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2014-2015学年江西省吉安一中高二(下)第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年江西省吉安一中高二(下)第二次段考数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.集合 P={x| A. (1,2] D. [1,2)
2

>0},Q={x|y= B. [1,2]

},则 P∩Q=(



C. (﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)

2.命题“?x∈R,x ≠x”的否定是( ) 2 2 A. ?x?R,x ≠x B. ?x∈R,x =x

C. ?x?R,x ≠x

2

D. ?x∈R, x =x

2

3.已知 A. 2﹣i B. 1

,则 f(f(1﹣i) )=( C. 3

) D. 3+i

4.下列函数在(0,+∞)上为减函数的是( x A. y=﹣|x﹣1| B. y=e
2

) C. y=ln(x+1)

D. y=﹣x (x+2)

5.如果随机变量 ξ~N(0,σ ) ,且 P(﹣2<ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)等于( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6.已知命题 p:存在 a∈R,曲线 x +ay =1 为双曲线;命题 q:
2 2

≤0 的解集是{x|1<x<

2}.给出下列结论中正确的有( ) ①命题“p 且 q”是真命题; ②命题“p 且(?q)”是真命题; ③命题“(?p)或 q”为真命题; ④命题“(?p)或(?q)”是真命题. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个

D. 4 个

7.从 1,2,3,…,9 这 9 个数中任取 5 个不同的数,则这 5 个数的中位数是 5 的概率等于 ( ) A. B. C. D.

8.现有 6 个人分乘两辆不同的出租车,已知每辆车最多能乘坐 4 个人,则不同的乘车方案 种数为( ) A. 30 B. 50 C. 60 D. 70 9.奇函数 f(x)满足对任意 x∈R 都有 f(x+2)=﹣f(x)成立,且 f(1)=8,则 f(2012) +f(2013)+f(2014)的值为( )

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

10. 定义在[0, +∞) 的函数 f (x) , 对任意 x≥0, 恒有 f (x) >f′ (x) , a= 则 a 与 b 的大小关系为( ) A. a>b B. a<b

, b=



C. a=b

D. 无法确定

11.已知函数 f(x)=

,若 g(x)=ax﹣|f(x)|的图象与 x

轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是( A. [ , ) B. (0, )

) C. (0, ) D. [ , )

12. 如图, P 是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点, 设 AP 的长度为 x, 若△ PBD 的面积为 f(x) ,则 f(x)的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.已知回归直线斜率的估计值为 2,样本点的中心为点(4,5) ,则回归直线的方程 为 . 14.已知 f(x) ,g(x)分别是 R 上的奇函数和偶函数,若 f(x)+g(x)=log2(1+2 ) , 则 f(1)= .
x

15.已知 a>0,若(x +1) (ax+1) 的展开式中各项系数的和为 1458,则该展开式中 x 项 的系数为 . 16.已知函数 y=f(x) (x∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ) ,在其图象上任取一点 P(x,y)都 2 2 满足方程 x ﹣4y =4. ①函数 y=f(x)一定具有奇偶性; ②函数 y=f(x)在(﹣∞,﹣2)是单调函数; ③?x0∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ,使 x<2f(x) ; ④?x∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ,使|x|>2f(x) ; 以上说法正确的序号是 .

2

6

2

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.5×12+10=70 分) 17.设函数 f(x)=lg(﹣x +5x﹣6)的定义域为 A,函数 g(x)= 域为 B. (Ⅰ)当 m=2 时,求 A∩B; (Ⅱ)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 18.为了促进学生的全面发展,贵州某中学重视学生社团文化建设,2014 年该校某新生确 定争取进入曾获团中央表彰的“海济社”和“话剧社”.已知该同学通过考核选拨进入两个社团 成功与否相互独立,根据报名情况和他本人的才艺能力,两个社团都能进入的概率为 至少进入一个社团的概率为 ,并且进入“海济社”的概率小于进入“话剧社”的概率. (1)求该同学分别通过选拨进入“海济社”的概率 p1 和进入“话剧社”的概率 p2; (2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“海济社”的同学增加 1 个校本选修课学 分,对进入“话剧社”的同学增加 0.5 个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修 加分分数的分布列和数学期望. 19.如图,正方形 ABCD 所在平面与等腰三角形 EAD 所在平面相交于 AD,EA=ED,AE⊥ 平面 CDE. (1)求证:AB⊥平面 ADE; (2)设 M 是线段 BE 上一点,当直线 AM 与平面 EAD 所成角的正弦值为 点 M 的位置. 时,试确定 ,
2

,x∈(0,m)的值

20.已知椭圆

=1(a>b>0)的右焦点为 F2(1,0) ,点 H(2,

)在椭圆上.

(I)求椭圆的方程; 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)点 M 在圆 x +y =b 上,且 M 在第一象限,过 M 作圆 x +y =b 的切线交椭圆于 P, Q 两点,求证:△ PF2Q 的周长是定值.

21.已知 x=1 是函数 f(x)=1+(1﹣x)ln(kx)的极值点,e 自然对数底数. (Ⅰ)求 k 值,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)是否存在 m∈(1,+∞) ,使得当 a>m 时,不等式(a+x)ln(a+x)<ae lna 对任意 正实数 x 都成立?请说明理由.
x

请考生从第(22) 、 (23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 22.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣4
2



(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)若点 P(x,y)在曲线 C 上,求 x+y 的最大值和最小值.

【选修 4-5:不等式选讲】 2015?哈尔滨校级一模)已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2 (Ⅰ)解不等式 f(x)≥0 (Ⅱ)若存在实数 x,使得 f(x)≤|x|+a,求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年江西省吉安一中高二(下)第二次段考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.集合 P={x| A. (1,2] D. [1,2) >0},Q={x|y= B. [1,2] },则 P∩Q=( )

C. (﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)

考点:其他不等式的解法;交集及其运算. 专题:不等式的解法及应用;集合. 分析:利用不等式的解法求出集合 P,函数的定义域求出集合 Q,然后求解交集即可. 解答: 解:集合 P={x| Q={x|y= >0}={x|x>1 或 x<﹣3},

}={x|﹣2≤x≤2},

P∩Q={x|1<x≤2}=(1,2]. 故选:A. 点评:本题考查集合的交集的求法,分式不等式的解法,考查计算能力. 2.命题“?x∈R,x ≠x”的否定是( ) 2 2 A. ?x?R,x ≠x B. ?x∈R,x =x
2

C. ?x?R,x ≠x

2

D. ?x∈R, x =x

2

考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:根据全称命题的否定是特称命题,利用特称命题写出命题的否定命题. 解答: 解:根据全称命题的否定是特称命题, ∴命题的否定是:?x0∈R, =x0.

故选:D. 点评:本题考查了全称命题的否定, 要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命 题,全称命题的否定是特称命题.

3.已知 A. 2﹣i B. 1

,则 f(f(1﹣i) )=( C. 3

) D. 3+i

考点:复数代数形式的混合运算;函数的值. 专题:数系的扩充和复数.

分析:根据分段函数 f(x)的解析式,先求出 f(1﹣i) 的值,再求 f(f(1﹣i) )的值. 解答: 解:∵ ,

∴f(1﹣i)=(1+i) (1﹣i)=2. ∴则 f(f(1﹣i) )=f(2)=1+2=3. 故选:C. 点评:本题考查两个复数代数形式的乘法,虚数单位 i 的幂运算性质,体现了分类讨论的数 学思想,是基础题. 4.下列函数在(0,+∞)上为减函数的是( A. y=﹣|x﹣1| B. y=e
x

) C. y=ln(x+1) D. y=﹣x (x+2)

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数解析式判断各自函数的单调区间,即可判断答案. 解答: 解:①y=﹣|x﹣1|= ∴(0,+∞)不是减函数, 故 A 不正确. x ②y=e ,在(﹣∞,+∞)上为增函数, 故 B 不正确. ③y=ln(x+1)在(﹣1,+∞)上为增函数, 故 C 不正确. ④y=﹣x(x+2)在(﹣1,+∞)上为减函数, 所以在(0,+∞)上为减函数 故 D 正确. 故选:D. 点评:本题考查了简单函数的单调性,单调区间的求解,掌握好常见函数的解析式即可,属 于容易题. 5.如果随机变量 ξ~N(0,σ ) ,且 P(﹣2<ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)等于( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:概率与统计. 2 分析:本题考查正态分布曲线的性质,随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ ) ,由此知曲线的 对称轴为 Y 轴,P(﹣2≤ξ≤2)=2P(﹣2<ξ≤0) ,又 P(ξ>2)= [1﹣P(﹣2≤ξ≤2)],再由 P (﹣2<ξ≤0)=0.4,可得答案. 2 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,σ ) ,且 P(﹣2≤ξ≤0)=0.4, ∴P(﹣2≤ξ≤2)=0.8
2

∴P(ξ>2)= [1﹣P(﹣2≤ξ≤2)]= [1﹣0.8]=0.1. 故选 A. 点评:本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义, 解题的关键是正确正态分布曲线 的重点及曲线所表示的意义,由曲线的对称性求出概率,本题是一个数形结合的题. 6.已知命题 p:存在 a∈R,曲线 x +ay =1 为双曲线;命题 q:
2 2

≤0 的解集是{x|1<x<

2}.给出下列结论中正确的有( ) ①命题“p 且 q”是真命题; ②命题“p 且(?q)”是真命题; ③命题“(?p)或 q”为真命题; ④命题“(?p)或(?q)”是真命题. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个

D. 4 个

考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题;推理和证明. 分析:根据双曲线的标准方程可判断命题 p,解分式不等式可判断命题 q,进而根据复合命 题真假判断的真值表逐一判断四个命题的真假,可得答案. 解答: 解:当 a<0 时,曲线 x +ay =1 为双曲线, 2 2 故命题 p:“存在 a∈R,曲线 x +ay =1 为双曲线”为真命题; ≤0 的解集是{x|1≤x<2} 故命题 q:“ ≤0 的解集是{x|1<x<2}”为假命题;
2 2

命题“p 且 q”是假命题,即①错误; 命题“p 且(?q)”是真命题,即②正确; 命题“(?p)或 q”为假命题,即③错误; 命题“(?p)或(?q)”是真命题,即④正确. 故选:B. 点评:本题以命题的真假判断为载体考查了复合命题的真假, 双曲线的标准方程, 解分式不 等式等知识点,难度不大,属于基础题. 7.从 1,2,3,…,9 这 9 个数中任取 5 个不同的数,则这 5 个数的中位数是 5 的概率等于 ( ) A. B. C. D.

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:由题意知,5 个数的中位数是 5,说明 5 之前 4 个数中取 2 个,5 之后 4 个数中取 2 个,根据概率公式计算即可. 解答: 解:5 之前 4 个数中取 2 个,5 之后 4 个数中取 2 个,P= 故选:C. = .

点评:本题主要考查了古典概率和中位数的问题,关键是审清题意,属于基础题. 8.现有 6 个人分乘两辆不同的出租车,已知每辆车最多能乘坐 4 个人,则不同的乘车方案 种数为( ) A. 30 B. 50 C. 60 D. 70 考点:排列、组合的实际应用. 专题:计算题;排列组合. 分析:根据题意,分 2 种情况讨论,1、每辆乘坐 3 人,2、一辆车 4 人,一辆车 2 人,分别 计算每种情况下的乘车种数,再由分类加法原理求和即可. 解答: 解: 根据题意, 由于 6 个人分乘两辆不同的出租车, 已知每辆车最多能乘坐 4 个人, 则分 2 种情况讨论: 1、每辆乘坐 3 人, 先将 6 人平均分成 2 组,有 C6 =10 种分组方法,再将这 2 组对应 2 辆出租车,有 A2 =2 种情况, 则此时的乘车方法种数为 10×2=20 种, 2、一辆车 4 人,一辆车 2 人, 2 4 先将 6 人分成 2 组,一组 4 人,另一组 2 人,有 C6 C4 =15 种分组方法,再将这 2 组对应 2 2 辆出租车,有 A2 =2 种情况, 则此时的乘车方法种数为 15×2=30 种, 共有 20+30=50 种 故选:B. 点评:本题考查排列、组合的应用,本题要先分组,再对应 2 辆出租车,注意分组时平均分 组公式与不平均分组公式的不同. 9.奇函数 f(x)满足对任意 x∈R 都有 f(x+2)=﹣f(x)成立,且 f(1)=8,则 f(2012) +f(2013)+f(2014)的值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 考点:函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 f(x+2)=﹣f(x)得 f(x+4)=f(x) ,即函数的周期是 4,然后根据函数的周期 性和奇偶性进行求值转化即可. 解答: 解:∵奇函数 f(x)满足对任意 x∈R 都有 f(x+2)=﹣f(x) , ∴f(x+4)=f(x) ,即函数的周期是 4, 且 f(0)=0,f(2)=﹣f(0)=0. 则 f(2012)=f(0)=0,f(2013)=f(1)=8,f(2014)=f(2)=0, ∴f(2012)+f(2013)+f(2014)=8, 故选:D. 点评:本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用, 根据条件得到函数是周期性是解决本题的 关键,综合考查函数的性质.
3 2

10. 定义在[0, +∞) 的函数 f (x) , 对任意 x≥0, 恒有 f (x) >f′ (x) , a= 则 a 与 b 的大小关系为( ) A. a>b B. a<b 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析:构造新函数 ,研究其单调性即可.

, b=



C. a=b

D. 无法确定

解答: 解:令

,则 g′(x)

=

=
x



∵对任意 x≥0,恒有 f(x)>f′(x) ,e >0, ∴g′(x)<0,即 g(x)是在定义域上是减函数, 所以 g(2)>g(3) ,即 a>b, 故选:A. 点评:本题考查函数的单调性,构造新函数是解决本题的关键,属于中档题.

11.已知函数 f(x)=

,若 g(x)=ax﹣|f(x)|的图象与 x

轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是( A. [ , ) B. (0, )

) C. (0, ) D. [ , )

考点:函数的图象;分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:将函数 g(x)的零点问题转化为 y=|f(x)|与 y=ax 的图象的交点问题,借助于函数 图象来处理. 解答: 解:由于函数 g(x)=ax﹣|f(x)|有 3 个零点,则方程|f(x)|﹣ax=0 有三个根, 故函数 y=|f(x)|与 y=ax 的图象有三个交点.

由于函数 f(x)=

,则其图象如图所示,

从图象可知,当直线 y=ax 位于图中两虚线之间时两函数有三个交点, 因为点 A 能取到,则 4 个选项中区间的右端点能取到,排除 BC, ∴只能从 AD 中选,故只要看看选项 AD 区间的右端点是选 还是选 设图中切点 B 的坐标为(t,s) ,则斜率 k=a=(lnx)′|x=t= , 又(t,s)满足: ∴斜率 k=a= = , 故选:A. 点评:本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,画出函数 f(x) 的图象是解题的关键,这里运用了数形结合的思想. 12. 如图, P 是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点, 设 AP 的长度为 x, 若△ PBD 的面积为 f(x) ,则 f(x)的图象大致是( ) ,解得 t=e, ,

A.

B.

C.

D. 考点:棱柱的结构特征;函数的图象. 专题:图表型. 分析:先设正方体的棱长为 1,连接 AC 交 BD 于 O,连 PO,则 PO 是等腰△ PBD 的高,从 而△ PBD 的面积为 f(x)= BD×PO,再在△ PAO 中,利用余弦定理得出 PO,最后得出 f (x)的解析式,画出其图象,对照选项即可解决问题. 解答: 解: 设正方体的棱长为 1, 连接 AC 交 BD 于 O, 连 PO, 则 PO 是等腰△ PBD 的高, 故△ PBD 的面积为 f(x)= BD×PO, 在三角形 PAO 中,PO= ∴f(x)= × × = = , ,

画出其图象,如图所示, 对照选项,A 正确. 故选 A.

点评:本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等基础知识,考查运算求解能力,考查 数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. 已知回归直线斜率的估计值为 2, 样本点的中心为点 (4, 5) , 则回归直线的方程为 ﹣3 . =2x

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据回归直线斜率的估计值为 2,样本的中心点为(4,5) ,借助点斜式方程,可求 得回归直线方程. 解答: 解:回归直线斜率的估计值为 2,样本的中心点为(4,5) , 根据回归直线方程恒过样本的中心点,可得回归直线方程 =2x﹣3. 故答案为: =2x﹣3. 点评:本题的考点是线性回归方程, 主要考查回归直线方程的求解, 解题的关键是利用回归 直线方程恒过样本的中心点. 14.已知 f(x) ,g(x)分别是 R 上的奇函数和偶函数,若 f(x)+g(x)=log2(1+2 ) , 则 f(1)= .
x

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:首先根据函数的奇偶性,利用赋值法直接建立方程组就可求出结果. 解答: 解:f(x) ,g(x)分别是 R 上的奇函数和偶函数, 则:f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) 令 x=1 时,f(1)+g(1)=log23,① 令 x=﹣1 时, ,② ①﹣②得:2f(1)=1, 则:f(1)= . 故答案为: . 点评:本题考查的知识要点:奇函数和偶函数的性质的应用,赋值法的应用,及相关的运算 问题. 15.已知 a>0,若(x +1) (ax+1) 的展开式中各项系数的和为 1458,则该展开式中 x 项 的系数为 61 . 考点:二项式定理的应用. 专题:计算题;二项式定理. 2 分析:根据展开式中各项系数的和求出 a 的值,再由通项公式 Tr+1 求出展开式中 x 项的系 数. 2 6 解答: 解:根据题意,展开式中各项系数的和是(1 +1) (a+1) =1458, ∴a=2, (2x+1) 的通项公式是 Tr+1=
6 2 6 2



?(2x) ,

r

∴展开式中 x 项的系数是 1+

2

×4=61.

故答案为:61. 点评:本题考查了二项式定理的应用问题, 解题时应弄清二项式系数、 展开式中各项的系数 是什么,是基础题. 16.已知函数 y=f(x) (x∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ) ,在其图象上任取一点 P(x,y)都 满足方程 x ﹣4y =4. ①函数 y=f(x)一定具有奇偶性; ②函数 y=f(x)在(﹣∞,﹣2)是单调函数; ③?x0∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ,使 x<2f(x) ; ④?x∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ,使|x|>2f(x) ; 以上说法正确的序号是 ①②③④ . 考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据条件作出满足条件的函数图象, 同时作出渐近线方程 y=± x, 通过图象观察可得 函数的奇偶性和单调性即可判断①,②;再由双曲线的性质和图象,即可判断③,④. 2 2 解答: 解:满足方程 x ﹣4y =4 的函数图象为双曲线的一部分, 如图,函数 y=f(x)对应的图象为 2,4 象限部分的图象, 则此时 f(x)为奇函数,则①正确; 对于②,由图象可得函数 y=f(x)在(﹣∞,﹣2)是减函数, 则②正确; 对于③,由图可知③正确; 对于④,由于图象上任一点 P(x,y)满足方程 x ﹣4y =4, 则?x∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ,由图象可得|x|>2f(x) ,则④正确. 故答案为:①②③④.
2 2 2 2

点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断, 图象和渐近线的关系, 利用双曲线的图象 是解决本题的关键. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.5×12+10=70 分) 17.设函数 f(x)=lg(﹣x +5x﹣6)的定义域为 A,函数 g(x)= 域为 B. (Ⅰ)当 m=2 时,求 A∩B; (Ⅱ)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.
2

,x∈(0,m)的值

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;交集及其运算. 专题:集合. 分析: (Ⅰ)当 m=2 时,求出集合 A,B,即可求 A∩B; (Ⅱ)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,建立集合关系即可求实数 m 的取值范围 2 2 解答: 解: (Ⅰ)由﹣x +5x﹣6>0,即 x ﹣5x+6<0,解得 2<x<3,即 A=(2,3) , 当 m=2 时,g(x)= ,x∈(0,2)上为减函数,

∴ <g(x)< ,即 B=( , ) , 则 A∩B=(2, ) ; (Ⅱ)∵g(x)= ∴ ,x∈(0,m)上为减函数, , )

<g(x)< ,即 B=(

若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件, 则 B?A, 即 ,则 ,

即 0<m≤ , 故实数 m 的取值范围是(0, ]. 点评:本题主要考查函数的基本运算以及充分条件和必要条件的应用, 根据条件求出函数的 定义域和值域是解决本题的关键. 18.为了促进学生的全面发展,贵州某中学重视学生社团文化建设,2014 年该校某新生确 定争取进入曾获团中央表彰的“海济社”和“话剧社”.已知该同学通过考核选拨进入两个社团 成功与否相互独立,根据报名情况和他本人的才艺能力,两个社团都能进入的概率为 至少进入一个社团的概率为 ,并且进入“海济社”的概率小于进入“话剧社”的概率. (1)求该同学分别通过选拨进入“海济社”的概率 p1 和进入“话剧社”的概率 p2; (2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“海济社”的同学增加 1 个校本选修课学 分,对进入“话剧社”的同学增加 0.5 个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修 加分分数的分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. ,

分析: (1)仔细阅读题意得出有

求解即可.

(2)得出不等式 解相应的概率即可.

,确定 a>0 的取值有 0、0.5、1、1.5.分别求

解答: 解: (1)据题意,有

解得

(2)令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为 的取值有 0、0.5、1、1.5. P(ξ=0)=(1﹣ ) (1﹣ )= a|2x﹣1|﹣|x﹣1|≤3 ,

,则 a>0

﹣2x+1+x﹣1≤3,x≥﹣3 p

0

0.5 2x﹣1+x﹣1≤3

1 1.5

所以 x≥1 的数学期望为:2x﹣1﹣x+1≤3. 点评:本题考查了综合运用离散型的概率分布知识求解问题, 关键是准确求解概率, 列出分 布列,得出相应的数学期望,也可以转化为不等式求解,综合性较强 19.如图,正方形 ABCD 所在平面与等腰三角形 EAD 所在平面相交于 AD,EA=ED,AE⊥ 平面 CDE. (1)求证:AB⊥平面 ADE; (2)设 M 是线段 BE 上一点,当直线 AM 与平面 EAD 所成角的正弦值为 点 M 的位置. 时,试确定

考点:直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)证明 AE⊥CD,推出 CD⊥平面 ADE.利用直线与平面垂直的判定定理证明 AB⊥平面 ADE. (2)由取 AD 中点 O,取 BC 中点 F,连接 EO、OF.以 OA、OF、OE 分别为 x、y、z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=2,推出 ,设 AM 与平面 EAD 所成角为 θ,利 ,求解即可.

用平面 EAD 的一法向量,直线 AM 与平面 EAD 所成角的正弦值为

解答: (1)证明:∵AE⊥平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴AE⊥CD. (2 分) 在正方形 ABCD 中,CD⊥AD, ∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面 ADE. ∵AB∥CD,∴AB⊥平面 ADE. (4 分) (2)解:由(1)得平面 EAD⊥平面 ABCD,取 AD 中点 O,取 BC 中点 F,连接 EO、OF. ∵EA=ED,∴EO⊥AD, ∴EO⊥平面 ABCD. (5 分) 以 OA、OF、OE 分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

不妨设 AB=2,则 A(1,0,0) ,B(1,2,0) ,E(0,0,1) . (6 分) 设 M(x,y,z) . ∴ =(x﹣1,y﹣2,z) , =(﹣1,﹣2,1) =λ ,

∵B,M,E 三点共线,设 ∴M(1﹣λ,2﹣2λ,λ) , ∴

=(﹣λ,2﹣2λ,λ) . (8 分)

设 AM 与平面 EAD 所成角为 θ,∵平面 EAD 的一法向量为 =(0,1,0) , (9 分) ∴sinθ= ,∵直线 AM 与平面 EAD 所成角的正弦值为 ,

可得:



解得 λ= 或 λ=﹣1(舍去) , (11 分)

∴点 M 为线段 BE 上靠近 B 的三等分点. (12 分) 点评:本题考查直线与平面垂直, 直线与平面所成角的求法, 考查空间想象能力以及计算能 力.

20.已知椭圆

=1(a>b>0)的右焦点为 F2(1,0) ,点 H(2,

)在椭圆上.

(I)求椭圆的方程; 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)点 M 在圆 x +y =b 上,且 M 在第一象限,过 M 作圆 x +y =b 的切线交椭圆于 P, Q 两点,求证:△ PF2Q 的周长是定值.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)利用椭圆的定义及其性质即可得出; (II)方法 1:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,利用两点之间的距离公式与 , 再利用切线的性质可得|PM|= , 可得 ,可得 ,

同理|QF2|+|QM|=3,即可证明; 方法 2:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,设 PQ 的方程为 y=kx+m(k<0,m>0) ,与椭圆的方 2 2 程联立可得根与系数的关系,利用弦长公式可得|PQ,利用 PQ 与圆 x +y =8 相切的性质可 得 ,得到 ,利用两点之间的距离公式可得 ,

同理可得

,即可证明.

解答: (I)解:根据已知,椭圆的左右焦点为分别是 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,c=1, ∵ 在椭圆上,

∴ ∴a=3,b =a ﹣c =8, 椭圆的方程是 ;
2 2 2



(II)证明:方法 1:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则 ,



∵0<x1<3,∴ 在圆中,M 是切点, ∴ ∴



, ,

同理|QF2|+|QM|=3, ∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6, 因此△ PF2Q 的周长是定值 6. 方法 2:设 PQ 的方程为 y=kx+m(k<0,m>0) ,
2 2 2



,得(8+9k )x +18kmx+9m ﹣72=0

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则 , ,



=

=

= ∵PQ 与圆 x +y =8 相切, ∴ ,即 ,
2 2







∵ ∵0<x1<3, ∴ ,



同理







因此△ PF2Q 的周长是定值 6. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根 与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题,考查了推理 能力与计算能力,属于难题. 21.已知 x=1 是函数 f(x)=1+(1﹣x)ln(kx)的极值点,e 自然对数底数. (Ⅰ)求 k 值,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)是否存在 m∈(1,+∞) ,使得当 a>m 时,不等式(a+x)ln(a+x)<ae lna 对任意 正实数 x 都成立?请说明理由. 考点:利用导数研究函数的极值. 专题:计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (I)求导 数的正负确定函数的单调性; (II)不等式(a+x)ln(a+x)<ae lna 可以化为
x x

,从而令 f′(1)=0 解得 k=1;从而由导

,设

,则 h(a+x)<h(a) ,即判断是否存在 m∈(1,+∞) ,使 h(x)在(m,+∞)

是减函数,从而求导 调性.从而说明 m 值存在. 解答: 解: (I) ,

,由导数的正负确定函数的单

由题意 f′(1)=0,得 k=1; 此时 f(x)=1+(1﹣x)lnx,定义域是(0,+∞) , 令 , ∵g′(x)<0, ∴g(x)在(0,+∞)是减函数,且 g(1)=0, 因此当 x∈(0,1)时,f′(x)=g(x)>0, 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)=g(x)<0, ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数; (II)不等式(a+x)ln(a+x)<ae lna 可以化为
x







,则 h(a+x)<h(a) ,

即判断是否存在 m∈(1,+∞) ,使 h(x)在(m,+∞)是减函数, ∵ ,



,f(1)=1>0,f(e)=2﹣e<0,

∴h′(x)在(0,1)和(1,+∞)上各有一个零点,分别设为 x1 和 x2,列表: x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) h'(x) ﹣ 0 + 0 ﹣ h(x) ↓ 极小 ↑ 极大 ↓ ∴h(x)在(x1,x2)是增函数,在(x2,+∞)是减函数, ∵x2∈(1,+∞) , ∴存在这样的 m 值,且 m=x2. 点评:本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,注意“当 a>m 时,不等式 h(a+x)<h (a) 对任意正实数 x 都成立”这句话符合必修 1 中函数单调性定义, 证明 h (x) 在 (m, +∞) 是减函数即可,属于中档题. 请考生从第(22) 、 (23)两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 22.在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣4
2



(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)若点 P(x,y)在曲线 C 上,求 x+y 的最大值和最小值. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)直接根据极坐标和直角坐标方程互化公式求解得到其直角坐标方程,然后, 再将其化为参数方程即可, (Ⅱ)依据曲线 C 的参数方程,可以设该点 P 的三角形式,然后,借助于三角函数的最值 求解. 2 解答: 解: (I)C 的极坐标方程化为 ρ ﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0, 2 2 ∴C 的直角坐标方程是 x +y ﹣4x﹣4y+6=0, 即(x﹣2) +(y﹣2) =2,C 的参数方程是 (II)∵点 P(x,y)在曲线 C 上, 由 (φ 是参数)得到
2 2

,φ 是参数;…(5 分)

, ∴x+y 的最大值是 6,最小值是 2.…(10 分) 点评:本题重点考查极坐标方程和直角坐标方程、 参数方程的互化、 三角函数的最值等知识, 属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 2015?哈尔滨校级一模)已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2 (Ⅰ)解不等式 f(x)≥0 (Ⅱ)若存在实数 x,使得 f(x)≤|x|+a,求实数 a 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)化简函数的解析式,分类讨论,求得不等式的解集. (Ⅱ) 不等式即|x+ |﹣|x|≤ +1①, 由题意可得, 不等式①有解. 根据绝对值的意义可得|x+ | ﹣|x|∈[﹣ , ],故有 +1≥﹣ ,由此求得 a 的范围.

解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2=



当 x<﹣ 时,由﹣x﹣3≥0,可得 x≤﹣3. 当﹣ ≤x<0 时,由 3x﹣1≥0,求得 x∈?. 当 x≥0 时,由 x﹣1≥0,求得 x≥1. 综上可得,不等式的解集为{x|x≤﹣3 或 x≥1}. (Ⅱ)f(x)≤|x|+a,即|x+ |﹣|x|≤ +1①,由题意可得,不等式①有解. 由于|x+ |﹣|x|表示数轴上的 x 对应点到﹣ 对应点的距离减去它到原点的距离,故|x+ |﹣ |x|∈[﹣ , ], 故有 +1≥﹣ ,求得 a≥﹣3. 点评:本题主要考查绝对值的意义, 绝对值不等式的解法, 函数的能成立问题, 体现了转化、 分类讨论的数学思想,属于基础题.


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