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判定向量组线性相关性的若干方法


判定向量组线性相关性的若干方法 摘要:向量组线性相关性的判定是线性代数中的一类重要问题, 方法多而灵活,本文介绍介绍了判定向量组线性相关性的一些常用 的方法。 关键词:向量组;线性相关性;判定 中图分类号: g718.5 文献标志码: 文章编号: b 1674-9324 (2013) 19-0167-02 向量组线性相关性的判定通常有定义法、相关定理或结论、初等 变换法(求秩法) 、行列式法等,对于具体题目,有如下方法。 一、对向量坐标已知的向量组 设向量组为α 1=[a11,a12,…,a1n,],α 2=[a21,a22,…, a2n,],……α s=[as1,as2,…,asn]. 要判断其相关性,分以下两种情形: 1.当向量个数=向量维数,即 s=n 时,设 a=[α 1,α 2,…,α s]t. (1)行列式法 计算|a|,若|a|=0,则向量组α 1,α 2,…,α s 线性相关;若|a| ≠0,则向量组α 1,α 2,…,α s 线性无关。 (2)初等变换法(求秩法) 将向量α 1,α 2,…,α s 组排成矩阵 a,即 a=[α 1,α 2,…, α s]t(若α i 是列向量时,将其排成列,构成矩阵 a,即 a=[α 1, α 2,…,α s]) ,再求矩阵 a 的秩.具体地,若 r(a)<s,则向量 组α 1, 2, α s 线性相关; r α …, 若 (a) 则向量组α 1, 2, <s, α …, α s 线性无关。 以上情形很简单,不再举例。 2.当向量个数向量维数,即 s≠n 时,只须初等变换法(求秩法) 即可。 例 1 判断下列向量组是否线性相关。 (1)α 1=[2,0,0],α 2=[0,2,1],α 3=[1,1,1],α 4=[-1, 2,0] (2)β 1=[1,2,-1,0],β 2=[2,-3,1,3],β 3=[4,1,-1, 7]. 解: (1)a= 2 0 0 0 2 1 1 1 1-1 2 0→1 0 00 1 10 0 10 0 0, 可见 r(a)=3<4. 所以,向量组α 1,α 2,α 3,α 4 线性相关。 (2)b=1 2 -1 22 -3 1 34 1 -1 7→1 2 -1 20 1 -3/7 3/70 0 0 0,可见 r(b)=2<3. 所以,向量组β 1,β 2,β 3 线性相关。 注:由于向量组的秩不会超过向量组中向量的维数,所以有如下 结论:一个向量组,当其向量的维数小于向量的个数时,该向量组 一定线性相关.本例的(1)题就是这种情形.而当其向量的维数大 于向量的个数时,情况就比较复杂,要用初等变换法(求秩法) , 如本例的(2)题。 二、当向量坐标为未知时 此时用定义进行判断.从等式 k1α 1+k2α 2+…ksα s=0 出发,解出 k1,k2,…,ks,若 k1=k2=…=ks=0,则向量组α 1,α 2,…,α s 线性无关;若 k1,k2,…,ks 不全为 0,则向量组α 1,α 2,…, α s 线性相关。 例 2?摇 设向量组α 1,α 2,…,α s 线性无关,β 1=α 1-α 2+2 α 3,β 2=α 2-α 3,β 3=2α 1-α 2+3α 3,判断向量组β 1,β 2, β 3 的线性相关性。 解:用定义法.设存在数 k1,k2,…,ks,使 k1β 1+,k2β 2+k3 β 3=0, 将β 1,β 2,β 3 代入并整理得 (k1+2k3)α 1+(-k1+k2-k3)α 2+(2k1-k2+3k3)α 3=0. 由α 1-α

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