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2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业2


第2讲

命题与量词、基本逻辑联结词

基础巩固

1.由“p:8+7=16,q:π>3”构成的复合命题,下列判断正确的是(

)

A.p∨ q 为真,p∧ q 为假,p 为真 B.p∨ q 为假,p∧ q 为假,p 为真 C.p∨ q 为真,p∧ q 为假,p 为假 D.p∨ q 为假,p∧ q 为真,p 为真 答案:A 解析:因为 p 假 q 真,所以 p∨ q 为真,p∧ q 为假,p 为真. 2.若 p,q 是两个简单命题,且 p∨ q 的否定是真命题,则必有( A.p 真 q 真 B.p 假 q 假 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 答案:B 解析:∵ p∨ q 的否定是真命题, ∴ p∨ q 是假命题.故 p,q 都为假命题.
2 3.(2014 届山东淄博月考)命题“存在 x0∈ Z,使 2x0 +x0+1≤0”的否定是( 2 A.存在 x0∈ Z,使 2x0 +x0+1<0 2 B.不存在 x0∈ Z,使 2x0 +x0+1>0

)

)

C.对任意 x∈ Z,都有 2x2+x+1≤0 D.对任意 x∈ Z,都有 2x2+x+1>0 答案:D

1

解析:特称命题的否定是全称命题. 4.已知命题 p:? x0∈ R,2x 0 =1.则p 是( A.? x∈ R,2x≠1 B.? x? R,2x≠1 C.? x0∈ R,2x 0 ≠1 D.? x0? R,2x 0 ≠1 答案:A 解析:由特称命题的否定方法知p:? x∈ R,2x≠1. 5.下列四个命题中的真命题为( A.? x0∈ Z,1<4x0<3 B.? x0∈ Z,5x0+1=0 C.? x∈ R,x2-1=0 D.? x∈ R,x2+x+2>0 答案:D 解析:由 1<4x0<3,得4<x0<4,这样的整数 x0 不存在,故选项 A 为假命题;由 5x0+1=0,x0=-5? Z, 可知选项 B 为假命题;x2-1=0,x=± 1,故选项 C 为假命题;对任意实数 x,都有 x2+x+2= x +
1 2 2 1 3 1

)

)

+ 4>0,故选 D.
1 1

7

6.已知命题 p:? a,b∈ (0,+∞),当 a+b=1 时, a + b=3;命题 q:? x∈ R,x2-x+1≥0 恒成立,则下列 命题是假命题的是( A.(p)∨ (q) B.(p)∧ (q) C.(p)∨ q D.(p)∧ q 答案:B )

2

解析:由题意及基本不等式可得a + b = 为真命题;? x∈ R,x2-x+1= x- 2
1 2 3

1

1

1

+b × (a+b)=2+a + b≥4,故命题 p 为假命题,p a

1

b

a

+ 4>0,故命题 q 为真命题,q 为假命题.因此命题

(p)∧ (q)为假命题,应选 B. 7.已知命题 p:“? x∈ N*,x>x”,命题 p 的否定是命题 q,则 q 是“ 题(填“真”或“假”). 答案:? x0∈ N*,x0≤x
1
0

1

”;q 为




1 1

解析:q:? x0∈ N*,x0≤x ,当 x0=1 时,x0=x 成立,故 q 为真命题.
0 0

2 8.已知命题 p:? x0∈ R,x0 +2ax0+a≤0.若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围 是 .

答案:(0,1) 解析:∵ 命题 p 是假命题, ∴ 对? x∈ R,x2+2ax+a>0. ∴ Δ=4a2-4a<0, 即 4a(a-1)<0,得 0<a<1.
2 9.已知命题 p:? x∈ [0,1],a≥ex,命题 q:“? x0∈ R,x0 +4x0+a=0”,若命题 p∧ q 是真命题,则实数 a 的取值范围是 .

答案:[e,4] 解析:因为? x∈ [0,1],a≥ex,所以 a≥e.
2 由“? x0∈ R,x0 +4x0+a=0”,可得判别式 Δ=16-4a≥0,即 a≤4.

因为命题 p∧ q 是真命题,所以命题 p,q 同时为真,所以 e≤a≤4,即[e,4]. 10.写出由下列各组命题构成的 p∨ q,p∧ q,p 形式的新命题,并判断其真假. (1)p:2 是 4 的约数,q:2 是 6 的约数; (2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同,q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值相等. 3

解:(1)p∨ q:2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数,真命题; p∧ q:2 是 4 的约数且 2 也是 6 的约数,真命题; p:2 不是 4 的约数,假命题. (2)p∨ q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题; p∧ q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题; p:矩形的对角线不一定相等,假命题. (3)p∨ q:方程 x2+x-1=0 的两个实数根符号相同或绝对值相等,假命题; p∧ q:方程 x2+x-1=0 的两个实数根符号相同且绝对值相等,假命题; p:方程 x2+x-1=0 的两实数根符号不同,真命题. 11.设命题 p:函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增;命题 q:关于 x 的方程 x2+2x+loga2=0 的 解集只有一个子集.若 p∨ q 为真,(p)∨ (q)也为真,求实数 a 的取值范围. 解:当命题 p 是真命题时,应有 a>1. 当命题 q 是真命题时,关于 x 的方程 x2+2x+loga2=0 无解, 所以 Δ=4-4loga2<0, 解得 1<a<2. 由于 p∨ q 为真, 所以 p 和 q 中至少有一个为真. 又(p)∨ (q)也为真,
3 3 3 3

4

所以p 和q 中至少有一个为真,即 p 和 q 中至少有一个为假,故 p 和 q 中一真一 假. p 假 q 真时,a 无解.p 真 q 假时,a≥2. 综上所述,实数 a 的取值范围是 a≥2.
拓展延伸
3 3

12.已知 m∈ R,命题 p:对任意 x∈ [0,8],不等式 lo1 (x+1)≥m2-3m 恒成立;命题 q:对任意
3

x∈ R,不等式|1+sin 2x-cos 2x|≤2m x- 4 恒成立. (1)若 p 为真命题,求 m 的取值范围; (2)若 p∧ q 为假,p∨ q 为真,求 m 的取值范围. 解:(1)令 f(x)=lo1 (x+1),则 f(x)在(-1,+∞)上为减函数.
3



因为 x∈ [0,8], 所以当 x=8 时,f(x)min=f(8)=-2. 不等式 lo1 (x+1)≥m2-3m 恒成立,等价于-2≥m2-3m,解得 1≤m≤2.
3

(2)因为不等式|1+sin 2x-cos 2x|≤2m x- 4 , 即|2sin x(sin x+cos x)|≤ 2m|sin x+cos x|, 所以 m≥ 2|sin x|. 即命题 q:m≥ 2. 若 p∧ q 为假,p∨ q 为真,则 p 与 q 有且只有一个为真. 若 p 为真,q 为假,那么 若 p 为假,q 为真,那么 1 ≤ m ≤ 2, 则 1≤m< 2. m < 2, m < 1 或 m > 2, 则 m>2. m ≥ 2,



5

综上所述,1≤m< 2或 m>2. 故 m 的取值范围是[1, 2)∪ (2,+∞).

6


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