少.
[来源:学科网]

22. 若函数 f ( x) ?

1 ? cos2 x 2 sin( ? x) 2

?

试确定常数 a 的 ? sin x ? a 2 sin(x ? ) 的最大值为 2 ? 3 , 4

?

值. 解: f ( x) ?

1 ? 2 cos2 x ? 1 2 sin( ? x) 2

?

? sin x ? a 2 sin(x ?

?
4

)

?

2 cos2 x ? ? ? sin x ? a 2 sin(x ? ) ? sin x ? cos x ? a 2 sin(x ? ) 2 cos x 4 4

? 2 sin( x ?

?
4

) ? a 2 sin( x ?

?
4

) ? ( 2 ? a 2 ) sin( x ?

?
4

)

因为 f ( x) 的最大值为 2 ? 3, sin( x ? 所以 a ? ? 3,

?
4

) 的最大值为 1,则 2 ? a 2 ? 2 ? 3,

[来源:学科网 ZXXK]


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