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高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)5 三角2 理


各地解析分类汇编:三角函数 2
1【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】在△ABC 中的内角 A、B、C 所对的 边分别为 a,b,c,若 b ? 2c cos A, c ? 2b cos A, 则△ABC 的形状为 A.直角三角形 C.等边三角形 【答案】C B.锐角三角形 D.等腰直角三角形 , 即

【 解 析 】 由 正

弦 定 理 得 sin B ? 2sin C cos A,sin C ? 2sin B cos A,

s i A? ( C ? ) n

C s iA 2 ? n

c A s ?C s i,即 sin AC sC ? cos Ao sC ? s ,所 o nA c o c sin cos 0 i n

以 sin( A ? C ) ? 0, A ? C ,同理可得 A ? B ,所以三角形为等边三角形,选 C. 2. 【 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 理 】 函 数

y ? cos(2 x ?

?
6

)在区间[?

?
2

, ? ] 的简图是

【答案】B 【解析】将 y ? cos 2 x 的图象向左平移 的图象,选 B. 3. 【云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试理】 化简
2

? ? ? 个单位得到函数 y ? cos 2( x ? ) ? cos(2 x ? ) 12 12 6

A. sin 2? 【答案】A

B. cos 2?

C. sin ?

4sin ( ? ? ) tan( ? ? ) 4 4 D. cos ?

?

sin 4?

?



4sin 2 ( ? ? ) tan( ? ? ) ? 4 cos 2 ( ? ? ) tan( ? ? ) ? 4 cos( ? ? ) sin( ? ? ) 4 4 4 4 4 4 【解析】 ? 2sin( ? 2? ) ? 2 cos 2? 2

?

?

?

?

?

?

?







4

2

?
4

s ??

?

?
4

s? ?

?

i 2

? ? ? i

? n ? ?s ? c? n

4 o
,选 A.

i (

s

n

s )

4. 【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】 函数 y ? 2 sin( 数的区间是( A. [0, ) B. [

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函

?
3

]

?
12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6

【答案】C

? ? ? 3 ? ? 2 x) ? ?2sin(2 x ? ) , ? k ?k ? , 2 , Z 由 ? 2 k? ? 2 x ? ? 6 6 2 6 2 ? 5? ? 5? ? k? , k ? Z ,即函数的增区间为 [ ? k? , ? k? ]k ? Z ,所以当 解得 ? k? ? x ? 3 6 3 6 ? 5? k ? 0 时,增区间为 [ , ] ,选 C. 3 6
【解析】 因为 y ? 2sin( 5. 【 云 南 省 玉 溪 一 中 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 理 】 已 知 函 数 )

?

f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? π) 的图象如图所示,则 ? 等于(

A.

1 3

B. 1

C.

2 3

D. 2

【答案】C 【解析】由图象可知 C. 6.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】在 ?ABC 中,若

T 15? 3? 12? 2? 2 ? ? ? ? 3? ,所以 ? ? ,选 ,所以 T ? 3? ,又 T ? 2 8 8 8 ? 3
a A cos 2 b B cos 2 c C cos 2

?

?

,则

?ABC 的形状是(

) B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

A.等腰三角形 【答案】B

【 解 析 】 由 正 弦 定 理 可 知 sin A ? cos

A B C ,sin B ? cos ,sin C ? cos , 由 2 2 2 A A A A A 1 sin A ? 2sin cos ? cos ,因为 cos ? 0 ,所以 sin ? ,因为 0 ? A ? ? ,所以 2 2 2 2 2 2

0?

A ? A ? ? ? ? ? ,所以 ? ,即 A ? .同理可得 B ? , C ? ,所以三角形为等边三角形, 2 6 3 3 3 2 2

选 B. 7.【云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理】函数 y ? 最大值为 A. ( B. ) C.

3 ? ? sin( x ? ) ? cos( ? x) 的 2 2 6

13 4

13 4

13 2

D. 13

【答案】C 【解析】

y?

3 ? ? 3 3 1 sin( x ? ) ? cos( ? x) ? cos x ? cos x ? sin x 2 2 6 2 2 2

1 1 1 13 13 = 3 cos x ? sin x ,所以函数的最大值为 ( 3)2 ? ( )2 ? 3 ? ? ,选 C. ? 2 2 4 4 2
8.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】对于函数

f ( x) ?

1 1 (sin x ? cos x) ? | cos x ? sin x | ,下列说法正确的是( 2 2



A.该函数的值域是 ??1,1? B.当且仅当 2k? ? x ? 2k? ? C.当且仅当 x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 时, f ( x) ? 0

?
2

(k ? Z ) 时,该函数取最大值 1

D.该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数 【答案】B

? sin ?sin x , x<cos x , 2? 【解析】 f ( x) ? ? 由图象知,函数值域为 ??1, ? ,A 错;当且仅当 sin 2 ? ?cos x , x≥cos x , ?
2 π , C 错;最小正周期为 2π ,D 错. x ? 2kπ ? (k ? Z) 时,该函数取得最大值 2 4

9.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= 3 ,b= 2 ,且 1+2cos(B+C)=0,则 BC 边上的高等于

A、 3 -1 【答案】D

B、 3 +1

C、

3-1 2

D、

3+1 2

【解析】由 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,得 1 ? 2 cos A ? 0, cos A ?

? 1 ,所以 A ? 。有正弦定理得 3 2

3 2 ? a b 2 ? ? ,即 ,因为 b ? a ,所以 B ? A ,即 B ? 。 ? sin B ,得 sin B ? sin 4 sin A sin B 2 3
由 余 弦 定 理 得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 得 3 ? 2 ? c 2 ? 2c , 即 c 2 ? 2c ? 1? 0 , 解 得

c?

2? 6 2? 6 2 1? 3 ,所以 BC 边上的高为 h ? c sin B ? ,选 D. ? ? 2 2 2 2

10.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】把函数 y = sin x(x ? R) 的图象上所有的 点向左平行移动

1 ? 个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不 2 3

变),得到的图象所表示的函数是 A、 y = sin (2 x-

?
3

),x ? R ),x ? R

C、 y = sin (2 x + 【答案】C

?
3

x ? + ),x ? R 2 6 2? ),x ? R D、 y = sin (2 x + 3
B、 y = sin (

【解析】把函数 y = sin x( x? R) 的图象上所有的点向左平行移动 ? 个单位长度,得到函数

3

y ? sin(x ?

?
3

),再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变),得到函数
2

y ? sin(2 x ? ) ,所以选 C. 3
11.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 把函数 y ? sin(2 x ? 向右平移

?

?
4

) 的图象

? 个单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,则所得图象对应的函 8
3? ? ) B. y=sin(4x+ ) 8 8
D. y=sinx

数解析式是 A. y=sin(4x+ C. y=sin4x 【答案】C 【 解 析 】 把 函 数 y ? sin(2 x ?

?
4

) 的图象向右平移

y ? sin[2( x ? ) ? ) ? sin 2 x ,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,则所得图 8 4
象对应的函数解析式是 y ? sin[2(2 x)] ? sin 4 x ,选 C.

?

?

? 个单位,得到函数 8

12. 【 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 一 月 考 理 】 在 ?ABC 中 ,A,B,C 为 内 角 , 且

sin A cos A ? sin B cos B ,则?ABC 是
A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 【答案】D 【 解 析 】 由 sin A cos A ? sin B cos B 得 sin 2 A ? sin 2B ? sin(? ? 2B) , 所 以 2 A ? 2 B 或 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

2 A ? ? ? 2 B ,即 A ? B 或 A ? B ?

?
2

,所以三角形为等腰或直角三角形,选 D.
3

13.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】函数 f(x)=sin2x-4sin xcosx(x∈R)的 最小正周期为 A.

? 8

B.

? 4

C.

? 2

D.π

【答案】C 【解析】 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x sin x ? sin 2 x(1 ? 2sin x) ? sin 2 x cos 2 x ?
2 2

函数的周期为 T ?

2?

?

?

2? ? ? ,选 C. 4 2

1 sin 4 x ,所以 2

14.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】设函数 y ? sin( x ? A.在区间[-π , ? C.在区间[ 【答案】B 【解析】当

?
3

) (x∈R),则 f(x)

?
2

]上是减函数

B.在区间 [ D.在区间 [

? ? , ]上是增函数 8 4

? 5?
3 , 6

2? 7? , ] 上是增函数 3 6
] 上是减函数

2? 7? 2? ? ? 7? ? ? 3? ?x? ? ? x? ? ? ,即 ? ? x ? ? 时, ,此时函数 3 6 3 3 3 6 3 3 2

y ? sin( x ?

?

2? 7? ? ) 单调递减,所以 y ? sin( x ? ) 在区间 [ , ] 上是增函数,选 B. 3 3 6 3

15.【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理) tan ? 和 tan? 】

?? ? ? ? ? 是方程 ?4 ?

x 2 ? px ? q ? 0 的两根,则 p、q 之间的关系是
A. p ? q ? 1 ? 0 【答案】D B. p ? q ? 1 ? 0 C. p ? q ? 1 ? 0 D. p ? q ? 1 ? 0

( 【解析】根据根与系数之间的关系可得 tan

?

? ?) tan ? = ? p, tan ? ( ? ?) ? =q ,所以 tan 4 4

?

tan( ? ? ) ? tan ? ? ?p ?p 4 ,即 tan ? ? 1,所以 p ? q ? 1 ? 0 ,选 tan( ? ? ? ? ) ? ? ? 4 1? q 4 1? q 1 ? tan( ? ? ) tan ? 4

?

?

D. 16. 【 山 东 省 烟 台 市 莱 州 一 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 ( 理 )】 已 知

3 5 cos ? ? , cos ?? ? ? ? ? ? , ? 、 ? 都是锐角,则 cos? = 5 13 63 33 33 63 A. ? B. ? C. D. 65 65 65 65
【答案】C 【 解 析 】 因 为 ? , ? 是 锐 角 , 所 以 0 ? ? ? ? ? ? , 又 c o s? ? ? ? ? ? ?

?
2

5 ? 0, 所 以 13

? ? ? ? ? ?,所以 sin ?? ? ? ? ?

12 4 , sin ? ? . 13 5 5 3 12 4 33 ? ? ? ? , 13 5 13 5 65

又 cos ? ? cos(? ? ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ? ? ? 选 C.

17.【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理) 】如果函数 y ? 3 cos?2 x ? ? ? 的图像 关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值为 ? 3 ?
B.

A.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【答案】A 【解析】函数关于点 (

4? 4? 8? , 0) 对称,则有 3cos(2? ? ? ) ? 0 ,即 cos( ? ? ) ? 0 ,所以 3 3 3 2? 2? ? ? cos( ? ? ) ? 0,即 ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,即 ? ? ? ? 2k? , k ? Z ,所以当 k ? 0 时, 3 3 2 6

? ?

? ,此时 ? 最小,选 A. 6

18.【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考(理) 】函数 f ?x ? ? A sin ??x ? ? ? ? b 的

图象如下,则 S ? f ?0? ? f ?1? ? ? ? ? ? f ?2011 等于 ? A.0 B.503 C.1006 D.2012

【答案】D 【解析】由图象可知,函数的最大值为 A ? b ? 函数的周期 T ? 4 ,即 T ? 时, f ? 0 ? ? 期

3 1 1 ,最小值为 ? A ? b ? ,解得 A ? , b ? 1 , 2 2 2
,所以 f ? x ? ?

2?

?

? 4 ,所以 ? ?

?
2

1 ?? ? sin ? x ? ? ? ? 1 ,当 x ? 0 2 ?2 ?

1 1 ? sin ? ? 1 ? 1 ,所以 sin ? ? 0 ,所以 ? ? 0 ,即 f ? x ? ? sin x ? 1 .在一个周 2 2 2



f(

?

0

f

?)

f

(, ?
? 1? 5

1 f所 ? )



(

S?
D.

? 0?

?f ?

?

1?

?f

?

2?

f

0?

4 1?0 ? ,选 35 ? ? 0 f f

19.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】已知 sin ? ?

2 ,则 3

cos? 3 ? 2 ? 等于 ? ?
A. ?

5 3

B.

1 9

C. ?

1 9

D.

5 3

【答案】C 【解析】

cos ?3? ? 2? ? ? cos ?? ? 2? ? ? ? cos2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? )
4 1 ?? 9 9 ,选 C.

? ?1 ? 2sin 2 ? ? ?1 ? 2 ?

20.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】函数 f ? x ? ? sin ??x ? ? ? ( 其中? > 0, ? <

? )的图象如图所示,为了得到 g ? x ? ? sin ? x 的图象,可以将 f ? x ? 的 2

图象

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移 【答案】A

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移

T 7? ? ? 2? ? ? ? T? ?? ? 【解析】由图象知 4 12 3 4 ,所以周期 T ? ? ,又 ,所以 ? ? 2 ,所以

f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?

f(
,又

7? 7? 7? ) ? sin(2 ? ? ? ) ? ?1 s i n ( ?? ? ? 1 ) 12 12 6 ,即 ,所以

? 7? 3? ? ?? ?? ? ? 2 k? , k ? Z ? ? ? 2 k? , k ? Z 3 ,所以 6 2 3 ,即 ,所以当 k ? 0 时,

?? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 3 ? ,又 g ? x ? ? sin 2 x ? sin[2x ? ? ? ? ] ? sin[2(x ? ? )? ? ] ? ,所以要得 3 3 6 3 ? 到 g ? x ? ? sin ? x 的图象只需将 f ( x ) 的图象向右平移 个单位长度,选 A. 6
21.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理) 】2009 年北京庆阅兵式上举 行升旗仪式,如图,在坡度为 15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平 面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60°和 30°,且第一排和最后

一排的距离为 10 6 米,则旗杆的高度为______米。 【答案】 30

【解析】设旗杆的高度为 x 米,如图

,可知

?ABC ? 180? ? 60? ? 150 ? 1050



?CAB ? 30? ? 150 ? 45?







?ACB ? 180? ? 105? ? 45? ? 30? ,根据正弦定理可知
所以 sin 60 ?
?

BC AB ? ,即 BC ? 20 3 , ? sin 45 sin 30?

x x 3 ? ,所以 x ? 20 3 ? ? 30 米。 BC 20 3 2

22. 【 山 东 省 烟 台 市 莱 州 一 中 2013 届 高 三 10 月 月 考 ( 理 ) 若 tan? ? 2, 则 】

sin ? cos ? ? _________.
【答案】

2 5

【解析】 sin ? cos ? ?

sin ? cos ? sin ? cos ? tan ? 2 2 ? ? ? ? . 2 2 2 1 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 1 ? 4 5

23. 【山东省烟台市莱州一中 2013 届高三 10 月月考 (理) 关于函数 f ?x ? ? sin 2 x ? cos2 x 有 】 下列命题: ①函数 y ? f ?x ? 的周期为 ? ; ②直线 x ? ③点 ?

?
4

是 y ? f ?x ? 的一条对称轴;

?? ? ,0 ? 是 y ? f ?x ? 的图象的一个对称中心; ?8 ?

④将 y ? f ?x ? 的图象向左平移

? 个单位,可得到 y ? 2 sin 2x 的图象.其中真命题的序号是 4

______.(把你认为真命题的序号都写上) 【答案】①③ 【解析】 f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ?

? ? 2 sin(2 x ? ) ,所以周期 T ? ? ,所以①正确,当 x ? 4 4
) 不 是 s最 i 值 , 所 以 ② 不 正 2 n 4

时 ,

? ? ?? ? f ? ? ? 2 s i? n ?( 2? 4 4 ?4?

?

确. f ?

? ? ? ?? ? ? ? 2 sin(2 ? ? ) ? 0 ,所以③正确.将 y ? f ?x ? 的图象向左平移 4 个单位,得 8 4 ?8?
2 sin[2( x ? ) ? ] ? 2 sin(2 x ? ) ,所以④不正确,综上正确的命题为①③. 4 4 4
3 ? ? ,且 x ? ( , ) ,则 8 4 2

到y?

?

?

?

24.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】已知 sin x cos x ?

cos x ? sin x ? _________.
【答案】 ?

1 2

【 解 析 】 因 为 x?(

? ?

, ) , 所 以 sin x ? cos x , 即 c o xs? 4 2

s ?n , 所 以 xi 0

(cos x ? sin x) 2 ? 1 ? 2sin x cos x ?

1 1 ,所以 cos x ? sin x ? ? 。 2 4

25.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】函数 f ( x) ? sin(2 x ? 为 C,以下结论中: ①图象 C 关于直线 x ? ②图象 C 关于点 (

?
3

) (x∈R)的图象

2? , 0) 对称; 3 ? 5? ) 内是增函数; ③函数 f(x)在区间 ( ? , 12 12
④由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 则正确的是 【答案】①②③ 【解析】当 x ?

11? 对称; 12

? 个单位长度可以得到图象 C. 3

.(写出所有正确结论的编号)

11? 11? 11? ? 11? ? 3? f ) ? sin(2 ? ? )= sin( ? )= sin( )= ? 1 ,所以为 时, ( 12 12 12 3 6 3 2 11? 2? 最小值,所以图象 C 关于直线 x? 对称,所以①正确。当 x? 时, 12 3 2? 2? 2? ? ( ) ? sin(2 ? f ? )= sin ? =0 ,所以图象 C 关于点 ( , 0) 对称;所以②正确。 3 3 3 3 ? ? ? 5? ? 5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k? , 当 ? ? x ? 时 , ? ? 2x ? , 所 以 2 2 1 2 1 2 6 6 ? ? ? 5? ? ? ? ? ? ? ? 2x ? ? ? ,即 ? ? 2 x ? ? ,此时函数单调递增,所以③正确。 6 3 3 6 3 2 3 2 ? ? 2? y ? 3sin 2x 的图象向右平移 个单位长度,得到 y ? 3sin 2( x ? ) ? 3sin(2 x ? ) ,所 3 3 3
以④错误,所以正确的是①②③。 26. 【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 在△ABC 中, sinA=2sinBcosC 若

则△ABC 的形状为________。 【答案】等腰三角形 【 解 析 】 在 三 角 形 中 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C , 即

s i Bn

cCo s ?

Bc o C ? s

s i nB ,所以 siniBn C ?o s B sin C ? sin( B ? C ) ? 0 , 2 s C cos c cos

所以 B ? C ,即三角形为等腰三角形。 27.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】函数 f (x)=Asin (? x+? )(A,?,? 为常数,

A>0,

则 ? >0)的部分图象如图所示, f(0)的值是



【答案】

6 2
2,

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,所以 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 , 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? 所以函数 , )= 2 sin (2? +? )= 2 sin ( + )=? 2 ? f (x)= 2 sin (2x+? ) ,由 f ( 12 12 6 7? 7? 3? ? 得 sin ( +? )= ? 1 , 所 以 +? = ? 2k? ,k ? Z , 即 ? = ? 2k? ,k ? Z , 所 以 6 6 2 3
【解析】由图象可知 A ?

f (x)= 2 sin (2 x +

? , ) f (0)= 2 sin ? ? 2 ? 3 ? 6 。 3 3 2 2

28.【天津市耀华中学 2013 届高三第一次月考理科】在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a +b =2012c ,则
2 2 2

tan A? B tan 的值为 tanC ( tan A+ tan B)



【答案】

2011 2

sin A sin B tan A? B tan cos Acos B ? tanC ( tan A+ tan B) sinC( sin A ? sin B ) cos C cos A cos B 【解析】 sin A sin B sin A sin B cos C sin A sin B cos C cos Acos B ? = = sinC sin Acos B ? cos A sin B sinC sin A ? B ( ) sin 2 C ? cos C cos Acos B
= ab a 2 ? b2 ? c 2 2012c 2 ? c 2 2011 。 ? ? ? c2 2ab 2c 2 2

29.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】在锐角△ABC 中,角 A、B、C

所对的边分别为 a、b、c,若 b=2,B= 为 【答案】 3 。

? 且 sin2A+sin(A+C)=sinB,则△ABC 的面积 3

? 【解析】? sin 2 A ? sin B ? sin( A ? C ) , 2sin A cos A ? sin( A ? C ) ? sin( A ? C ) ,

? 2sin A cos A ? 2cos A sin C. ? △ABC是锐角三角形, cos A ? 0 , ? ? sin A ? sin C,即A ? C ? B ? π 1 3 , S△ABC ? ? 2 ? 2 ? ? ? 3. 3 2 2

30 【 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 】 在 △ ABC 中 , 若 cos A ?

B?C ? cos 2 A 的值为 . 2 1 【答案】 ? 9 ??A 2 B?C ? cos 2 A ? sin 2 ? cos 2 A 【解析】 sin 2 2 A 1 ? cos A ? cos 2 ? cos 2 A ? ? 2 cos 2 A ? 1 , 2 2 1 1 2 B?C ? cos 2 A ? ? 因为 cos A ? , 所以 sin 3 2 9 sin 2
31.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】已知函数 下列四个说法: ①若 ③ 在区间 ,则 ; ② ④ 的最小正周期是 的图象关于直线 ; 对称.

1 ,则 3

,给出

上是增函数;

其中正确说法的序号是______. 【答案】③④ 【解析】函数 f ( x) ? sin x cos x ?

1 1 1 sin 2 x ,若 f ( x1 )= ? f ( x2 ) ,即 sin 2 x1 = ? sin 2 x2 , 2 2 2


所 以 sin 2 x1 = ? sin 2 x2 , 即 sin 2x1 =sin(?2 x2 ) , 所 以 2 x1 = ? 2 x2 ? 2k?

2 x1 =? ? 2 x2 ? 2k? , k ? Z ,所以①错误; ? ? 2, 所以周期 T ?
?

2?

?

4 4 2 3? 1 3 ? f( )? s i n? 2 ( 4 2 4

?x?

?

时 , ?

?

? 2x ?

?

?

? ? ,所以②错误;当
3? 时, 4

2 1 ? 3 1 ) = s i n 为最小值,所以④正确,所以正确的有 2 个. ? = 2 2 2

, 函 数 递 增 , 所 以 ③ 正 确 ; 当 x?

32.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理) 】定义一种运算





,且



则函数

的最大值是______.

【答案】

5 4
,则

【解析】令

∴由运算定义可知, ∴当 sin x ?

? 5 1 ,即 x ? 时,该函数取得最大值 . 6 4 2
的最大值与函数 在区间

由图象变换可知,

所求函数

上的最大值相同.

33.【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】若α 是锐角,且错误!未找到引 用源。的值是 【答案】 .

2 6 ?1 6

【 解 析 】 ∵

?

是 锐 角 , ?

0 ?? ?

?
2

,

?

?
6

?? ?

?
6

?

?
3

, 所 以

? ? 2 2 cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? , 6 6 3
cos ? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin 6 6 6 6 6 6

?

?

?

?

?

?

?

2 2 3 1 1 2 6 ?1 . ? ? ? ? 3 2 3 2 6

34.【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】函数错误!未找到引用源。的图 象如图所示,则错误!未找到引用源。的值等于

【答案】 2( 2 ? 1) 【解析】由图知, A ? 2 , 以 2sin(

?
4

T 2? ? ? 6 ? 2 ? 4 ,所以周期 T ? 8 ? ,? ? ? ,又 f (2) ?2 ,所 2 ? 4

? 2 ? ? ) ? 2 , 所 以 sin(
, 所 以

?

2

? ?) ? 1 , 即

?

? ? 2k? , k ? Z

f (x ? )

?
4

2

?? ?

?

2

? 2 k? , k ? Z , 所 以
n


2 ? s? i x k ?

?
4

(x


, 2 又 以

)

2

s

f (1) ? f (2) ? ? ? f (8) ? 2(sin

?
4

? sin

2? 8? ? ? ? sin ) ? 0 4 4

f (1) ? f (2) ??? f (2011) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 2( 2 ?1) .
35.【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】在△ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a, b,c,若 a ? 3, b ? 2, B ? 45? ,则角 A= 【答案】 60 或 120
? ?



【解析】由正弦定理可知

a b 3 2 3 ? ,即 ,因为 ? ? 2 ,所以 sin A ? ? sin A sin B sin A sin 45 2

a ? b ,所以 A ? 45? ,所以 A ? 60? 或 A ? 120? 。
36.【山东省德州市乐陵一中 2013 届高三 10 月月考数学理】如图,测量河对岸的塔高 AB 时, 可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,测得错误!未找到引用源。,CD=30, 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60.则塔高 AB=__________.

【答案】 15 6 【解析】因为 ?BCD ? 15 , ?BDC ? 30 ,所以 ?CBD ? 135 ,在三角形 BCD 中,根据正
0 ?
?

弦定理可知

CD BC 30 BC ? ? ,即 ,解得 BC ? 15 2 ,在直 角 0 sinCBD sin BDC sin135 sin 30? AB ?ABC 中, tan 60? ? ? 3 ,所以 AB ? 3BC ? 3 ?15 2 ? 15 6 . BC

37. 山东省聊城市东阿一中 2013 届高三上学期期初考试 】 【 在△ABC 中, 若∠A:∠B:∠C=1:2:3,

则a :b:c ? 【答案】 1 3:2 : 【解析】因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,则可知 A,B,C 分别为 300 ,600 ,900 , ,根据直角三角形中边 的比例关系可知, a : b : c ? 1: 3 : 2 38. 【 山 东 省 聊 城 市 东 阿 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 初 考 试 】 已 知

si n( ??

?

1 ? ) ? , ? ? (? ,0),则 t a ? ? n 2 3 2

【答案】 ? 2 2 .

? 1 ? 1 2 2 sin(? ? ) ? , ? ? (? , 0),cos? ? ,sin? ? ? 2 3 2 3 3 则 tan ? ? ?2 2 。 【解析】因为
54【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】已知下列四个命题: ①若 tan ? ? 2, 则 sin 2? ?

4 ; 5

②函数 f ( x) ? lg( x ? 1 ? x 2 ) 是奇函数;
a b ③“ a ? b ”是“ 2 ? 2 ”的充分不必要条件;

④在△ABC 中,若 sin A cos B ? sin C ,则△ABC 是直角三角形. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①②④ 【 解 析 】

2 s? i n ? c o s s i?n 22 ? ? 2 s i? n ? c o s ? ?

? 2 t a n 4 ?, 所 以 ① 正 确 ; 2 ?1 t a n 5

f (? x) ? lg(? x ? 1 ? x 2 ) ? lg(

1 x ? 1? x
2

) ? ? f ( x) 为奇函数,所以②正确;由 2 a ? 2b 可

a b 知 a ? b ,所以“ a ? b ”是“ 2 ? 2 ”的充要条件,所以③不正确;由 sin A cos B ? sin C

s 得 sin A cos B ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B , 所 以 c o A
c o A ? ,即 A ? s 0

B?n , 所 以 s i 0

?
2

,所以△ABC 是直角三角形,所以④正确,所以真命题的序号是①②④. 理 】 在 ?ABC 中 , , 则 此 三 角 形

39. 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 二 次 诊 断 性 测 试

n s t a n ? t a n ? 3 ? 3 t a n ? t a n , 且 s iA ? c oA ? A B A B
为 【答案】等边三角形 .

3 4

【解析】 tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A ? tan B 得,tan A ? tan B ? ? 3 ? 3 tan A ? tan B , 由

n 所 以 t a A ?(B ?
tan C ? 3, C ?
或 2A ?

t a A? n B a n t ) ?? 1? t a n B t a n A

, 3 t a ? ?(C ? ? ) ? ? 3 C , a n以 即 n t 所

?
3

。 s A ? cs A ? 由i n o

? 3 3 得 ,sin 2 A ? , 2A ? 得 sin A ? 0,cos A ? 0 3 4 2

? ? 2? ? ? ? ? ,所以 A ? 或 A ? 。当 A ? 时, B ? ? ? ? ? ,此时 tan B 不存在, 6 6 3 3 6 2 3
?
6
时, B ? ? ?

不成立,舍去。当 A ?

?

40.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】在 ?ABC 中, sin A,sin B,sin C 依次成等比数列,则 B 的取值范围是 【答案】 (0,

3

?

?

3

?

?

3

,此时 A ? B ? C ,三角形为等边三角形。

?
3

]
2 2

【解析】因为 sin A,sin B,sin C 依次成等比数列,所以 sin A sin C ? sin B ,即 ac ? b ,所



cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac a 2 ? c 2 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2







? ? a 2 ? c 2 1 2ac 1 1 cos B ? ? ? ? ? ,所以 0 ? B ? ,即 B 的取值范围是 (0, ] 。 3 3 2ac 2 2ac 2 2
41.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cos C , 则 tan B ? tan C ? __________. 【答案】2 【解析】在 ?ABC 中, sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cosB sin C ? 2 cosB cosC , 两边 同除以 cos B cos C 得 tan B ? tan C ? 2 . 42.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】函数 y ? 2 sin( 递增区间为 【答案】 [

?
3

? x), x ? 0,2?) ( 的单调

5? 11? , ] 6 6

x? 【 解 析 】 由 y ? 2 s i n ( ? x) ? ?2 s i n ( 3

?

?
3

) 知当

?
2

? 2k? ? x ?

?
3

?

5? 11? ? 2k? ? x ? ? 2k? (k ? Z ) 时 , y 为 增 函 数 . ? x ? (0,2? ) , ∴ 函 数 的 增 区 间 为 6 6 5? 11? [ , ]. 6 6

3? ? 2k? 即 2


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