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选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题


2-3 随机变量及其分布

要点归纳
离散型随机变量及其分布列 一、

1.(1)随机变量:在随机试验中,我们确定了一个对应关 系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这 个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.通常用字 母 X, Y, ξ, η等表示. (2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散型随机变量.
(3)离散型随机变量的分布列:
一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,
x2…, xi, …xn, X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率 P(X= xi)= pi,以表格的形式表示如下:

X
P

x1
p1

x2
p2




xi
pi




xn
pn

我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为 X的分布列.有时为了简单起见,也用等式P(X= xi)=pi,

i= 1, 2, …,n表示 X的分布列.
(4)离散型随机变量的分布列的性质: ① pi≥ 0, i=1,2, …,n;
② ?pi=1.
i=1 n

(5)常见的分布列:
两点分布:如果随机变量X的分布列具有下表的形式,则 称 X服从两点分布,并称p=P(X= 1)为成功概率. X P 0 1- p 1 p

两点分布又称 0- 1 分布,伯努利分布. 超几何分布:一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件{X=k}发生的概率为 P(X=
n k Ck MCN-M k)= ,k= 0,1,2,…, m,即 n CN


X P

0
n 0 C0 MC N-M n CN


1
n 1 C1 MC N-M n CN


… …

m
n m Cm MCN-M n CN


其中 m= min{M, n},且n≤ N,M≤N,n,M,N∈ N*.如
果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X

服从超几何分布.
二项分布及其应用 2.
(1)条件概率:一般地,设 A 和 B 是两个事件,且 P(A)>0, 称 P(B|A)= P(AB) 为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生 P(A)

的条件概率.P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.

(2)条件概率的性质:
① 0≤ P(B|A)≤ 1; ②必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0;

③如果 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=P(B|A) + P(C|A). (3)事件的相互独立性:设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)= P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立.如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与- B ,- A 与 B,- A 与- B 也都相互独立.

(4)独立重复试验:一般地,在相同条件下重复做的n次试
验称为 n次独立重复试验.

(5)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A 发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那
么在 n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为

P(X=k)= Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2, …,n.此时称随机
变量 X服从二项分布,记作X~ B(n, p),并称p为成功概

率.两点分布是当n=1时的二项分布,二项分布可以看成
是两点分布的一般形式. 3. 离散型随机变量的均值与方差 (1)均值、方差:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn

P

p1

p2



pi



pn

则称 E(X)= x1p1+x2p2+…+ xipi+…+xnpn为随机变量X的

均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水
平.
称 D(X)= ? (xi-E(X))2pi 为随机变量 X 的方差, D(X)为
i=1 n

随机变量 X 的标准差.

(2)均值与方差的性质:若Y= aX+b,其中 a,b是常数,X

是随机变量,则Y也是随机变量,且E(aX+b)=aE(X)+
b,

D(aX+ b)= a2D(X).
(3)常见分布的均值和方差公式:①两点分布:若随机变量

X服从参数为p的两点分布,则均值 E(X)=p,方差D(X)=
p(1- p). ②二项分布:若随机变量X~B(n, p),则均值 E(X)=np,

方差 D(X)= np(1- p).

(2)正态曲线的特点: ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; ③曲线在 x=μ 处达到峰值 σ 1 ; 2π

④曲线与 x轴之间的面积为1.

(3)μ和 σ对正态曲线的影响:
①当 σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x

轴平移;
②当 μ一定时,曲线的形状由σ确定, σ越小,曲线越“瘦高”,

表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的
分布越分散.

(4)正态分布的3σ原则:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ

-σ< X≤ μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4. 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机 变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原 则.

专题一

条件概率

1.条件概率的求法 (1)利用定义,分别求出 P(A)和 P(AB),解得 P(B|A)= P( AB) . P(A) (2)借助古典概型公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事 n( AB) 件数 n(AB),得 P(B|A)= . n(A)

2.解决概率问题要注意“三个步骤,一个结合” (1)求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质; 第二步,判断事件的运算; 第三步,运用公式. (2)概率问题常常与排列、组合知识相结合.

【 例 1】 在 5道题中有 3道理科题和 2道文科题.如果不放回地依 次抽取 2道题,求:

(1)第 1次抽到理科题的概率; (2)第 1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第 1次抽到理科题的条件下,第 2次抽到理科题的概率.

解 设“第1次抽到理科题 ”为事件A, “第2次抽到理科题”为
事件 B,则 “第1次和第 2次都抽到理科题”为事件AB.
(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的事件数为 n(Ω)=A2 5= 20.
1 根据分步乘法计数原理,n(A)=A1 3× A4= 12.

n(A) 12 3 于是 P(A)= = = . n(Ω) 20 5

专题二 相互独立事件的概率
求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进 1. 行考查,解答此类问题时应分清事件间的内部联系,在些 基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事 件,并运用相应公式求解. 特别注意以下两公式的使用前提 2. (1)若 A, B互斥,则P(A∪ B)=P(A)+P(B),反之不成立. (2)若 A, B相互独立,则P(AB)= P(A)P(B),反之成立.
【 例 2】 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件,甲机床加
1 工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 , 4 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的 概率为 1 2 ,甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . 12 9

(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品 的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一 等品的概率.

专题三 离散型随机变量的分布列、均值与方差
离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种:超几 1. 何分布与二项分布,由于这两种分布列在生活中应用较为

广泛,故在高考中对该知识点的考查相对较灵活,常与期
望、方差融合在一起,横向考查. 对于分布列的求法,其难点在于每个随机变量取值时相关 2.

概率的求法,计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、
相互独立事件的概率公式等. 均值与方差都是随机变量重要的数字特征,方差是建立在 3.

均值这一概念之上的,它表明了随机变量所取的值相对于 它的均值的集中与离散程度,二者联系密切,在现实生产
生活中特别是风险决策中有着重要意义,因此在当前的高 考中是一个热点问题.

【 例 3】 某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一
测试,学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学 继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加 1 5 次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是 , 每次测试时 3 间间隔恰当.每次测试通过与否互相独立.

(1)求该学生考上大学的概率; (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测
试的次数为X,求X的分布列及 X的数学期望.

1 ?2?3 ?2?4 16 P(X=5)=C1 . 4· ·? ? +? ? = 3 ?3? ?3? 27 故 X 的分布列为:

X

2
1 9

3
4 27

4
4 27

5
16 27

P

1 4 4 16 38 E(X)=2× +3× +4× +5× = . 9 27 27 27 9
枣庄检测 )某单位为了参加上级组织的普及消防知 【 例 4】 (2012· 识竞赛,需要从两名选手中选出一人参加.为此,设计了一个 挑选方案:选手从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题.通过考 查得知:6 道备选题中选手甲有 4 道题能够答对,2 道题答错; 2 选手乙答对每题的概率都是 ,且各题答对与否互不影响.设 3 选手甲、选手乙答对的题数分别为 ξ,η.

(1)写出 ξ的概率分布列(不要求计算过程),并求出E(ξ),
E(η); (2)求 D(ξ), D(η).请你根据得到的数据,建议该单位派哪

个选手参加竞赛?

解 (1)ξ的概率分布列为

ξ P

1 1 5

2 3 5

3 1 5

1 3 1 所以 E(ξ)= 1× + 2× + 3× = 2. 5 5 5
? 2? 2 由题意,η~ B?3, ?, E(η)= 3× = 2, 3? 3 ? ? ? 1 01 3 ? ? = ; 或者 P(η= 0)= C3 27 ?3 ? ?2 ?1?1 ?2 2 P(η= 1)= C1 3? ? ? ? = ; 9 ?3 ? ?3 ? ?2 ?2?1 ? 4 ? ? 8 32 3 P(η= 2)= C2 , 3? ? ? ?= ; P(η= 3)= C3? ? = 27 ?3 ? ?3 ? 9 ?3 ?

专题四

正态分布

【 例 5】 某市去年高考考生成绩服从正态分布 N(500, 502),现 有 25 000名考生,试确定考生成绩在550~600分的人数.
解 ∵考生成绩 X~N(500,502), ∴μ = 500, σ= 50, ∴P=(550< X≤ 600) 1 = [P(500- 2×50< X≤500+ 2×50)- P(500- 50< X≤500+ 2 50)] 1 = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9. 2 故考生成绩在 550~600 分的人数约为 25 000×0.135 9 ≈3 398(人 ).


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