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高一上学期数学期末试卷及答案


掌门 1 对 1 教育期末试卷
人教 A 版高中数学必修 1 测试题
说明:本试卷共三道大题,分 18 道小题,共 6 页;满分 100 分,考试时间 90 分钟;请在密封线内 填写个人信息。 一、选择题(共 8 道小题,每道小题 4 分,共 32 分.请将正确答案填涂在答题卡上) 1.已知全集 A. ?2?

U ? ?0,1,2,3,4?, M ? ?0,1.2?, N ? ?2,3? , 则?CU M ? ? N ?
B. ?3?

3, 4? C. ?2,

1, 2, 3, 4? D. ?0。

2.函数 f ( x) ? lg(3x ? 1) 的定义域为() A.R B. (??, ) C. [ , ??) ). D.a2+2a+1

1 3

1 3

D. ( , ??)

1 3

3.已知函数 f(x)=x2+1,那么 f(a+1)的值为( A.a2+a+2
| x|

B.a2+1

C.a2+2a+2

4.函数 y ? 2 的大致图象是()

5.已知函数 f ?x ? ? ? A.3

? x ? 1, x ? 1 , 则 f(2) = ?? x ? 3, x ? 1
B,2 C.1 D.0

6.已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表: x f(x) 1 6.1 2 2.9 3 -3.5

那么函数 f(x)一定存在零点的区间是() A. (-∞,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)

7.国内快递重量在 1 000 克以内的包裹邮资标准如下表:
运送距离 x(km) 邮资 y(元) O<x≤500 5.00 500<x≤1 000 6.00 1 000<x≤1 500 7.00 1 500<x≤2 000 8.00 … …

如果某人从北京快递 900 克的包裹到距北京 1 300 km 的某地,他应付的邮资是( A.5.00 元 B.6.00 元 C.7.00 元 D.8.00 元

).

8.如果函数 y ? x2 ? (1 ? a) x ? 2 在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围是() A.a≥9 B.a≤-3 C.a≥5 D.a≤-7

二、填空题(共 6 道小题,每道小题 4 分,共 24 分。请将正确答案填写在答题表中) 9 . 已 知 函 数 y ? f (n) , 满 足 f (1) ? 2 , 且 f ( n? 1) ? 3f ( n , ) n ? N ? , 则 f ( 3 )的 值 为 _______________. 10.计算 2 ? 3 4 ? 6 32+lg

1 ? 3 log 3 2 的值为_________________. 100

11.若奇函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上是增函数,且 f (?1) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 的 x 取值范围 是__________________. 12.函数 f ( x) ? log 3( x 2 ? 2 x ?10) 的值域为_______________. 13.光线通过一块玻璃板时,其强度要损失原来的 10%,把几块这样的玻璃板重叠起来,设光线原 来的强度为 a,则通过 3 块玻璃板后的强度变为________________. 14.数学老师给出一个函数 f ( x ) ,甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质 甲:在 (??, 0] 上函数单调递减; 乙:在 [0, ??) 上函数单调递增; 丙:在定义域 R 上函数的图象关于直线 x=1 对称; 丁: f (0) 不是函数的最小值. 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么,你认为_________说的是错误的.

三、解答题(分 4 道小题,共 44 分) 15. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 . x ?1
2

(1)设 f ( x ) 的定义域为 A,求集合 A; (2)判断函数 f ( x ) 在(1,+ ? )上单调性,并用定义加以证明.

16. (本题满分 12 分)有一个自来水厂,蓄水池有水 450 吨. 水厂每小时可向蓄水池注水 80 吨,同 时蓄水池又向居民小区供水, t 小时内供水量为 160 5 t 吨. 现在开始向池中注水并同时向居民供水. 问多少小时后蓄水池中水量最少?并求出最少水量。

17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a x?1 (a ? 0且a ? 1) (1)若函数 y ? f ( x) 的图象经过 P(3,4)点,求 a 的值; (2)比较 f (lg

1 )与f (?2.1) 大小,并写出比较过程; 100

(3)若 f (lg a) ? 100 ,求 a 的值.

18. (本题满分 8 分)集合 A 是由适合以下性质的函数 f?x?构成的:对于定义域内任意两个不相等的
x ?x 1 实数 x1 , x2 ,都有 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 ) . 2 2

(1)试判断 f?x?? x2 及 g?x??log2x 是否在集合 A 中,并说明理由; (2)设 f?x??A 且定义域为?0,???,值域为?0,1?, f ?1? ? f?x?的解析式.
1 ,试求出一个满足以上条件的函数 2

《必修 1 测试》参考答案及评分标准
一、选择题(每道小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 A 6 C 7 C 8 A

二、填空题(每道小题 4 分,共 24 分) 9 10 11 18 0
(?1,0) ? (1, ??)

12 13 14

6 0.729a 乙

三、解答题(共 44 分)
2 15.解: (1)由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ?1 ,

1 的定义域为 {x ? R | x ? ?1} ……………………… 4 分 x ?1 1 (2)函数 f ( x) ? 2 在 (1, ??) 上单调递减.………………………………6 分 x ?1
所以,函数 f ( x) ?
2

证明:任取 x1 , x2 ? (1, ??) ,设 x1 ? x2 , 则 ?x ? x2 ? x1 ? 0,

?y ? y2 ? y1 ?
? x1 ? 1, x2 ? 1,

( x ? x )( x ? x ) 1 1 ? 2 ? 1 2 2 12 2 …………………… 8 分 x ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2 2

2 ? x12 ?1 ? 0, x2 ?1 ? 0, x1 ? x2 ? 0.

又 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0, 故 ?y ? 0. 因此,函数 f ( x) ?

1 在 (1, ??) 上单调递减.………………………12 分 x ?1
2

说明:分析 ?y 的符号不具体者,适当扣 1—2 分. 16.解:设t小时后蓄水池内水量为y吨,…………………………………… 1分 根据题意,得

y ? 450 ? 80t ?160 5t

……………………………………… 5分

? 80( t )2 ? 160 5 t ? 450 ? 80[( t )2 ? 2 5 t ] ? 450 ? 80( t ? 5)2 ? 50
当 t ? 5 ,即 t ? 5 时,y取得最小值是50. 答:5小时后蓄水池中的水量最少,为50吨. ……………………………………… 10分 …………………………… 11分 …………………………… 12分
2

说明:①本题解题过程中可设 t ? x ,从而 y ? 80x ?160 5x ? 450 . ②未写出答,用“所以,5小时后蓄水池中的水量最少,为50吨”也可以. 未答者 扣1分. 17.解:⑴∵函数 y ? f ( x) 的图象经过 P(3, 4) ∴a
3-1

? 4 ,即 a 2 ? 4 .

……………………………………… 2 分 ……………………………………… 4 分

又 a ? 0 ,所以 a ? 2 . ⑵当 a ? 1 时, f (lg

1 ) ? f (?2.1) ; 100
1 ) ? f (?2.1) . …………………………………… 6 分 100

当 0 ? a ? 1 时, f (lg

因为, f (lg

1 ) ? f (?2) ? a ?3 , f (?2.1) ? a?3.1 100
x

当 a ? 1 时, y ? a 在 (??, ??) 上为增函数, ∵ ?3 ? ?3.1 ,∴ a 即 f (lg
?3

? a ?3.1 .

1 ) ? f (?2.1) . 100
x

当 0 ? a ? 1 时, y ? a 在 (??, ??) 上为减函数, ∵ ?3 ? ?3.1 ,∴ a 即 f (lg
?3

? a ?3.1 .
……………………………………… 8 分

1 ) ? f (?2.1) . 100
lg a ?1

⑶由 f (lg a) ? 100 知, a 所以, lg a
lg a ?1

? 100 .

? 2 (或 lg a ?1 ? loga 100 ).

∴ (lg a ? 1) ? lg a ? 2 . ∴ lg a ? lg a ? 2 ? 0 ,……………………………………… 10 分
2

∴ lg a ? ?1 或 lg a ? 2 , 所以, a ?

1 或 a ? 100 .……………………………………… 12 分 10

说明:第⑵问中只有正确结论,无比较过程扣2分. 18.解: (1) f ( x) ? A , g ( x) ? A .……………………………………… 2 分 对于 f ( x) ? A 的证明. 任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x x 2 ? x2 2 x ?x x 2 ? 2 x1 x2 ? x2 2 ? f( 1 2)? 1 ? ( 1 2 )2 ? 1 2 2 2 2 4 1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 4


f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) . ∴ f ( x) ? A …………………………… 3 分 2 2

对于 g ( x) ? A ,举反例:当 x1 ? 1 , x2 ? 2 时,

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 1 ? (log 2 1 ? log 2 2) ? , 2 2 2 x1 ? x2 1? 2 3 1 g( ) ? log 2 ? log 2 ? log 2 2 ? , 2 2 2 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) x1 ? x2 ? g( ) . ∴ g ( x) ? A .……………………… 4 分 不满足 2 2

2 1 ?2? ⑵函数 f ( x) ? ? ? ,当 x ? (0, ??) 时,值域为 (0,1) 且 f (1) ? ? .…… 6 分 3 2 ?3?
任取 x1 , x2 ? (0, ??) 且 x1 ? x2 ,则
x1 ? x2 x x ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 1 ?? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ?2? 2 ? ? f( ) ? ? ? ? ? ? ? 2?? ? ? 2 2 2 ?? 3 ? ? 3 ? ?3? ? ? x1 2 x1 x2 x2 2 ? x1 x2 2 ?? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 1 ? ?? 2 ? ? ?2? ?2? ? 2 ? ? ? 1 ?? 2 ? ?2?2 ? ? ? ? ? ? ? 2?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 0 ?? 3 ? ? ? 2 ?? 2 ? ?? 3 ? ? ?3? ?3? ?3? ?3? ? ? ? ? ? ? ??

x



f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ?2? ? f ( 1 2 ) . ∴ f ( x) ? ? ? ? A .………………… 8 分 2 2 ?3?

x

x 说明:本题中 f ( x) 构造类型 f ( x) ? a ( ? a ? 1) 或 f ( x) ?

1 2

k (k ? 1) 为常见. x?k


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