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数列求和的常用方法


一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 (q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
1、 等差数列求和公式: S n ?
n 1 1 4 、 k ? n ( n ? 1 ) S ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? ? n 2 6 k ?1 k ?1 n 1 5、 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1 例 1(07 高考山东文 18)设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且

3、 S n ?

n

a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 求数列 {bn } 的前 n 项和 T . , 2, ,
二、错位相减法 设数列 ?an ? 的等比数列,数列 ?bn ? 是等差数列,则数列 ?an bn ?的前 n 项和 S n 求解,均可用错位相减法。 例3 (07 高考全国Ⅱ文 21) 设 {an } 是等差数列, 且 a1 ? b1 ? 1 , {bn } 是各项都为正数的等比数列, a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 (Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

[例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① [例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和 2 2 2 2
2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

三、逆序相加法:把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广) [例 6] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值 四、裂项求和法:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重 新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如:
2 ?

(1) a n ? (2) an ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

an ?

1 n ? n ?1

? n ?1 ? n

1 1 1 1 (2n) 2 1 1 1 ? [ ? ] ? 1? ( ? ) (3) an ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 , ,? ? ?, ,? ? ? 的前 n 项和. 例 5 求数列 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1
例 6(06 高考湖北卷理 17)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的
'

前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 [例 10] 在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

五、分组求和法:所谓分组法求和就是:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分 为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 例 7 数列{an}的前 n 项和 S n ? 2an ? 1 ,数列{bn}满 b1 ? 3, bn?1 ? an ? bn (n ? N ? ) . (Ⅰ)证明数列{an}为等比数列; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 2 2 2 例 8 求 S ? 1 ? 2 ? 3 ? 42 ? ? (?1)n?1 n2 ( n ? N? ) [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.
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