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【高三总复习】2013高中数学技能特训:8-3 直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系(人教B版) 含解析


8-3 直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系 基础巩固强化 1.(文)(2011· 山东烟台调研)圆 x2+y2-2x+4y-4=0 与直线 2tx- y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( A.相离 C.相交 [答案] C [解析] ∵直线 2t(x-1)-(y+2)=0 过圆心(1,-2),∴直线与 圆相交. [点评] 直线方程中含参数 t,故可由直线方程过定点来讨论,

) B.相切 D.以上都有可能

∵2t(x-1)-(y+2)=0,∴直线过定点(1,-2),代入圆方程中, 12 +(-2)2-2×1+4×(-2)-4=-9<0,∴点(1,-2)在圆内,故直线 与圆相交. (理)直线 xsinθ+ycosθ=1+cosθ 与圆 x2+(y-1)2=4 的位置关系 是( ) A.相离 C.相交 [答案] C |cosθ-1-cosθ| [解析] 圆心到直线的距离 d= =1<2, sin2θ+cos2θ ∴直线与圆相交. 2.(2011· 唐山二模)圆 x2+y2=50 与圆 x2+y2-12x-6y+40=0 的公共弦长为( A. 5 C.2 5 [答案] C ) B. 6 D.2 6 B.相切 D.以上都有可能

[解析] x2+y2=50 与 x2+y2-12x-6y+40=0 作差,得两圆公 共弦所在的直线方程为 2x+y-15=0,圆 x2+y2=50 的圆心(0,0)到 2x+y-15=0 的距离 d=3 5, 因此, 公共弦长为 2 50-?3 5?2=2 5, 选 C. 3.(2012· 山东文,9)圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的 位置关系为( A.内切 C.外切 [答案] B [解析] 本题考查圆与圆的位置关系. 两圆圆心分别为 A(-2,0),B(2,1), 半径分别为 r1=2,r2=3,|AB|= 17, ∵3-2< 17<2+3,∴两圆相交. 4.(2011· 江南十校联考)若 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为( A.2x+y-3=0 C.x-y-3=0 [答案] C [解析] 由题知圆心 C 的坐标为(1,0),因为 CP⊥AB,kCP=-1, 所以 kAB=1,所以直线 AB 的方程为 y+1=x-2,即 x-y-3=0,故 选 C. 5.(2012· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已 知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25,则圆 C 上任意一点 A 到直 线 l 的距离小于 2 的概率为( 5 A.6 ) 1 B.6 ) B.x+y-1=0 D.2x-y-5=0 ) B.相交 D.相离

1 C.3 [答案] B

2 D.3

[解析] ⊙C 上的点到直线 l:4x+3y=25 的距离等于 2 的点, 在直线 l1:4x+3y=15 上,圆心到 l1 的距离 d=3,圆半径 r=2 3, π ∴⊙C 截 l1 的弦长为|AB|=2 r2-d2=2 3, ∴圆心角∠AOB=3,AB 1 的长为⊙C 周长的6,故选 B. 6. (2012· 福建文, 7)直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、 B 两点,则弦 AB 的长度等于( A.2 5 C. 3 [答案] B [解析] 本题考查了圆的弦长问题. 如图可知,圆心(0,0)到直线 x+ 3y-2=0 的距离. ) B.2 3 D.1

d=

|-2| =1, 1+3

∴|AB|=2|BC|=2 22-12=2 3. [点评] 涉及到直线与圆相交的弦长问题, 优先用 Rt△OCB 这一

勾股关系,在椭圆中的弦长问题则选用弦长 l = 1+k2 |x2 - x1| = 1 1+k2|y2-y1|. 7.(2012· 北京东城区示范校练习)已知圆 x2+y2=9 与圆 x2+y2- 4x+4y-1=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为________. [答案] x-y-2=0 [解析] 由题易知,直线 l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分 线,两圆的圆心坐标分别是(0,0),(2,-2),于是其中点坐标是(1, -1),又过两圆圆心的直线的斜率是-1,所以直线 l 的斜率是 1,于 是可得直线 l 的方程为:y+1=x-1,即 x-y-2=0. [点评] 两圆方程相减,即可得出对称直线方程. 8.(2012· 皖南八校第三次联考)已知点 P(1,-2),以 Q 为圆心 的圆 Q:(x-4)2+(y-2)2=9,以 PQ 为直径作圆与圆 Q 交于 A、B 两点,连接 PA、PB,则∠APB 的余弦值为________. 7 [答案] 25 [解析] 由题意可知 QA⊥PA,QB⊥PB,故 PA、PB 是圆 Q 的两 4 条切线,易知|PQ|=5,PA=4,∴cos∠APQ=5, 4 7 ∴cos∠APB=2cos2∠APQ-1=2×(5)2-1=25. 9.(2011· 苏州市调研)已知直线 kx-y+1=0 与圆 C:x2+y2=4 → → → 相交于 A,B 两点,若点 M 在圆 C 上,且有OM=OA+OB(O 为坐标 原点),则实数 k=________. [答案] 0 [解析] 画图分析可知(图略),当 A,B,M 均在圆上,平行四边 形 OAMB 的对角线 OM=2,此时四边形 OAMB 为菱形,故问题等价

于圆心(0,0)到直线 kx-y+1=0 的距离为 1. 所以 d= 1 =1,解得 k=0. k2+1

10.(文)已知圆 C:x2+y2+x-6y+m=0 与直线 l:x+2y-3= 0. (1)若直线 l 与圆 C 没有公共点,求 m 的取值范围; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 P、Q 两点,O 为原点,且 OP⊥OQ, 求实数 m 的值. [解析] (1)将圆的方程配方, 37-4m 1 得(x+2)2+(y-3)2= 4 , 37-4m 37 故有 4 >0,解得 m< 4 . 将直线 l 的方程与圆 C 的方程组成方程组,得
?x+2y-3=0, ? ? 2 2 ? ?x +y +x-6y+4m=0,

3-x 3-x 消去 y,得 x2+( 2 )2+x-6× 2 +m=0, 整理,得 5x2+10x+4m-27=0,① ∵直线 l 与圆 C 没有公共点,∴方程①无解, ∴Δ=102-4×5(4m-27)<0,解得 m>8. 37 ∴m 的取值范围是(8, 4 ). (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 由 OP⊥OQ,得OP· OQ=0, 由 x1x2+y1y2=0,② 由(1)及根与系数的关系得,

x1+x2=-2,x1· x2=

4m-27 5 ③

又∵P、Q 在直线 x+2y-3=0 上, 3-x1 3-x2 ∴y1· y2= 2 · 2 1 =4[9-3(x1+x2)+x1· x2], 将③代入上式,得 y1· y2= m+12 5 ,④

将③④代入②得 x1· x2+y1· y2 = 4m-27 m+12 5 + 5 =0,解得 m=3,

代入方程①检验得 Δ>0 成立,∴m=3. [点评] 求直线 l 与⊙C 没有公共点时,用圆心到直线距离 d>半 径 R 更简便. (理)已知圆 C 的一条直径的端点分别是 M(-2,0),N(0,2). (1)求圆 C 的方程; → → (2)过点 P(1, -1)作圆 C 的两条切线, 切点分别是 A、 B, 求PA· PB 的值. [解析] (1)依题意可知圆心 C 的坐标为(-1,1), 圆 C 的半径为 2, ∴圆 C 的方程为(x+1)2+(y-1)2=2. (2)PC= 22+22=2 2=2AC. ∴在 Rt△PAC 中,∠APC=30° ,PA= 6, 可知∠APB=2∠APC=60° ,PB= 6, → → ∴PA· PB= 6· 6cos60° =3.

能力拓展提升 11.(文)(2011· 东北三校二模)与圆 x2+(y-2)2=1 相切,且在两坐 标轴上截距相等的直线共有( A.2 条 C.4 条 [答案] C [解析] 由题意可知,过原点且与圆相切的直线共有 2 条,此时 在两坐标轴上的截距都是 0;当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且 不为零时,易知满足题意的切线有 2 条;综上共计 4 条. (理)(2012· 河南质量调研)直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=9 相交 → → 于两点 M、N,若 c =a +b ,则OM· ON(O 为坐标原点)等于(
2 2 2

) B.3 条 D.6 条

)

A.-7 C.7 [答案] A

B.-14 D.14

→ → [解析] 记OM、ON的夹角为 2θ.依题意得,圆心(0,0)到直线 ax +by+c=0 的距离等于 |c| =1, a2+b2

1 1 7 ∴cosθ=3,∴cos2θ=2cos2θ-1=2×(3)2-1=-9, → → ∵OM· ON=3×3cos2θ=-7,选 A. 12.设 A 为圆 C:(x+1)2+y2=4 上的动点,PA 是圆的切线,且 |PA|=1,则 P 点的轨迹方程为( A.(x+1)2+y2=25 C.x2+(y+1)2=25 [答案] B ) B.(x+1)2+y2=5 D.(x-1)2+y2=5

[解析] 设 P(x,y),由题意可知|PC|2=|PA|2+|AC|2=12+22=5, 所以 P 点轨迹为圆,圆心为 C(-1,0),半径为 5.∴方程为(x+1)2+ y2=5,故选 B.

x2 y2 13.(文)(2011· 济南三模)双曲线 6 - 3 =1 的渐近线与圆(x-3)2+ y2=r2(r>0)相切,则 r=________. [答案] 3

2 [解析] 由双曲线的方程可知,其中的一条渐近线方程为 y= 2 3 2 | 2 | x,圆的圆心坐标为(3,0),则圆心到渐近线的距离 d= = 3,所 6 2 以圆的半径为 3. (理)(2011· 杭州二检)已知 A、B 是圆 O:x2+y2=16 上的两点,且 |AB|=6,若以 AB 为直径的圆 M 恰好经过点 C(1,-1),则圆心 M 的 轨迹方程是________. [答案] (x-1)2+(y+1)2=9 [解析] 设圆心为 M(x,y),由|AB|=6 知,圆 M 的半径 r=3,则 |MC|=3,即 ?x-1?2+?y+1?2=3,所以(x-1)2+(y+1)2=9. 14.(2012· 天津,12)设 m、n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x

轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的 长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为________. [答案] 3 [解析] ∵l 与圆相交弦长为 2,∴ 1 = 3, m +n2
2

1 1 1 ∴m2+n2=3≥2|mn|,∴|mn|≤6,l 与 x 轴交点 A(m,0),与 y 轴 1 交点 B(0,n), 11 1 1 1 1 ∴S△AOB=2|m||n|=2 |mn|≥2×6=3. 15.(文)(2011· 新课标全国文,20)在平面直角坐标系 xOy 中,曲 线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A、B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值. [解析] (1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交 点为(3+2 2,0),(3-2 2,0). 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t =1. 则圆 C 的半径为 r= 32+?t-1?2=3. 所以圆 C 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:
?x-y+a=0, ? ? 2 2 ? ??x-3? +?y-1? =9.

消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.

由已知可得,判别式△=56-16a-4a2>0. ?8-2a?± 56-16a-4a2 因此,x1,2= ,从而 4 a2-2a+1 x1+x2=4-a,x1x2= . 2 ①

由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0.又 y1=x1+a,y2=x2+a,所 以 2x1x2+a(x2+x2)+a2=0. ② 由①,②得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1. (理)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、 B 两点, 圆内的动点 P 使|PA|、 |PO|、 |PB| → → 成等比数列,求PA· PB的取值范围. [解析] (1)依题设, 圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y=4 的距离,即 r= 4 =2, 1+3

∴圆 O 的方程为 x2+y2=4. (2)由(1)知 A(-2,0),B(2,0). 设 P(x,y),由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列得, ?x+2?2+y2· ?x-2?2+y2=x2+y2, 即 x2-y2=2. → → PA· PB=(-2-x,-y)· (2-x,-y)=x2-4+y2 =2(y2-1).

2 2 ? ?x +y <4, 由于点 P 在圆 O 内,故? 2 2 ?x -y =2. ?

→ → 由此得 y <1.所以PA· PB的取值范围为[-2,0).
2

16.(文)已知定直线 l:x=-1,定点 F(1,0),⊙P 经过 F 且与 l 相切. (1)求 P 点的轨迹 C 的方程. (2)是否存在定点 M, 使经过该点的直线与曲线 C 交于 A、 B 两点, 并且以 AB 为直径的圆都经过原点;若有,请求出 M 点的坐标;若没 有,请说明理由. [解析] (1)由题设知点 P 到点 F 的距离与点 P 到直线 l 的距离相 等, ∴点 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线, ∴点 P 的轨迹 C 的方程为:y2=4x. (2)设 AB 的方程为 x=my+n,代入抛物线方程整理得:y2-4my -4n=0,
? ?y1+y2=4m, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则? ?y1y2=-4n. ?

∵以 AB 为直径的圆过原点,∴OA⊥OB,
2 y2 1 y2 ∴y1y2+x1x2=0.即 y1y2+ 4 · 4 =0.

∴y1y2=-16,∴-4n=-16,n=4. ∴直线 AB:x=my+4 恒过 M(4,0)点. (理)(2012· 河南豫北六校精英联考)在平面直角坐标系 xOy 中,动 点 P 到两点(0,- 3),(0, 3)的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C,已知直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点.

(1)写出 C 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆过原点 O,求 k 的值; (3)若点 A 在第一象限,证明:当 k>0 时,恒有|OA|>|OB|. [解析] (1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0, - 3) , (0 , 3) 为焦点,长半轴长为 2 的椭圆,它的短半轴 b = y2 2 2 -? 3? =1,故椭圆方程为 4 +x =1.
2 2

(2)由题意可知,以 AB 为直径的圆过原点 O,即 OA⊥OB,联立

?y=kx+1, 方程? 2 y2 ?x + 4 =1,

消去 y 得(4+k2)x2+2kx-3=0,

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由韦达定理可知: x1+x2=- 2k 3 x2=- , 2,x1· 4+k 4+k2
2

4-4k2 y1· y2=(kx1+1)(kx2+1)=k x1x2+k(x1+x2)+1= , 4+k2 → → 4-4k2 3 1 2 所以,OA· OB=x1x2+y1y2=- 2+ 2 =0,得 k = ,即 k 4 4+k 4+k 1 =± 2.
2 2 2 2 2 2 2 (3)|OA|2-|OB|2=x2 1+y1-(x2+y2)=x1-x2+y1-y2

=(x1-x2)(x1+x2)+k(x1-x2)[k(x1+x2)+2] =[2k+(1+k2)(x1+x2)](x1-x2) = 6k?x1-x2? . 4+k2

因为 A 在第一象限,所以 x1>0,

3 又因为 x1· x2=- ,所以 x2<0,故 x1-x2>0, 4+k2 又因为 k>0,所以|OA|>|OB|.

? ?ax+by=1, 1.若关于 x、y 的方程组? 2 2 有解,且所有的解都是 ?x +y =10. ?

整数,则有序数对(a,b)所对应的点的个数为( A.24 [答案] C B.28 C.32

) D.36

[解析] x2+y2=10 的整数解为:(1,3),(3,1),(1,-3),(-3,1), (-1,3),(3,-1),(-1,-3),(-3,-1),所以这八个点两两所连 的不过原点的直线有 24 条,过这八个点的切线有 8 条,每条直线确 定了唯一的有序数对(a,b),所以有序数对(a,b)所对应的点的个数 为 32. 2.设直线 x+ky-1=0 被圆 O:x2+y2=2 所截弦的中点的轨迹 为 M,则曲线 M 与直线 x-y-1=0 的位置关系是( A.相离 C.相交 [答案] C [解析] ∵直线 x+ky-1=0 过定点 N(1,0),且点 N(1,0)在圆 x2 +y2=2 的内部,∴直线被圆所截弦的中点的轨迹 M 是以 ON 为直径
?1 ? ?1 ? 1 的圆,圆心为 P?2,0?,半径为2,∵点 P?2,0?到直线 x-y-1=0 的 ? ? ? ?

)

B.相切 D.不确定

2 1 距离为 4 <2, ∴曲线 M 与直线 x-y-1=0 相交,故选 C. 3.已知直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0)与圆 x2+y2=50 有公

共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( A.66 条 C.74 条 [答案] B B.72 条 D.78 条

)

[解析] 因为在圆 x2+y2=50 上,横坐标、纵坐标都为整数的点 一共有 12 个,即:(1,± 7),(5,± 5),(7,± 1),(-1,± 7),(-5,± 5), 1 (-7,± 1),经过其中任意两点的割线有2×(12×11)=66 条,过每一 点的切线共有 12 条,可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐 标都为整数的直线共有 66+12=78 条, 而方程 ax+by-1=0 表示的 直线不过原点,上述 78 条直线中过原点的直线有 6 条,故符合条件 的直线共有 78-6=72 条.故选 B. 4.已知直线 l:2xsinα+2ycosα+1=0,圆 C:x2+y2+2xsinα+ 2ycosα=0,l 与 C 的位置关系是( A.相交 C.相离 [答案] A [解析] 圆心 C(-sinα,-cosα)到直线 l 的距离为 |-2sin2α-2cos2α+1| 1 d= = ,圆半径 r=1, ?2sinα?2+?2cosα?2 2 ∵d<r,∴直线 l 与⊙C 相交. 5.(2012· 沈阳六校联考)已知两点 A(0,-3),B(4,0),若点 P 是 圆 x2+y2-2y=0 上的动点,则△ABP 面积的最小值为( A.6 C.8 11 B. 2 21 D. 2 ) ) B.相切 D.不能确定

[答案] B x y [解析] 记圆心为 C,则由题意得|AB|=5,直线 AB:4+ =1, -3 16 即 3x-4y-12=0,圆心 C(0,1)到直线 AB 的距离为 5 ,点 P 到直线 16 11 1 5 5 AB 的距离 h 的最小值是 5 -1= 5 , △ABP 的面积等于2|AB|h=2h≥2 11 11 11 × 5 = 2 ,即△ABP 的面积的最小值是 2 ,选 B. 6.圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R) 对称,则 ab 的取值范围是( 1? ? A.?-∞,4?
? ? ? 1 ? C.?-4,0? ? ?

) 1? ? B.?0,4?
? ? ?

1? ? D.?-∞,4?
?

[答案] A [解析] 由题可知直线 2ax-by+2=0 过圆心(-1,2),故可得 a +b=1,又因 ab≤?
?a+b?2 1 ? = ,故选 A. 4 ? 2 ?

7.若动圆 C 与圆 C1:(x+2)2+y2=1 外切,与圆 C2:(x-2)2+ y2=4 内切,则动圆 C 的圆心的轨迹是( A.两个椭圆 B.一个椭圆及双曲线的一支 C.两双曲线的各一支 D.双曲线的一支 [答案] D [解析] 设动圆 C 的半径为 r,圆心为 C,依题意得 |C1C|=r+1,|C2C|=r-2, )

∴|C1C|-|C2C|=3, 故 C 点的轨迹为双曲线的一支. 8.若在区间(-1,1)内任取实数 a,在区间(0,1)内任取实数 b,则 直线 ax-by=0 与圆(x-1)2+(y-2)2=1 相交的概率为( 3 A.8 5 C.8 [答案] B [解析] 由题意知,圆心 C(1,2)到直线 ax-by=0 距离 d<1,∴ |a-2b| <1,化简得 3b-4a<0,如图,满足直线与圆相交的点(a,b) a2+b2
?3 ? 落在图中阴影部分,E?4,1?, ? ? ?1 ? ? +1?×1 ?4 ?

)

5 B.16 3 D.16

∵S 矩形 ABCD=2,S 梯形 OABE=

2

5 =8,

5 8 5 由几何概型知,所求概率 P=2=16.


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