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2014届高考数学一轮复习检测《幂函数与二次函数》


幂函数与二次函数
【选题明细表】 知识点、方法 二次函数的解析式 二次函数的图象与性质 幂函数的图象与性质 综合问题 一、选择题 1.(2012 山东烟台模拟)幂函数 y=f(x)的图象经过点 (A)1 (B)2
α

题号 7、12 2、3、4、6、8、10 1、5、9 11、12

,则 f

的值为( B

)

(C)3
α

(D)4 ,于是 f = D ) =2.故选 B.

解析:设 f(x)=x ,则 4 = ,α =- ,即 f(x)=
2

2.设 abc<0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象不可能是(

解析:由 abc< 0 知,a、b、c 的符号同负或两正一负,f(0)=c, ①当 c>0 时,ab<0, 对称轴 x=- >0,图象可能为选项 B. ②当 c<0 时,ab>0, 对称轴 x=- <0,图象可能为选项 A、C, 图象不可能为选项 D. 故选 D. 2 3.如果函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么( A ) (A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4) (C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1) 解析:∵f(2+t)=f(2-t), ∴f(x)关于 x=2 对称,又开口向上. ∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且 f(1)=f(3).
1

∴f(2)<f(3)<f(4), 即 f(2)<f(1)<f(4),故选 A. 2 4.函数 f(x)=ax +(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数 a 的取值范围是( (A)[-3,0) (B)(-∞,-3] (C)[-2,0] (D)[-3,0] 解析:当 a=0 时,f(x)=-3x+1 在[-1,+∞)上递减, 故 a=0 时满足题意. 当 a≠0 时,要使 f(x)在[-1,+∞)上是减函数, 则有

D )

解得-3≤a<0. 综上可知 a 的取值范围是[-3,0]. 故选 D. 5.(2013 乐山市第一次调研考试)下图给出四个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是 ( B )

(A)①y= ,②y=x ,③y= ,④y=x

2

-1

(B)①y=x ,②y=x ,③y= ,④y=x

3

2

-1

( C)①y=x ,②y=x ,③y= ,④y=x

2

3

-1

(D)①y= ,②y= ,③y=x ,④y=x

2

-1

解析:根据 4 个函数图象的特征,可对②④作出简单判断,分别为 y=x ,y=x ,排除选项 C,D;比 较选项 A,B 可得选项 B 正确. 2 6.(2012 惠州市 高三调研)已知函数 f(x)=ax +2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( B ) (A)f(x1)=f(x2) (B)f(x1)<f(x2) (C)f(x1)>f(x2) (D)f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 解析:函数的对称轴为 x=-1, 设 x0= ,

2

-1

2

由 0<a<3 得到-1<

< ,

又 x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断, 故选 B. 二、填空题 7.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为 2 解析:依题意可设 f(x)=a(x-2) -1, 又其图象过点(0,1), ∴4a-1=1,∴a= .

.

∴f(x)= (x-2) -1.

2

答案:f(x)= (x-2) -1

2

8.已知函数 y=

的值域是[0,+∞),则实数 m 的取值范围是

.

解析:当 m=0 时,y=

,显然成立.

当 m≠0 时,要使 y∈[0,+∞),只要 解得 0<m≤1 或 m≥9. 综上 m 的取值范围是[0,1]∪[9,+∞). 答案:[0,1]∪[9,+∞) 9.已知函数 f(x)= ,给出下列命题: ①若 x>1,则 f(x)>1;②若 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)>x2-x1;③若 0<x1<x2,则 x2f(x1)<x1 f(x2);④ 若 0<x1<x2,则 <f . .

则所有正确命题的序号是

解析:对于①,f(x)= 是增函数,f(1)=1,当 x>1 时,f(x)>1,①正确;

对于②,

>1,可举例(1,1),(4,2),故②错误;

3

对于③, 误; 对于④,

<

,说明图象上两点 x 1,x2 到原点连线的斜率越来越大,由图象可知,③错

<f

,根据图象可判断出④正确.

答案:①④ 三、解答题 2 10.(2012 河南南阳高中月考)求二次函数 f(x)=x +2ax+3 在区间[1,2]上的最小值. 2 2 2 解:f(x)=x +2ax +3=(x+a) +3-a , 当-a>2,即 a<-2 时, 函数在区间[1,2]上为减函数, 故此时最小值为 f(2)=4a+7; 当 1≤-a≤2, 即-2≤a≤-1 时, 2 函数的最小值为 f(-a)=-a +3; 当-a<1,即 a>-1 时, 函数在区间[1,2]上为增函数, 故此时最小值为 f(1)=2a+4. 综上可知,当 a<-2 时, 最小 值为 4a+7; 当-2≤a≤-1 时, 2 最小值为-a +3; 当 a>-1 时,最小值为 2a+4. 11.(2012 开封模拟)已知函数 f(x)=x - 且 f(4)= . (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 解:(1)∵f(4)= ,
m

∴4 - = , ∴m=1. (2)由(1)知 f(x)=x- , ∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 又 f(-x)=-x+ ==-f(x).

m

4

所以函数 f(x)是奇函数. (3)函数 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下: 设 x1>x2>0, 则 f(x1)-f(x2) =x1- -

=(x1-x2) 因为 x1>x2>0, 所以 x1-x2>0,1+

,

>0.

所以 f(x1)>f(x2). 所以函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. 2 2 12.(2012 湖南十二校一联)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 和 g(x)=ax +bx+c·ln x(abc≠0). (1)证明:当 a<0 时,无论 b 为何值, 函数 g(x)在定义域内不 可能总为增函数; (2 )在同一函数图象上取任意两个不同的点 A (x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点 C(x0,y0),记直 2 线 AB 的斜率为 k,若 f(x)满足 k=f'(x0),则称其为“K 函数”.判断函数 f(x)=ax +bx+c 与 2 g(x)=ax +bx+c·ln x(abc≠0)是否为“K 函数” ?并证明你的结论. 解:(1)假设 g(x)在定义域(0,+∞)上为增函数, 则有 g'(x)=2ax+b+ =
2

>0 对于一切 x>0 恒成立,

从而必有 2a x +bx+c>0 对于一切 x>0 恒成立. 2 又 a<0,由二次函数的图象可知:2ax +bx+c>0 对于一切 x>0 恒成立是不可能的. 因此当 a<0 时,无论 b 为何值,函数 g(x)在定义域内不可能总为增函数. 2 2 (2)函数 f(x)=ax +bx+c 是“K 函数”,g(x)=ax +bx+c·ln x(abc≠0)不是“K 函数”. 2 对于二次函数 f(x)=ax +bx+c, k= = =a(x2+x1)+b=2ax0+b.

又 f'(x0)=2ax0+b,故 k=f'(x0). 2 故函数 f(x)=ax +bx+c 是“K 函数”. 2 对于函数 g(x)=ax +bx+c·ln x(abc≠0)(x>0), 不妨设 x2>x1>0, 则 k= = =

2ax0+b+

.

5

又 g'(x0)=2ax0+b+ , 若 g(x)为“K 函数”,则必满足 k=g'(x0), 即有 2ax0+b+ =2ax0+b+ ,

也即

=

(c≠0),

所以

=

.

设 t= ,则 0<t<1,ln t=

. ①

设 s(t)=ln t-

,

则 s'(t)=

>0,

所以 s(t)在 t∈(0,1)上为增函数,s(t)<s(1)=0, 故 ln t≠ .②
2

①与②矛盾,因此,函数 g(x)=ax +bx+c·ln x(abc≠0)不是“K 函数”.

6


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