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高中数学竞赛专题讲座---复数






专题一 复数与数列 复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握.
例 1 设数列 z1 , z 2 ,?, z n ,? 是首项为 48,公比为 (1)求 z 4 . (2)将这个数列中的实数项,不改变原来的次序,从首项开始,排成 a1 , a2 ,?, an ,?,试求 a3 . (3)求无穷级数 a1 ? a2

? ? ? an ? ?的和. 解: (1) r ?

1 ( 6 ? 2i ) 的等比复数列. 4

1 1 ? ? ( 6 ? 2i) ? (cos ? i sin ) . z 4 ? 48r 3 ? 12 2i . 4 6 6 2
6

(2)使 r 为实数的最小自然数是 6,数列 a1 , a2 ,?, an ,?是首项为 48,公比为 r 的等比数列.所以

a3 ?

3 . 4
6

(3)这个级数是公比 ? r ? ?

1 的无穷等比级数,从而和 ? 8

48 1 1 ? (? ) 8

?

128 . 3

例 2 今定义复数列 a1 , a2 ,?, an ,?如下, a1 ? 1 ? i, a2 ? 1 ? 3i, an?1 ? a1 ? kan ( n ? 2) , k 为正 的常数.问复数 an 的辐角的正切与哪一个值最接近?(当 n ? ? 时) 分析:寻求 an 的一般式,再注意取极限的方法以及相关讨论. 解: a n ?1 的辐角记作 ? , an?1 ? a1 ? kan ? a1 (1 ? k ? ? ? k n?2 ) ? k n?1a2 . (1)当 k ? 1 时, an?1 ? (n ? 1)a1 ? a2 ? n ? (n ? 1 ? 3)i ,所以 tan? ? (2)当 k ? 1 时, a n ?1 ?

n ?1? 3 ? 1(n ? ?) . n

a1 (1 ? k n ?1 ) 1 ? k n 1 ? ( 3 ? 1)k n?1 ? 3k n ? k n ?1 a 2 ? ? 1? k 1? k 1? k

? 3k ? 3 ? 1 1 ? ( 3 ? 1)k n?1 ? 3k n (k ? 1) ? ∴ tan? ? ?? (n ? ?) . k n 1? k ?1 (0 ? k ? 1) ?
例 3 (1)设在复数列 z 0 , z1 ,?, z n ,? 之间有如下关系: z n?1 ? z n ? ? ( z n ? z n?1 )(n ? 1,2,3,?) ,其 中 ? (? ? 1) 是常复数.当 z0 ? 0, z1 ? 1 时,试将 z n 的值用 ? 表示. (2)若(1)中的 ? ? 1? 3i ,求在圆 | z |? 10 ( z 是复数)的内部总共含有 z n 的个数. 解: (1)z 2 ? z1 ? ? ( z1 ? z 0 ) ? ? , z3 ? z 2 ? ? ( z 2 ? z1 ) ? ? …… z n ? z n?1 ? ? ( z n?1 ? z n?2 ) ? ?
2 n?1

1?? n 于是,从 ? ? 1 得, z n ? . 1??
1

(2) ? ? 1 ? 3i ? 2(cos

?
3

? i sin

?
3

) ,所以 ? n ? 2 n (cos

n? n? ? i sin ) ,要使 z n 在圆 | z |? 10 的内 3 3 1 (1 ? 2 n ?1 o c s 3 n? ? 2 2n ) , 3

部, 它的充分必要条件是 z ? 10, , | z n |2 ? 100. z n ? z n ? 1 , z n ? z n ? ∴ 即 0 而 0 ∴ (1 ? 2

1 3

n ?1

cos

n? n? ? 2 2 n ) ? 100 .又 1 ? 2 n ?1 cos ? 2 2 n ? 1 ? 2 n?1 ? 2 2n ? (1 ? 2 n ) 2 , 3 3

能适合 (1 ? 2 n ) 2 ? 300的 n 只是 0,1,2,3,4 .在逐个验证这五个点确信都在圆 | z |? 10 的内部,故符合条件 的点共有 5 个. 例 4 设平面上有点 P0 , P ,?,如图所示,其中,线段 OP , P0 P , P P2 ,?,的长成首项为 1,公比为 1 0 1 1

r 的等比数列.
(1)若 0 ? r ? 1 ,则当 n ? ? 时, Pn 与哪一点无限接近?

y

?P
P? 0

2

1 (2)将(1)中的极限点用 Q 表示.若固定 r ? 而 ? 变动时,点 Q 所 2
描述的是怎样的曲线?

? P1

O

x

解: (1)? ? r (cos? ? i sin ? ) ,此时,若将表示点 Pn 的复数记作 z n ,则有 z n ? z n?1 ? ? n ,其中 z ?1 就是原点 O .于是 z n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 n

1 ? ? n?1 1 | ? n?1 | r n?1 (? ? 1) . | z n ? , |? ? 1? ? 1? ? |1? ? | |1? ? |

因此,若 0 ? r ? 1 ,令 n ? ? ,则 | z n ? (2) z ?

1 1 |? 0 , z n 所表示的点与 所表示的点最靠近. 1?? 1??

1 z ?1 1 ,则有 ? ? , r ? 固定, ? 做变动,点 ? 总在以原点为圆心的圆周上.但因 1?? z 2

| ? |?

1 1 1 4 |z| ? 2 .于是当点 ? 在以原点为中心, 为半径的圆上,点 ,故有 相应的在以点 为 2 2 1?? 3 | z ?1|
2 为半径的圆上. 3

圆心,

例 5 设在复平面上: (1)原点为 O ,表示复数 Z 的点为 A ,点 B 由 | AB |? k | OA | , AB, OA 的交角为 ? 所确定。试求 表示点 B 的复数。这里 k 是实数。 (2)点列 A0 , A1 , A2 ,?, An ,? 由下述方式确定: A0 取 (0,0) , A1 取

y

B (? )

(1,0) , An?1 (n ? 1,2,3,?) 由 | An An?1 |? 2 | An?1 An | ,以及 An An?1 , An?1 An 的
夹角 ? 所定义。试求被表示为 An 复数 z n 。 (3)若(2)中, ? ? 简。

C (? ? z ) ? A(z ) ?
O

x

?
2

,且记 S1 ? z1 ? z3 ? ? ? z 2n?1 , S 2 ? z 2 ? z 4 ? ? ? z 2n ,将 2S1 ? iS 2 化

2

解: (1)将表示 B 的复数记作 ? ,则对有关系 OC ? AB 的点 C 表示为复数,就是 ? ? z ,从而

? ? z ? kz(cos? ? i sin ? ) ,所以 ? ? [(1 ? k cos? ) ? ik sin ? ]z 。
(2) An?1 An ? OP, An An?1 ? OQ 所表示的点 P, Q ,则用复数分别表示为 z n ? z n?1 , z n?1 ? z n 。由

?POQ ? ? , 推 出 zn?1 ? zn ? 2 ( z n ? z n?1 ) ( c o s i s i n ) , 因 此 , 数 列 {z n ? z n?1} 是 首 项 为 ?? ?

z1 ? z0 ? 1 ? 0 ? 1 ,公比为 2(cos? ? i sin ? ) 的等比数列。所以 zn ? zn?1 ? 2 n?1 (cos? ? i sin ? ) n?1 ( n 是
正整数) 。所以 z n ?

1 ? 2 n (cosn? ? i sin n? ) 。 1 ? 2(cos? ? i sin ? ) (3)数列 {z 2k ?1},{z 2k } 仍为等比数列,故可求得 2S1 ? iS 2 ? ni 。 专题二 复数与几何

1. 有关轨迹问题: 例 1 已知一圆 B 及圆外一点 A,在圆上任取一点 Q,以 AQ 为边按逆时针作正三角形 AQP,求点 P 的 轨迹. y 解: 如图: 建立复平面, AB ? a , B 半径为 r .P、 分别对应复数为 z, z1 , 设 圆 Q C z ? ? ? 则 z1 ? a ? r .令 z 0 ? cos ? i sin ,? ?QAP ? ,? z ? z1 ? z0, z1 ? .

3

3

3

z0



z ? a ? r ,? z ? az0 ? r z0 ? r .故点 P 的轨迹是圆,圆心对应的复数 z0

oA

x

为 az0 ,即

a 3a ? i ,半径为 r . 2 2 例 2 已知复数 z1 , z 2 , z1 ? z 2 在复平面上分别对应点 A、B、C,O 为复平面的原点.
(1) 若 z1 ?

3 1 ? i ,向量 OA 逆时针旋转 90? ,模变为原来的 2 倍后与向量 OC 重合,求 z2 ; 2 2 (2)若 z1 ? z 2 ? 2( z1 ? z 2 ) ,试判断四边形 OACB 的形状. 解:向量 OA 逆时针旋转 90? ,模变为原来的 2 倍所得的向量对应的复数为 z1 ? 2i ,而 OC 对应的复
数为 z1 ? z 2 ,故 z1 ? z 2 = z1 ? 2i .故 z 2 ? z1 ( ?1 ? 2i ) ? ( 整理可得: z 2 ? ?

3 1 ? i )(?1 ? 2i ) 2 2

2? 3 2 3 ?1 ? i. 2 2 (2) ? z1 ? z 2 ? 2( z1 ? z 2 ) , BA ? OC .又? 四边形 OACB 为平行四边形,? 四边形 OACB 为菱形.

2. 复数的模与辐角 求复数的辐角主值常有两种方法: (1) 利用复数的三角式,应用三角函数的知识求解. (2) 根据复数的几何意义,将问题转化为几何问题求解. 例 3 设复数 z 满足 z ? 1 ,求复数 z ? 2 的辐角主值的最大值与最小值。

? 解:? z ? 1 ? 可设 z ? cos? ? i si n (0 ? ? ? 2? ) ,? z ? 2 ? cos ? ? 2 ? i sin? .设 arg(z ? 2) ? a ,

? 由于 cos? ? 2 ? 0,?1 ? sin ? 1, 故

?

2 sin? , 则可先求出 y 的最值。由 y cos? ? 2 y ? sin? , sin? ? y cos? ? ?2 y, 令 y ? tga ? cos ? ? 2

?a?

3? . 2

2 2 得 1 ? y sin(? ? ? ) ? ?2 y(其中tg? ? y ) ,? sin( ? ? ) ? 1 ,? ? 2 y ? 1 ? y , ?

3

即 4 y 2 ? 1 ? y 2 ,?

5? 7? 3 3 3 3 , arg( z ? 2) max ? ,故 arg( z ? 2) min ? . ? y? , ?? ? tga ? 6 6 3 3 3 3 方法二:由 z ? 1 ,知 z 对应的点 Z 在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,设 A(2,0) ,根据复数减法的几何意义,
y Z o Z
1

复数 z ? 2 对应的向量是 AZ .(如图) , 当射线 AZ 是圆 O 的切线时, z ? 2 对应的向量分别为 AZ1和AZ 2 ,其中

Z1,Z2 为切点.连接 OZ1,则 OZ1 ? AZ1 ,可知 ?OAZ1 为直角三角形.

A x

5? 7? Z , arg( z ? 2) max ? 由 OZ1 ? 1, OA ? 2 ,故 arg( z ? 2) min ? 6 6 2 例 4 设 A ? z z ? 2 ? 1 ? ?z z ? 1? z ? C , 求 A 中辐角主值最大的复数 z . ,

?

?

解:? 满 足 z ? 2 ? 1 的点在以 (? 2 ,0) 为圆心,以 1 为半径的圆内(包括圆周) ,满足 z ? 1 的点 在单位圆内, (包括圆周) ? A 对应如图两圆共同部分 .? A 中辐角主值最大的复数 P 点对应的复数 ,

z ? cos

5? 5? 2 2 ? i si n ? ? ? i 4 4 2 2 例 5 若 z1 , z 2 ? c ,求证: z1 ? z2 ? 1 ? z1 ? z2 成立的充分必要条件是 z1 、2 中至少有一个是 1. z
2

证:必要性:? z1 ? z 2
1 2 1 2 1 2

? 1 ? z1 ? z 2 ,? z1 ? z2 ? 1 ? z1 ? z2 ,故有
1 2

2

2

?z ? z ?? ?z ? z ?? ?1 ? z ? z ?? ?1 ? z ? z ?.根据互为共轭的复数间关系有: ?z ? z ??z ? z ? ? (1 ? z ? z )(1 ? z ? z ) .化简整理得: z ? z ? z ? z ? 1 ? z z
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2

? z1 ? z 2 ? 1 ? z1 ? z 2 ,? z1 ? 1 z 2 ? 1 ? 0 ,? z1 、 z 2 至少有一个为 1 。
充分性:以上过程均可逆。

?

1

2

2

??

2

?

1

1

2

2

1 2

? z1 ? z2

? 结论成立。
常用到的与复数的模相关的结论: (1) z ? z ?| z | 2 ?| z | 2 (3) | (2)| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 |

?| z n |?| z |n (n ? N )

z1 | z1 | |? ( z 2 ? 0) z2 | z2 |

(4) || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | .

(5) ? | z |? a ?| z |,? | z |? b ?| z | ( z ? a ? bi) , | z1 ? z 2 | 2 ? | z1 ? z 2 | 2 ? 2 | z1 | 2 ?2 | z 2 | 2 . 例 6 某草场上有宝.取宝法如下:该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树, 记住步数,向右拐 90 走同样多步打个桩.然后回到绞架那里,再走到松树,记住步数,向左拐 90 走同样 多步,又打一个桩.在这两个桩正中挖掘,可以得宝。年久日长,草场上绞架已经风化,渺无踪迹,但是 橡、松二树犹存.问应如何取宝. 解:取草场为复平面,以两棵树所在的直线为实轴,以两棵树连线的中点 为原点 O,建立如图所示的坐标系,设 A、B 为橡、松二树,其坐标分别为 (-1,0)(1,0). 令点 Z 表示绞架,Z1、Z2、Z0 分别表示第一个桩、第二个 , 桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为 z,z1,z2,z0. A O B X Z
1
? ?

y Z Z
2

由复数减法的几何意义,知 AZ1 对应的复数为 z1 ? 1 ; BZ1 对应的复数为 z2 ? 1 .依照乘法的几
4

何几何意义,知 AZ1 可由 AZ 逆时针旋转 90 得到. z1 ? 1 ? ( z ? 1)i ,即 z1 ? ?1 ? ( z ? 1)i 同理, z 2 ? 1 ? ( z ? 1)i ,其中点 Z0 对应的复数为 z 0 ? 在哪儿,宝的位置总对应虚轴上相应于复数为

?

z1 ? z 2 ? i .即 Z0 为虚轴上的点 i .∴不论绞架位置 2
?

的那一点,故宝可取.

例 7 某人在宽大的大草原上自由漫步,突发如下想法:向某一方向走 1km 后向左转 30 ,后向前 走 1km 后向左转 30 ,如此下去,能回到出发点吗? 解:以出发点作为坐标原点 O,走第一个 1km 时所沿的直线作为 Ox 轴, 建立如图所示的复平面. ∴第一个 1km 的终点 A 对应的复数是 1,第二个 1km 的终点 B 对应的复数是
? ? ? ? ? ? ? ? ?

Y B O 3 A0
.

C 3 0
.

X
?

1+( cos30 ? i sin30 ), 第三个 1km 的终点 C 对应的复数是 1+( cos30 ? i sin 30 )+( cos 60 ? i sin60 ). 如此下去,走第 n 个 1km 时所达到的点对应的复数是 1+( cos30 ? i sin30 )+( cos 60 ? i sin 60 )
? ? + ? ? cos(n ? 1)30 ? i sin(n ? 1)30 ,即 1+( cos30 ? i sin 30 )+( cos 30 ? i sin30 ) +
2

?

?

?

?

?

? ? (cos30? ? i sin30? )n?1 =

1 ? (cosn30? ? i sin 30? ) 当 n =12 时, 上述复数为 0, 即可回到出发点。 1 ? (cos30? ? i sin 30? ) 专题三 复数与方程

1. n 次方程一定有 n 个复数根. 例 1 求 z ? 1 的根.
n

n 解:设 z ? r (cos? ? i sin ? ) ,根据隶莫佛定理, r (cosn? ? i sin n? ) ? 1 ,从而方程的根

是 cos

2? 2? ? i sin ( n ? 0,1,2,3,? ) . n n 2? 增加,由此可见,这 n 个根均位于单位圆上把圆周作了 n n

注:这 n 个根的模都等于 1,它的辐角按 等分.

例 2 设在 1 的立方根中,记其中不等于 1 的一个根为 ? ,问 ? ? ? ? 1 的值是多少?再问,当 n 是
2

整数时, ?

3n

? 1 的值是多少?
2 3n

3 2 解: x ? 1 ? ( x ? 1)(x ? x ? 1) ? 0 ,于是 ? ? ? ? 1 ? 0 . ?

?1 ? 2 .

例 3 (1)设 ? 是 1 的 5 次方根( ? 1 ) ,当 ? ? ? ?

1

?

时,求 ? ? ? 的值.
2

(2)以原点位中心,以 (1,0) 为顶点作五边形.求与 (1,0) 相邻的两个顶点的 x 坐标 ? 的值. (3)试构造一个以 2? ? ? ? ? 为一个根的整系数二次方程.
3 2
2 解: (1) ? ? ? ? (? ?

1

?

)2 ? ? ?

1

?

? ?2 ? 2 ?

1

?

2

?? ?

1

?

?

1

?

2

(? 4 ? ? 3 ? ? 2 ? ? ? 1) ? 1 ,
5

4 3 2 又 ? ? 1 ,故有 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?

?5 ?1 ? 0 ,所以 ? 2 ? ? ? 1 . ? ?1
2? 2? ? i sin , 5 5

(2)今将复平面作为给定的坐标平面,此时画出五边形. ? ? cos

?4 ?

2? 2? 2? ?5 1 4 ? i sin ? ? cos , ? 及 ? 是点 (1,0) 的相邻两顶点,他们的横坐标都是 cos ,于是 5 5 5 ? ?

有? ?

1

?

? ? ? ? 4 ? 2 cos

2? 1 ? 1? 5 2 ? 2? ,而由(1) ? ? ? ? , 得到 ? ? ? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? 5 ? 2

(舍) ? ? ,

5 ?1 . 4 5 ?1 ,即 4? ? 1 ? 5 ,两边平方,16? 2 ? 8? ? 1 ? 5 ,所以 4? 2 ? 2? ? 1 ? 0 4
(1)

(3) ? ?

2? 3 ? ? 2 ? ? ? x

(2) (1) ? ? ? (2) ? 2 , 4? 2 ? ? ? ?2 x ,所以 4? 2 ? ?? ? 2 x ,将此式
2

代入(1) ,有 4(2 x ? 1) 2 ? 2(2 x ? 1) ? 1 ? 0 ,于是有 16x ? 20x ? 5 ? 0 . 根的存在性问题的判断的问题,有些实数范围内的结论仍可以应用到复数范围内. 例 4 设关于 x 的方程 2 x ? 3ax ? a ? a ? 0 至少有一个模等于 1 的根,确定实数 a 的值.
2 2

解: 2 x ? 3ax ? a ? a ? 0 .
2 2

(1) (2)

2 2 2 (1)实根的情形: D ? 9a ? 8(a ? a) ? a ? 8a ? 0 ,所以 a ? 0 或 a ? ?8

2 2 将 x ? 1 代入(1)式, 2 ? 3a ? a ? a ? 0 ,所以 a ? 2a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?1 ? i ,因为 a 是实数,所 2 以不符合条件.其次,用 x ? ?1 代入(1)整理后有 a ? 4a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 ? 2 ,这是实数,且

在(2)的范围内,故适合题中条件. (2)虚根的情形: D ? 9a ? 8(a ? a) ? a ? 8a ? 0 ,所以, ? 8 ? a ? 0 .解(1)有,
2 2 2

x?

? 3a ? ? a 2 ? 8ai ? 3a 2 ? a 2 ? 8a 2 a2 , 为使它的模等于 1, 只须 ( 整理后, ? a ? 2 ? 0 , ) ?( ) ? 1, 4 4 4

∴ a ? 2 (舍)或 a ? ?1 . 综上,满足条件的 a 为 2 ? 2 ,?1 . 判断根的个数的问题,可以当解方程有困难时,可以调用不等式,函数单调性等手段来处理问题.
6

例 5 试求满足 z 3 ? 2 | z | ?1 ? 0 非实数的复数 z 的个数.式中 z ? x ? yi( x, y 为实数时 ) . 分析:根据 x ? yi 作为根的条件,求出 x, y 的关系式,由此对单变数 x 的函数求导,再求根. 解:满足 z 3 ? 2 | z | ?1 ? 0 (1)的非实数的复数记为: z ? x ? yi( x, y 为实数时, y ? 0 ) ,代入

3 2 2 3 2 2 2 2 3 原方程, ( x ? yi ) ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,所以 ( x ? 3 xy ? 2 x ? y ? 1) ? i (3 x y ? y ) ? 0 ,

∴?

? x 3 ? 3xy 2 ? 2 x 2 ? y 2 ? 1 ? 0 ? ?3x 2 y ? y 3 ? 0 ?

y ? 0 ,由(3) 3x 2 ? y 2 ,将它代入 ( 2) ,有 8x 3 ? 4 | x | ?1 ? 0 .从而,如果 x ? 0 ,则由(4) y ? 0 这 , ,
不合题意,为此 x ? 0 ,
3 (1) x ? 0 时, 当 可化为 8 x ? 4 x ? 1 ? 0 , 6) ( 等式左边看成是关于 x 的函数求导数得 4(6 x 2 ? 1) ? 0 ,

这表明方程左侧关于 x 的函数是增函数,又 f (0) ? ?1 ? 0 , lim f ( x) ? ?? .可以推知,方程(6)只有
x ??

一个正根,在此,由 ( 4) 可确定两个复数.
3 (2) x ? 0 时, (5) 式可化为 8 x ? 4 x ? 1 ? 0 , (7)所以 (2x ? 1)(4x 2 ? 2x ? 1) ? 0 ,从而, (7)

式可以取两个负根: ?

1 1? 5 .这两个值对应于(4)可确定 4 个复数. , 2 4

综上,满足(1)的非实复数共有 6 个.

7


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