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1.2.1任意角的三角函数课件(一)


1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
P 1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的?

sin ? ?

c
b

O

?
a

cos? ?
tan ? ?

M

b c a c b a

新课

导入

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
b

O y

?
a

M

x

新课

导入
其中 : OM ? a MP ? b OP ? r ? a 2 ? b 2
y

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
MP b sin ? ? ? OP r
OM a cos ? ? ? OP r

﹒P?a, b?
r
?

MP b tan ? ? ? OM a

o



M x

诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y

P?
P(a,b)

?OMP ∽ ?OM ?P?
MP sin ? ? OP
OM cos ? ? OP


M

?
O

M?

x

MP tan ? ? OM

M ?P? ? OP? ? OM ? OP? M ?P? ? OM ?

新课

导入
其中 : OM ? a MP ? b OP ? r ? a 2 ? b 2
y

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
MP b sin ? ? ? OP r
OM a cos ? ? ? OP r

﹒P?a, b?
r
?

MP b tan ? ? ? OM a

o



M x

3.锐角三角函数(在单位圆中)
以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆

OP ? r ? 1 ? a ? b
2

2

y
P(a, b)
1

o

?
M

MP sin ? ? OP OM cos ? ? OP
x

?b

?a
b ? a

MP tan ? ? OM

4.用单位圆定义任意角的三角函数
设? 是一个任意角,它的终边
与单位圆交于一点

? 的终边

y

P ( x, y )
?

x
A(1,0)

p ( x, y )

,那么

o

(2)x 叫做 ? 的余弦,记作

(1) y 叫做 ? 的正弦,记作

sin ? ,即

sin ? ? y

cos? ,即 cos? ? x y y ( x ? 0) (3) 叫做? 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ?
x x
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标

或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.

实例剖析
例1:如图已知角α的终边上一点是 P(? 求角α的正弦、余弦和正切值。 解:根据任意角的三角函数定义:

1 3 , ) 2 2
y

3 sin ? ? 2
tan? ? ? 3
点评:

1 cos ? ? ? 2

1 3 P(? , ) 2 2

M O

x

若已知角α的终边一点的坐标,则先判断点是否在单位圆上,

若是则直接利用定义求三角函数值。若不是呢,如何求?例
如P为 时 请大家课后讨论。 (? 1, 3 )

实例
例2

剖析

求 5? 的正弦、余弦和正切值. 3 5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作 ?AOB ?

3

的终边与单位圆的交点坐标为


1 ? 3 ( , ) 2 2



y
5? 3

5? ? 3 ? 所以 sin 3 2

5? 1 cos ? 3 2

5? tan ?? 3 3

o



A

x

﹒B

练习1:P15 第1题 练习2:求角

? 的三个三角函数值

练习 3、P15 第3题
角α 弧度 数 sinα
cosα tanα

0° 90° 180° 270° 360° 30° 45° 60° 0 0
1 0

?
2

?
0
-1 0

3 ? 2

2?
0
1 0

?
6
1 2

?
4
2 2 2 2

?
3
3 2
1 2

1
0 不存 在

-1
0 不存 在

3 2

3 3

1

3

归纳

总结

1. 内容总结: ①三角函数的概念。 ②研究三角函数概念的方法。 2 .方法总结: 运用了定义法、数形结合法解题。

课后作业

课本 第20页 习题1.2 A组 3、4题.


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