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1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


§ 1.3

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
A. ?x0∈R, x2 ?x0∈R, x2 0+1>0 B. 0+1≤0 2 C. ?x0∈R, x0+1<0 D. ?x0∈R, x2 0+1≤0 解:全称命题的否定,要对结论进行否定,同 时要把全称量词换成存在量词,故命题 p 的否定为 “?x0∈R,x2 0+1≤0”.故选 B. 下列命题中的假命题 是( ) ... A.?x∈R,2x 1>0 B.?x∈N*,(x-1)2>0 C.?x∈R,lgx<1 D.?x∈R,tanx=2 解:对于 B 选项,x=1 时,(x-1)2=0 ,故选


1.逻辑联结词 命 题 中 的 “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 称 为 ____________________. 2.全称量词 “所有的”“任意一个”“每一个”等短语在 逻 辑 中 通 常 叫 做 ____________ , 通 常 用 符 号 “________” 表 示 . 含 有 全 称 量 词 的 命 题 称 为 ____________,全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为:?x∈M,p(x). 3.存在量词 “存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中 通常叫做______________,通常用符号“________” 表示.含有存在量词的命题称为______________, 特称命题“存在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”可 用符号简记为:?x0∈M,p(x0). 注:特称命题也称存在性命题. 4.含有一个量词的命题的否定 命 题 命题的否定 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 因此,全称命题的否定是________命题;特称 命题的否定是________命题. 5.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断(真值表) 注:“p∧q”“p∨q”“綈 p”统称为复合命 题,构成复合命题的 p 命题,q 命题称为简单命题. p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q ① ④ ⑦ 10 ○ p∨q ② ⑤ ⑧ ? 綈p ③ ⑥ ⑨ ?

B. (2014·重庆)已知命题 p: 对任意 x∈R, 总 有 2 >0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条 件,则下列命题为真命题的是( )
x

A.p∧q B.(綈 p)∧(綈 q) C.(綈 p)∧q D.p∧(綈 q) 解:显然 p 真, 由 x>2?x>1, 而 x>1 x>2, 因此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,q 假, 綈 q 真,p∧(綈 q)是真命题.故选 D. 给出下列结论: ①命题“若綈 p,则 q”的逆否命题是“若 p, 则綈 q”; ②命题“?n∈N*,n2+3n 能被 10 整除”的否 定是“?n∈N*,n2+3n 不能被 10 整除”; ③命题“ ? x∈R , x2 + 2x + 3 > 0”的否定是 “?x∈R,x2+2x+3<0”. 其中结论正确的是________. 解:由于逆否命题是把原命题否定了的结论作 条件,否定了的条件作结论得到的命题,故①不正 确;特称命题的否定是全称命题,故②正确;全称 命题的否定是特称命题,故③不正确.综上,只有 ②正确,故填②. 1 已知 p:x2-2x-3<0;q: <0,若 p 且 x-2 q 为真,则 x 的取值范围是________. 解: 若 p 为真, 则由 x2-2x-3=(x+1)(x-3)<0, 1 得-1<x<3;若 q 为真,则由 <0,得 x<2.∵p 且 x-2 q 为真, ∴-1<x<2.故填(-1,2).

自查自纠: 1.逻辑联结词 2.全称量词 ? 全称命题 3.存在量词 ? 特称命题 4.?x0∈M,綈 p(x0) ?x∈M,綈 p(x) 特称 全称 5 . ①真 ②真 ③假 ④假 ⑤真 ⑥假 ⑦假 10 假 ⑧真 ⑨真 ○ ?假 ?真

类型一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断 指出下列命题的构成形式,并对该命 题进行分解,然后判断其真假. (1)矩形的对角线相等且垂直; (2)3≥3; (3)10 是 2 或 5 的倍数; (4)10 是 2 和 5 的倍数;

(2014·湖南)设命题 p: ?x∈R, x2+1>0, 则綈 p 为( )

(5)2 是 4 和 6 的约数; (6)2 是 4 和 6 的公约数. 解:(1)是“p∧q”形式的命题.其中 p:矩形 的对角线相等,q:矩形的对角线垂直.该命题为假 命题. (2)是“p∨q”形式的命题.其中 p:3>3,q: 3=3.该命题是真命题. (3)是“p∨q”形式的命题.其中 p:10 是 2 的 倍数,q:10 是 5 的倍数.该命题是真命题. (4)是“p∧q”形式的命题.其中 p:10 是 2 的 倍数,q:10 是 5 的倍数.该命题是真命题. (5)是“p∧q”形式的命题.其中 p:2 是 4 的 约数,q:2 是 6 的约数.该命题是真命题. (6) 既不是 “p∨q” 命题,也不是 “p∧q” 命 题,是一个简单命题.这个命题的等价命题是: 4 和 6 的公约数是 2.按公约数的定义,该命题是:给 出 4 和 6,2 是它们的公约数,即给出判断.该命题 是真命题. 点拨: 正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含 义是解题的关键.在解具体问题时,不但要看命题 中是否含有逻辑联结词,而且要看命题的内容结构 是否具有逻辑联结词的含义,如本例中的第 (6) 小 题. 分别写出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的命题,并判断其真 假. (1)p:3 是 9 的约数,q:3 是 18 的约数; (2)p:菱形的对角线一定相等,q:菱形的对角 线互相垂直; (3)p:π 是有理数,q:π 是无理数. 解:(1)p 或 q:3 是 9 或 18 的约数,是真命题; p 且 q:3 是 9 的约数且是 18 的约数,真命题; 非 p:3 不是 9 的约数,假命题. (2)p 或 q:菱形的对角线一定相等或互相垂直, 真命题; p 且 q: 菱形的对角线一定相等且互相垂直, 假 命题; 非 p:菱形的对角线不一定相等,真命题. (3)p 或 q:π 是有理数或无理数,真命题; p 且 q:π 是有理数且是无理数,假命题; 非 p:π 不是有理数,真命题.

解:设 p,q 都为真.则 由 p:函数 y=x2+mx+1 在(-1,+∞)内单调 m 递增?- ≤-1,解得 m≥2, 2 由 q: 函数 y=4x2+4(m-2)x+1 大于零恒成立 ?Δ= [4(m-2)]2-4×4×1<0,解得 1<m<3. ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p,q 中一个为假,另一个为真. (1)当 p 真,q 假时,根据命题与集合之间的对 应关系,得 p 真时,m≥2,q 假时,m≤1 或 m≥3. ? ?m≥2, ∴p 真 q 假时,? 得 m≥3. ?m≤1或m≥3, ? (2)当 p 假,q 真时,根据命题与集合之间的对 应关系,得 p 假时,m<2,q 真时,1<m<3. ?m<2, ? ∴p 假 q 真时,? 得 1<m<2. ? ?1<m<3, 综合(1)(2)可得,m 的取值范围为(1,2)∪[3, +∞). 点拨: 由“p 或 q”为真,“p 且 q”为假判断出 p 和 q 一真一假后,再根据命题与集合之间的对应关系 求 m 的范围. 逻辑联结词与集合的运算具有一致性, 逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集 合运算的“交”“并”“补”. 已知 p:x2+mx+1=0 有两个不等负 根,q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根. (1)当 m 为何值时,p 或 q 为真? (2)当 m 为何值时,p 且 q 为真? 2 ?Δ=m -4>0, 解:若 p 为真,则?x1+x2=-m<0, (x1,x2 为方程 x +mx+1=0 的两个实根),解得 m>2; 若 q 为真,则 Δ=16(m-2)2-16<0,解得 1 <m<3. (1)若 p 或 q 为真,则 p,q 至少有一个为真. ∴若 p 或 q 为真时,m 的取值范围是(1,+∞). ? ?m>2, (2)若 p 且 q 为真,则? 得 2<m<3. ?1<m<3, ? 故当 m∈(2,3)时,p 且 q 为真.
2

?

? ?x1x2=1>0

类型二 综合问题

含有逻辑联结词命题的

类型三

全称命题与特称命题的否定
写出下列命题的否定,并判断它们的

已知 p:函数 y=x2+mx+1 在(-1, +∞)内单调递增,q:函数 y=4x2+4(m-2)x+1 大 于零恒成立.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的 取值范围.

真假. (1)p1:?x∈{x|x 是无理数},x2 是无理数; (2)p2:至少有一个整数,它既能被 2 整除,又 能被 5 整除; (3)p3:?x∈{x|x∈Z},log2x>0;

1 (4)p4:?x∈R,x2-x+ >0. 4 解:(1)綈 p1:?x∈{x|x 是无理数},x2 不是无 理数,是真命题. (2)綈 p2:所有的整数,都不能被 2 整除或不能 被 5 整除,是假命题. (3)綈 p3:?x∈{x|x∈Z},log2x≤0,是假命题. 1 (4)綈 p4:?x∈R,x2-x+ ≤0,是真命题. 4 点拨: 命题的否定,是对该命题的结论进行否定,根 据判断对象是部分和全体,分为特称命题和全称命 题.否定的原则是:否定全称是特称,否定特称是 全称,否定肯定得否定,否定否定得肯定. (2014·天津)已知命题 p: ?x>0, 总 有(x+1)· e >1,则綈 p 为( ) A.?x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.?x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.?x>0,总有(x+1)ex≤1 D.?x≤0,总有(x+1)ex≤1 解:全称命题的否定是特称命题.故选 B.
x

正面 词语 否定 词语

至多有 一个 至少有 两个

至少有 一个 一个也 没有

任意 的 某个

所有 的 某些

一定 不一 定

1.含有逻辑联结词命题真假的判断 判断一个含有逻辑联结词命题的真假,应先对 该命题进行分解, 判断出构成它的简单命题的真假, 再根据真值表进行判断. 2.全称命题与特称命题真假的判断 (1)要判断全称命题是真命题, 需要对集合 M 中 每个元素 x,证明 p(x)成立;如果在集合 M 中找到 一个元素 x0,使得 p(x0)不成立,那么这个全称命题 就是假命题. (2)要判定一个特称命题是真命题,只要在限定 的集合 M 中,至少能找一个 x=x0,使 p(x0)成立即 可;否则,这一特称命题就是假命题. 3 . 在 有 些 命 题 中 , 逻 辑 联 结 词 “或”“且”“非”是以另一种形式出现的. 如“x =± 1”中含逻辑联结词“或”,“≥”表示“大于 或等于”;“綊”表示“平行且等于”,“并且” 的含义为“且”; “?”表示“不属于”, “不是” 的含义为“非”等. 4.一些常用的正面叙述的词语及它们的否定 词语表: 正面 词语 否定 词语 等于 (=) 不等于 (≠) 大于 (>) 不大于 (≤) 小于 (<) 不小于 (≥) 是 不 是 都 是 不 都 是

1.“a 和 b 都不是偶数”的否定形式是( ) A.a 和 b 至少有一个是偶数 B.a 和 b 至多有一个是偶数 C.a 是偶数,b 不是偶数 D.a 和 b 都是偶数 解:“a 和 b 都不是偶数”的否定形式是“a 和 b 至少有一个是偶数”.故选 A. 2.命题“存在一个无理数,它的平方是有理 数”的否定是( ) A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 解:根据特称命题的否定是全称命题,需先将 “存在”改为“任意”,然后否定结论,故该命题 的否定为 “ 任意一个无理数,它的平方不是有理 数”.故选 B. π 3.设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为 ; 2 π 命题 q: 函数 y=cosx 的图象关于直线 x= 对称. 则 2 下列判断正确的是( ) A.p 为真 B.綈 q 为假 C.p∧q 为假 D.p∨q 为真 解:y=sin2x 的最小正周期 T=π,很明显命题 p 是一个假命题.函数 y=cosx 的图象关于直线 x= kπ(k∈Z)对称,所以命题 q 也是假命题.因此,p∧ q 为假,故选 C. 4.(2014·湖北)命题“?x∈R,x2≠x”的否 定是( ) A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,x2=x C.?x?R,x2≠x D.?x∈R,x2=x 解:全称命题的否定是特称命题.故选 D. 1 5. 已知命题 p: ?x∈R, 使得 x+ <2; 命题 q: x ?x∈R,x2+x+1>0,下列命题为真的是( ) A.p∧q C. p∧(綈 q) B.(綈 p)∧q D.(綈 p)∧(綈 q) 1 解: 对于命题 p: 当 x=-1 时, x+ =-2<2, x 所以命题 p 是真命题,则綈 p 是假命题;对于 q,Δ =1-4=-3<0,所以不等式 x2+x+1>0 的解集 为 R,所以命题 q 是真命题,则綈 q 是假命题,所 以 p∧q 为真命题.故选 A. 6.下列命题中为真命题的是( )

A.?x∈R,sinx+cosx=1.5 B.?x∈(0,π),sinx>cosx C.?x∈R,x2+x=-1 D.?x∈(0,+∞),ex>1+x π? 解:A:sinx+cosx= 2sin? ?x+4?≤ 2<1.5, 故 A 错; π ? π B:x∈? ?4,π?时,sinx>cosx,x=4时,sinx= cosx, π? x∈? ?0,4?时,cosx>sinx,故 B 错; 1 2 3 3 x+ ? + ≥ >0, C:?x∈R,x2+x+1=? ? 2? 4 4 ∴x2+x>-1,故 C 错.故选 D. - 7.已知命题 p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增 - 函数;p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数.则在 命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1)∨p2 和 q4: p1 ∧ ( 綈 p2) 中 , 是 真 命 题 的 是 ________________________. 解:∵p1 是真命题,p2 是假命题, ∴q1:p1∨p2 是真命题,q2:p1∧p2 是假命题, q3:(綈 p1)∨p2 为假命题,q4:p1∧(綈 p2)为真 命题. ∴真命题是 q1,q4.故填 q1,q4. 1 8. 已知命题“?x∈R, 使 2x2+(a-1)x+ ≤0” 2 是假命题,则实数 a 的取值范围是________. 1 解:由命题“?x∈R,使 2x2+(a-1)x+ ≤0” 2 1 2 是假命题得其否定 “ ? x∈R , 2x + (a - 1)x + > 2 1 0”是真命题,所以(a-1)2-4×2× <0,解得-1 2 <a<3.故填(-1,3). 9.指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些 是特称命题,写出它们的否定形式,并判断否定形 式的真假. (1)若 a>0 且 a≠1,则对任意实数 x,ax>0; (2)对任意实数 x1, x2, 若 x1<x2, 则 tanx1<tanx2; (3)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|; (4)?x0∈R,使 x2 0+1<0. 解:(1)全称命题,其否定形式为:若 a>0 且 a≠1,则?x∈R,ax≤0,显然该命题为假命题. (2)全称命题,其否定形式为:?x1,x2∈R,且 x1<x2,使 tanx1≥tanx2,该命题为真命题.例如取 x1=0,x2=π,有 x1<x2,但 tanx1=tanx2=0,又当 2π 2π x1=0,x2= 时,有 x1<x2,但 tan0=0,tan = 3 3 - 3,所以 tanx1>tanx2. (3)特称命题,其否定形式为: ?T∈R,|sin(x +T)|≠|sinx|,该命题是假命题.例如 T0=π 时,有 |sin(x+π)|=|sinx|.

(4) 特 称 命 题 , 其 否 定 形 式 为 ? x∈R , x2 + 1≥0.∵x∈R 时,x2≥0,∴x2+1≥1>0,故为真命 题. 10.已知命题 p:?x∈[1,2],x2-a≥0,命 题 q:?x∈R,使 x2+2ax+2-a=0,若命题 p∧q 是真命题,求实数 a 的取值范围. 解:∵命题 p∧q 是真命题,∴命题 p,q 均为 真. 对于命题 p,当 x∈[1,2]时,a≤x2 恒成立, 即 a≤(x2)min=1; 对于命题 q,?x∈R,使 x2+2ax+a2=a2+a -2, 即(x+a)2=(a-1)(a+2)≥0, 得 a≤-2 或 a≥1. ? ?a≤1, 由? 得 a≤-2 或 a=1.因此, ?a≤-2或a≥1, ? 实数 a 的取值范围为{a|a≤-2或a=1}. a? 2 11. 已知 a>0, 设命题 p: 函数 y=lg? ?ax -x+16? 1 ? 的定义域为 R;命题 q:当 x∈? ?2,2? 时,函数 y 1 1 =x+ > 恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命 x a 题“p∧q”为假命题,求 a 的取值范围. a? 2 解:由 a>0,命题 p:函数 y=lg? ?ax -x+16? a2 的定义域为 R 可知,Δ=1- <0,解得 a>2. 4 因此,命题 p 为真时,a>2. 1 ? 1 1 对于命题 q: 当 x∈? 函数 y=x+ > ?2,2?时, x a 恒成立, 1 ? 1 1 即函数 y=x+ 在 x∈? ?2,2?的最小值 ymin>a, x 1 1 ∵ymin=2,∴ <2.又 a>0,∴a> . a 2 1 因此,命题 q 为真时,a> . 2 ∵命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假 命题, ∴命题 p 与 q 中一个是真命题, 一个是假命题. 当 p 真 q 假时,可得 a∈?; 1 当 p 假 q 真时,可得 <a≤2. 2 1 ? 综上所述,a 的取值范围为? ?2,2?. 已知 m∈R,命题 p:对任意 x∈[0, 1],不等式 2x-2≥m2-3m 恒成立;命题 q:存在 x∈[-1,1],使得 m≤ax 成立. (1)若 p 为真命题,求 m 的取值范围; (2)当 a=1,若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 m 的取值范围. 解:(1)∵对任意 x∈[0,1],不等式 2x-2≥m2 -3m 恒成立, ∴(2x-2)min≥m2-3m, 即 m2-3m≤ -2,解得 1≤m≤2.

因此,若 p 为真命题时,m 的取值范围是[1, 2]. (2)∵a=1,且存在 x∈[-1,1],使得 m≤ax 成立, ∴m≤1. 因此,命题 q 为真时,m≤1. ∵p 且 q 为假,p 或 q 为真, ∴p,q 中一个是真命题,一个是假命题. ? ?1≤m≤2, 当 p 真 q 假时,由? 得 1<m≤2; ?m>1, ? ? ?m<1或m>2, 当 p 假 q 真时,由? 得 m<1. ?m≤1, ? 综上所述,m 的取值范围为(-∞,1)∪(1,2].


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