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选修2-1 空间向量知识点归纳总结


空间向量与立体几何知识点归纳总结 一.知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫 做向量。 注: (1)向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表 示同一或相等的向量。 (2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数 乘运算如下(如图) 。
王新敞
奎屯 新疆

(3)三点共线:A、B、C 三点共线<=> AB ? ? AC <=> OC ? xOA ? yOB (其中x ? y ? 1) (4)与 a 共线的单位向量为

?

a a

4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面 向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。 ? ? ? ? ? , b 不共线,p 与向量 a, b ( 2) 共面向量定理: 如果两个向量 a

? ? ? 共面的条件是存在实数 x, y 使 p ? xa ? yb 。

? ? ? ? 运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 ( 1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重 ? ? 合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量, a 平行于 b ,记

??? ? ? OP ? ? a (? ? R)

??? ? ??? ? ??? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b

;

??? ? ??? ? ??? ? ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

( 3) 四点共面: 若 A、 B、 C、 P 四点共面<=> AP ? x AB ? y AC ; <=>

OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中

? 对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ,使
? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc 。 ??? ? ? ? a , b , c 若三向量 不共面,我们把 {a , b , c } 叫做空间的一个基

5.

? ? ? 空间向量基本定理:如果三个向量 a , b , c 不共面,那么

? ? 作 a // b 。

? ? ? ? ? ? ( 2) 共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、b( b ≠ 0 ) ,a // b ? ? 存在实数 λ,使 a =λ b 。

? ? ? 底, a , b , c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构

成空间的一个基底。 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都
1

存 在 唯 一 的 三 个 有 序 实 数

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC 。

x, y, z

, 使

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ,

6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一的 有序实数组 ( x, y, z ) , 使 OA ? xi ? yi ? zk , 有序实数组 ( x, y, z ) 叫作 向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z) , x 叫横 坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。

??? ? ②若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) 。

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 。

? ? a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ,

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向 线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ③若 A( x1 , y1 , z1 ) ,B( x2 , y2 , z2 ) ,AP ? ? PB , 推导: 设P (x,y,z) 则 ( x ? x1, y ? y1 , z ? z1 ) ? ? ( x 2 为 AB 中点时, P(

? x, y 2 ? y, z 2 ? z ) ,显然, 当P

④ ?ABC中,A(x 注:①点 A(x,y,z)关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称, 什么坐标不 变,其余的分坐标均相反。②在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平 面 yOz 中的点设为(0,y,z) (2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,

x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z 2 , , ) 2 2 2
1

, y1 , z1) , B( x2 , y2 , z2 ), C ( x3 , y3 , z3 ) ,

三角形重心 P 坐标为 P( ⑤Δ ABC 的五心:

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 z1 ? z 2 ? z3 , , ) 3 2 2
AB AB ? AC AC )

?? ? 这个基底叫单位正交基底,用 {i, j, k} 表示。空间中任一向量

AP ? ? ( 内心 P: 内切圆的圆心, 角平分线的交点。

(单位向量) 外心 P:外接圆的圆心,中垂线的交点。 PA ? PB ? PC

a ? xi ? y j ? z k =(x,y,z)
? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

(3)空间向量的直角坐标运算律: ? ? b ? (b1 , b2 , b3 ) a ? (a1 , a2 , a3 ) ① 若 ,





垂心 P:高的交点: PA ? PB ? PA ? PC ? PB ? PC (移项,内 积为 0,则垂直)
AP ? ( AB ? AC) 重心 P: 中线的交点, 三等分点 (中位线比) 1 3

? ? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) ,

? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )



中心:正三角形的所有心的合一。
2

(4)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) , ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3

?

?

? ? ? ? ? ? ? ③ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) 。

④不满足乘法结合率: ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos a ? b ? ? ? ? ( 5) 夹角公式: 。 二.空间向量与立体几何 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3 1.线线平行 ? 两线的方向向量平行 Δ ABC 中① AB ? AC ? 0 <=>A 为锐角② AB ? AC ? 0 <=>A 为钝角, 钝角Δ (6)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? 或 d A, B ?
??? ? ??? ?2 AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2

(a ? b)c ? a(b ? c)



( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

1-1 线面平行 ? 线的方向向量与面的法向量垂直 1-2 面面平行 ? 两面的法向量平行 2 线线垂直(共面与异面) ? 两线的方向向量垂直 2-1 线面垂直 ? 线与面的法向量平行 2-2 面面垂直 ? 两面的法向量垂直 3 线线夹角 ? (共面与异面)[0 O ,90 O ] ? 两线的方向向量 n1 , n 的夹 ?? ?? ? cos ? ? cos ? n , n 角或夹角的补角, 1 2 ?
2

7. 空间向量的数量积。

??? ? ? ??? ? ? ? ? OA ? a , OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量 a 空间任取一点 O ,作 与b 的 ? ? ? ? 夹 角 , 记 作 ? a , b ? ; 且 规 定 0 ?? a , b ?? ? , 显 然 有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a , b ??? b , a ? ;若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作:a ? b 。
2 ??? ? ? ??? ? ? (2)向量的模: 设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a ? 的长度或模,记作: | a |。 ? ? ? ? ? ? (3)向量的数量积:已知向量 a, b ,则 | a | ? | b | ? cos ? a , b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , b 的数量积,记作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a , b ? 。 叫做 a

? , b ,在 (1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a

?

3-1 线面夹角 ? [0 O ,90 O ] :求线面夹角的步骤:先求线的方向 向量 AP 与面的法向量 n 的夹角, 若为锐角角即可, 若为钝角, 则 取 其 补 角 ; 再 求 其 余 角 , 即 是 线 面 的 夹 角. sin?

? cos ? AP, n ?

3-2 面面夹角(二面角) ? [0O ,180 O ] :若两面的法向量一进一 出,则二面角等于两法向量 n1 , n 的夹角;法向量同进同出,
2

? ? ? | a |2 ? a ? a 。

(4)空间向量数量积的性质: ? ? ? ? ? ? ① a ? e ?| a | cos ? a, e ? 。 ② a

? ? ? ? b ? a ?b ? 0

。③

则 二 面 角 等 于 法 向 量 的 夹 角 的 补 角 .

(5)空间向量数量积运算律: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) 。② a ? b ? b ? a (交换律) 。

cos? ? ? cos ? n1 , n2 ?
4.点面距离 h :求点 P ? x0 , y0 ? 到平面 ? 的距离: 在平面 ? 上
3

去 一 点 Q ? x, y ? , 得 向 量
n ;. h ? PQ ? n
n

??? ? PQ

;; 计算平面? 的法向量

5. 已知平行六面体 ABCD ? A?B?C?D? 中, AB ? 4, AD ? 3, AA? ? 5, ?BAD ? 90? , ?BAA? ? ?DAA? ? 60? ,求 AC ? 的长。 [参考答案] 1. 解:如图,

4-1 线面距离(线面平行) :转化为点面距离 4-2 面面距离(面面平行) :转化为点面距离 【典型例题】 1. 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC, BD ,设 M , G 分别是 BC, CD 的 中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量: (1) ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? CD ; ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? (2) AB ? 1 ( BD ? BC ) ; (3) AG ? 1 ( AB ? AC ) 。
2 2

(1) AB ? BC ? CD ? AC ? CD ? AD ; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2) AB ? 1 ( BD ? BC ) ? AB ? 1 BC ? 1 BD 。
2 2 2 ??? ? ???? ? ???? ? ???? ? AB ? BM ? MG ? AG ; ???? ??? ? ???? ???? ???? ? ???? ? (3) AG ? 1 ( AB ? AC ) ? AG ? AM ? MG 。 2

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

????

2. 已知平行四边形 ABCD,从平面 AC 外一点 O 引向量。 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ???? OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD 。 (1)求证:四点 E, F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG 。 3. 如图正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,B1E1 ? D1F1 ? 1 A1B1 , 求 BE1 与 DF1 所
4

2. 解: ( 1) 证明: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AC ? AB ? AD , ??? ? ???? ??? ? ∵ EG ? OG ? OE ,
???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ? ???? ? EF ? EH

??? ?

??? ? ????

成角的余弦。

∴ E, F , G, H 共面; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2)解:∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 。 所以,平面 AC // 平面 EG 。 3.

4

解:不妨设正方体棱长为 1,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 B(1,1, 0) , E1 (1, 3 ,1) , D(0,0,0) ,
4 ???? ? ???? ? 1 ∴ BE1 ? (0, ? ,1) , DF1 ? (0, 1 ,1) , 4 4 ???? ? ???? ? ∴ BE1 ? DF1 ? 17 , 4 ???? ? ???? ? 1 1 15 BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? (? ? ) ? 1?1 ? 。 4 4 16 15 ???? ? ???? ? 15 16 cos BE1 , DF1 ? ? 。 17 17 17 4 4 ??? ? ???? ??? ? ???? AB ? AC 1 ? ???? ? 分析:⑴? AB ? (?2, ?1,3), AC ? (1, ?3, 2),? cos ?BAC ? ??? | AB || AC | 2 ??? ? ???? ∴∠BAC=60°,? S ?| AB || AC | sin 60? ? 7 3 ? ? ??? ? ? AB ? ?2 x ? y ? 3z ? 0, ⑵设 a =(x,y,z) ,则 a ? ? ??? ? a ? AC ? x ? 3 y ? 2 z ? 0,| a |? 3 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 ? ? 解得 x=y=z=1 或 x=y=z=-1,∴ a =(1,1,1)或 a 1 F1 (0, ,1) , 4

4.

=(-1,-1,-1) 。 ???? ? 2 ??? ? ???? ???? 2 5. 解: | AC? | ? ( AB ? AD ? AA?)

??? ? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ?| AB |2 ? | AD |2 ? | AA? |2 ?2 AB ? AD ? 2 AB ? AA? ? 2 AD ? AA?

? 42 ? 32 ? 52 ? 2 ? 4 ? 3 ? cos90? ? 2 ? 4 ? 5 ? cos60? ? 2 ? 3? 5 ? cos60? ? 16 ? 9 ? 25 ? 0 ? 20 ? 15 ? 85 ???? ? 所以, | AC ? |? 85 。

5


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