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福建省宁德市部分一级达标中学2015-2016学年高一数学上学期期中联合考试试题


2015-2016 学年宁德市部分一级达标中学第一学期期中联合考试 高一数学试卷
(满分:150 分 时间:120 分钟) 注意事项:1. 答卷前,考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。 2. 每小题选出答案后,填入答案卷中。 3. 考试结束,考生只将答案卷交回,试卷自己保留。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60

分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? ? 0,1, 2, 3, 4? , P ? ?x ? N | ?1 ? x ? 3? 则 P 的补集 CU P ? A. ?4? B. ?0, 4? C.

?3, 4?

D.

?0, 3, 4?

2. 函数 A. ? ?3,1?

的定义域是 B. ? ?3, ? ? ? C. ? ?3,1? ? ?1, ? ?? D. ?1, ? ? ?

3. 函数 f ( x) ? x3 ? x ? 8 的零点所在的区间是 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 4 下列各组函数中,f(x)与g(x)是同一函数的是 A.f(x) = x-1, g ( x) ? C.f(x) = x ,g(x) =

x2 ?1 x


B. f ( x) ? x , g ( x) ? 2log2 x D.f(x) = x ,g(x) = x2 .

5.下列函数,既是奇函数又在区间 (0, ??) 上单调递增的函数是 A. y ?

1 x

B. y ? 2| x|

C. y ? ? log 1 x
2

D. y ? x | x |

6. 已知 f ( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? 2 ( a ? R )是定义在 R 上的偶函数,则当 x ? [?1, 3] 时, f ( x) 的 值域为 A. [?2, ? 1] B. [?2, 4] C. [?1, 7] D. [?2, 7]

7.已知函数 f ( x) 由下表给出,且 f ( f (a)) ? 3 ,则 a ?

x
f ( x)
A.1 B.2

1 3

2 2

3 4 C.3

4 1 D.4

1

?5? ?2? 8. 已知 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? log0.3 6 ,则 a, b, c 的大小关系为 ?3? ?3?

0.2

10

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. b ? c ? a

D. a ? c ? b

9. 若函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象如右图,其中 为常数. 则函数 g ( x) ? xa ( x ? 0 )的大致图象是

A. B. C. D. 10. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1 ,若 f (8) ? 15 ,则 f (2) ? 15 A. B. 3 C. 2 D. ?1 4 11. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? A. 7 12.设函数 f ( x) ? ?

b ? 5(a, b ? R) ,若 f (2) ? 3 ,则 f (?2) ? x
C. ?7 D. ?3

B. 3

? 2x ? 6 , x ? 0 ? ,若互不相等的实数 x1 , x2 , x3 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) , ? ?3x ? 6, x ? 0

则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是 A. [4, 6] B. ? 4, 6 ? C. [ ?1, 3] D. (?1, 3)

第 II 卷 (非选择题共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷相应位置.

?1? 13. 计算 ? ? ?8?

?

2 3

? ? 0 ? lg100 的结果是__

_____.

2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 14. 已知函数 f ( x) ? ? x ,若 f ( x) ? 3 ,则 x ? ___ ___. ? ?3 , x ? 0

15. 已知定义在 R 上的偶函数

,在 (0, ? ?) 上是减函数,又 ____.

,则不等式:

x ? f (? x) ? 0 的解集是______________________

2

16.下列几个命题: ① 已知函数 y ? x2 ? 2ax ? a2 ? a( x ? R) ,若 y 可以取到负值,则实数 a 的取值范围是
(0, ? ?) ;

② 函数 y ?| x ? 1| ? | x ? 1| 既不是偶函数,也不是奇函数; ③ 函数 f ( x) 的值域是 ? ?2, 2? ,则函数 f ( x ? 1) 的值域为 ? ?1, 3? ; ④ 设函数 线 x ? 1 对称; 其中正确的有_________________ .(写出所有你认为正确的编号) 满足: f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则函数 的图象关于直

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知集合 A ? ?x | ?4 ? x ? 0? ,集合 B 是函数 f ( x) ? ln( x ? 2) 的定义域. (Ⅰ)求 A ? B ; (Ⅱ)若集合 C ? ?x a ? x ? a ? 1? ,且 C ? A ? C ,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)画出函数 f ( x) 在 R 上的图像(不要求列表) ,并写出函数 f ( x) 的单调区间(不 用证明).
5 4 3 2 1

y

x
–5 –4 –3 –2 –1

O
–1 –2 –3 –4 –5

1

2

3

4

5

3

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

b 3 的图像过点 A(0, ? ) , B(3, 3) . x?a 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)判断函数 f ( x) 在 (2, ??) 上的单调性,并用单调性的定义加以证明; (Ⅲ)若 m, n ? (2, ??) 且函数 f ( x ) 在 [m, n] 上的值域为 ?1, 3? ,求 m ? n 的值.

20. (本小题满分 12 分)
x ?x 已知 f ( x) ? a ? t a ( a ? 0 ,且 a ? 1 )是定义在 R 上的偶函数.

(Ⅰ)求实数 t 的值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? a2 x ?3 ? a ? x .

21. (本小题满分 12 分) 某家具厂生产一种课桌,每张课桌的成本为 50 元,出厂单价定为 80 元,该厂为鼓励销 售商多订购,决定一次订购量超过 100 张时,每超过一张,这批订购的全部课桌出厂单价降 低 0.02 元。根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 1000 张. (Ⅰ)设一次订购量为 x 张,课桌的实际出厂单价为 P 元,求 P 关于 x 的函数关系式
P( x) ;

(Ⅱ)当一次订购量 x 为多少时,该家具厂这次销售课桌所获得的利润 f ( x) 最大?其 最大利润是多少元?(家具厂售出一张课桌的利润 ? 实际出厂单价 ? 成本).

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 h( x) ? loga (4 ? x) ? loga (4 ? x) ( a ? 0 ,且 a ? 1 ). (Ⅰ)判断函数 h( x) 的奇偶性并加以证明; (Ⅱ)若 a ? 2 ,比较 h (1) 与 h(2) 的大小,并说明理由; (Ⅲ)若 x ? [?2, 2] 时,都有 h( x) ?[ ?1,1] ,求实数 a 的取值范围.
4

2015-2016 学年宁德市部分一级达标中学第一学期期中联合考试 高一数学参考答案及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细 则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半; 如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.C 13. 5 2.C 3.B 14. 3 4.C 5.D 6.D 7.D 8.A 9.A 16.①④ 10.B 11.A 12.B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 15. (??, ? 3) ? (0, 3) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.解: (Ⅰ)∵函数 f ( x) ? ln( x ? 2) 的定义域为 ?x x ? ?2? ,? B ? ?x x ? ?2? ………2 分
? A ? ?x | ?4 ? x ? 0? ,

∴ A ? B ? ?x | x ? ?4? ·························· 4 分 (Ⅱ)? C ? A ? C ? C ? A 又 C ? ?x a ? x ? a ? 1?
?a ? ?4 ?? ?a ? 1 ? 0

······················· 5 分

····························· 8 分

解得 ?4 ? a ? ?1 ∴实数 a 的取值范围为 ? ?4, ? 1? . ···················· 10 分

(备注:答案是不等式或集合的均不扣分) 18.解: (Ⅰ)设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , ……………………………………………………1 分

∴ f (? x) ? (? x)2 ? 2(? x) ? x2 ? 2 x ··················· 2 分 ∵函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, ∴ f (? x) ? ? f ( x) ············ 3 分 ∴ ? f ( x) = x 2 ? 2 x , 即 f ( x) ? ? x2 ? 2x( x ? 0) ·············· 4 分
5

又 f (0) ? 0 ,
2 ? ? x ? 2x x ? 0 ·························· 6 分 f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? 2 x x ? 0

5 4 3 2 1

y

x
–5 –4 –3 –2 –1

O
–1 –2 –3 –4 –5

1

2

3

4

5

·················· 9 分 ··············· 11 分

单调递增区间是: ? ??, ? 1? 和 ?1, ? ?? ; 单调递减区间是: ? ?1, 1? ;

····················· 12 分

3 ?b ?? ? ? ?a 2 19.解: (Ⅰ)根据题意得: ? ? b ?3 ?3 ? a ?

················· 2 分

?a ? 2 解得: ? ?b ? 3

3 ······················ 4 分 x?2 (Ⅱ)函数 f ( x) 在 (2, ??) 上单调递减
∴ f ( x) ? 证明:任取 x2 ? x1 ? 2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ∵ x2 ? x1 ? 2 ∴ x2 ? x1 ? 0 , x1 ? 2 ? 0 , x2 ? 2 ? 0 ∴
3( x2 ? x1 ) 3 3 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

·············· 6 分

x2 ? x1 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 )
6

函数 f ( x ) 在 (2, ??) 上是单调递减函数 (Ⅲ)∵ m, n ? (2, ??) ∴函数 f ( x ) 在 [m, n] 上单调递减 ∴ f (m) ? 3 , f (n) ? 1 ∴

················ 8 分

···················· 10 分

3 3 ? 3, ?1 m?2 n?2
∴m? n ?8

∴m ? 3,n ? 5 ················· 12 分

20.解: (Ⅰ)法一:∵ f ( x) 为偶函数 ∴ f (? x) ? f ( x) ·················· 1 分

∴ a? x ? t a x ? a x ? t a? x ························ 2 分 ∴ t (a x ? a? x ) ? a x ? a? x ( a ? 0 且 a ? 1 ) ················ 4 分 ∴t ?1 法二:∵ f ( x) 为偶函数 ∴ f (?1) ? f (1) ∴a ?ta ? a?ta
?1 ?1 ?1 ?1

······················ 5 分 ···················· 1 分 ·················· 2 分 ················· 4 分 ················· 5 分

∴ t (a ? a ) ? a ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) ················· 3 分 ∴t ?1 经检验得: t ? 1 时 f ( x) 为偶函数 ∴ t ? 1 (没有检验扣 1 分) (Ⅱ)∵ a x ? a ? x ? a 2 x ?3 ? a ? x ∴ a x ? a 2 x ?3

························· 6 分 ············· 9 分

当 a ? 1 时, a x ? a 2 x ?3 ? x ? 2 x ? 3 ? x ? 3

当 0 ? a ? 1 时, a x ? a 2 x ?3 ? x ? 2 x ? 3 ? x ? 3 ············ 11 分 综上所述,当 a ? 1 时,所求的解集为 (??, 3) 当 0 ? a ? 1 时,所求的解集为 (3, ? ?) ·············· 12 分

0 ? x ? 100, x ? N ?80, 21.解: (Ⅰ)根据题意得: p( x) ? ? ··· 4 分 ?80 ? 0.02( x ? 100), 100 ? x ? 1000, x ? N

7

0 ? x ? 100, x ? N ?80, 即 p ( x) ? ? ?82 ? 0.02 x, 100 ? x ? 1000, x ? N

················ 5 分

?(80 ? 50) x, 0 ? x ? 100, x ? N (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? ? ?(82 ? 0.02 x ? 50) x, 100 ? x ? 1000, x ? N

······ 7 分

?30 x, 0 ? x ? 100, x ? N 即 f ( x) ? ? 2 ?32 x ? 0.02 x , 100 ? x ? 1000, x ? N

·············· 8 分

(ⅰ)当 0 ? x ? 100 , 则 x ? 100 时, f max ( x) ? f (100) ? 3000 (ⅱ)当 100 ? x ? 1000 , 则 x ? 800 时, fmax ( x) ? f (800) ? 32 ? 800 ? 0.02 ? 8002 ? 12800 ∵ 12800 ? 3000
12800 元.

·········· 9 分

······ 11 分

∴ x ? 800 时, f ( x) 有最大值,其最大值为 12800 元.

答: 当一次订购量为 800 张时, 该家具厂在这次订购中所获得的利润最大, 其最大利润是 ······························ 12 分

22.解: (Ⅰ)函数 h( x) 为奇函数
?4 ? x ? 0 根据题意得: ? ?4 ? x ? 0

解得 ?4 ? x ? 4 ················· 1 分

∴函数 h( x) 的定义域为 (?4, 4) ,关于原点对称, 又 h(? x) ? loga (4 ? x) ? log a (4 ? x) ? ?h( x) ················· 3 分 ················ 4 分 9 (Ⅱ)∵ h(1) ? h(2) ? (log2 3 ? log2 5) ? (log2 2 ? log2 6) ? log2 ? log2 1 ? 0 5 ∴ h(1) ? h(2) ·············· 7 分 (Ⅲ)∵ y ? 4 ? x 在 [?2, 2] 上单调递减, y ? 4 ? x 在 [?2, 2] 上单调递增 ···· 8 分 当 0 ? a ? 1 时,
y ? loga (4 ? x) 在 [?2, 2] 上单调递增, y ? log a (4 ? x) 在 [?2, 2] 上单调递减

∴函数 h( x) 为奇函数.

∴函数 h( x) 在 [?2, 2] 上单调递增 ∴ hmax ( x) ? h(2) ? loga 2 ? loga 6 ? loga

1 , hmin ( x) ? h(?2) ? loga 6 ? loga 2 ? loga 3 3

8

? ?0 ? a ? 1 ?0 ? a ? 1 ? ? 1 1 1 ? ? ∴ ?log a ? 1 ? ? a ? ? 0?a? 3 3 3 ? ? ? 1 ? log 3 ? ? 1 ? a a? ? 3 ?

··············· 10 分

当 a ? 1 时, y ? loga (4 ? x) 在 [?2, 2] 上单调递减, y ? log a (4 ? x) 在 [?2, 2] 上单调递增 ∴函数 h( x) 在 [?2, 2] 上单调递减 ∴ hmax ( x) ? h(?2) ? log a 6 ? log a 2 ? log a 3 , hmin ( x) ? h(2) ? loga 2 ? loga 6 ? loga

1 3

? ?a ? 1 ?a ? 1 ? ? ∴ ?log a 3 ? 1 ? ?a ? 3 ? a ? 3 ? ?a ? 3 1 ? ?log a ? ?1 3 ? ? 1? 综上得,实数 a 的取值范围为 ? 0, ? ? ?3, ? ? ? ·············· 12 分 ? 3?

9


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