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高中数学复数与坐标系与参数方程练习题集


复数基础知识
一、复数的基本概念 (1)形如 a + bi 的数叫做复数(其中 a,b ? R );复数的单位为 i,它的平方 等于-1,即 i 2 ? ?1 .其中 a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当 b = 0 时复数 a + bi 为实数 虚数:当 b ? 0 时的复数 a + bi 为虚数;

纯虚数:当 a = 0 且 b ? 0 时的复数 a + bi 为纯虚数
教 学 步 骤 及 教 学 内 容

(2)两个复数相等的定义:
a ? bi ? c ? di ? a ? c且b ? d(其中,a,b,c,d, R)特别地a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ?

(3)共轭复数: z ? a ? bi 的共轭记作 z ? a ? bi ; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面; z ? a ? bi ,对应点 坐标为 p ? a, b ? (5)复数的模:对于复数 z ? a ? bi ,把 z ? a 2 ? b 2 叫做复数 z 的模; 二、复数的基本运算 设 z 1 ? a1 ? b1i , z2 ? a2 ? b2 i (1) 加法: z 1 ? z2 ? ? a1 ? a2 ? ? ? b1 ? b2 ? i ; (2) 减法: z 1 ? z2 ? ? a1 ? a2 ? ? ? b1 ? b2 ? i ; (3) 乘法: z 1?z2 ? ? a1 a2 ? b1b2 ? ? ? a2 b1 ? a1b2 ? i 特别 z ? z ? a 2 ? b2 。

(4)幂运算: i1 ? i i 2 ? ?1 i 3 ? ?i i 4 ? 1 i 5 ? i i 6 ? ?1 ? ? ? ? ? ?

三、复数的化简 c ? di ( a, b 是均不为 0 的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母 z? a ? bi

1

化为实数: z ?

c ? di c ? di a ? bi ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i ? ? ? a ? bi a ? bi a ? bi a 2 ? b2

对于 z ?

c ? di c d ? a ? b ? 0? ,当 ? 时 z 为实数;当 z 为纯虚数是 z 可设为 a ? bi a b c ? di z? ? xi 进一步建立方程求解 a ? bi

复数最重要的一点就是:记住 i 2 ? ?1
例 1:已知 z ? a ? 1 ? ? b ? 4 ? i ,求 (1) 当 a, b 为何值时 z 为实数 (2) 当 a, b 为何值时 z 为纯虚数 (3) 当 a, b 为何值时 z 为虚数 (4) 当 a, b 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。 例 2:已知 z1 ? 3 ? 4i ; z2 ? ? a ? 3? ? ? b ? 4 ? i ,求当 a, b 为何值时 z 1 =z2

例 3:已知 z ? 1 ? i ,求 z , z ? z ;

变式:1 i 是虚数单位, ( A.i B.-i

1? i 4 ) 等于 ( 1-i

) D.-1

C.1

变式 2:已知 i 是虚数单位, A 1? i B ?1 ? i

2i3 ? 1? i



) D. ?1 ? i

C1? i

2

变式 3:已知 i 是虚数单位,复数 1 ? 3i = 1? i A 2 ? i B 2 ? i C ?1 ? 2i D ?1 ? 2i 变式 4:已知 i 是虚数单位,复数 (A)1+i (B)5+5i





?1 ? 3i ?( 1 ? 2i



(C)-5-5i
i 3 ?i ? 1? ? i ?1

(D)-1-i ( (D) i )

变式 5:已知 i 是虚数单位,则 (A) ? 1 (B)1

(C) ? i

变式 6:已知 Z =2+i,则复数 z=() 1+ i (A)-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

变式 7:i 是虚数单位,若 (A)-15

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R) ,则乘积 ab 的值是 2?i (B)-3 (C)3 (D)15 真题实战:
? b ? i ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 a 2 ? b 2 =(
B.2 C. )

1.(2005)若 (a ? 2i)i A.0

5 2

D.5 .

2.(2005)已知向量 a ? (2,3), b ? ( x,6), 且a // b, 则 x= 3.(2007)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b= A.-2 B. ?

1 2

C.

1 2

D.2

4.(2008)已知 0 ? a ? 2 ,复数 z ? a ? i ( i 是虚数单位),则 | z | 的取值范围是(



, A. (1 5)

, B. (1 3)

, C. (1 5)

, D. (1 3)

5.(2009)下列 n 的取值中,使 i n =1(i 是虚数单位)的是 A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5

6.(2011)设复数 z 满足 iz=1,其中 i 为虚数单位,则 A.-i B.i C.-1 D.1

3

7.(2012)设 i 为虚数单位,则复数 A.3 B.1 C.-5 D.-6

4 ? 3i =( i



8.(2013)若 i( x ? yi) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? A.2 B.3 C.4 D.5

yi 的模是

坐标系与参数方程基础知识点
一、平面直角坐标系中的伸缩变换: ?

? x / ? ? x, (? ? 0) ? / ? y ? ? y , ( ? ? 0) ?

二、

? 、 ? 为点 M 的极径、极角,有序数对 ( ? ,? ) 就叫做 M 的极坐标。

三、常见曲线的参数方程: (1)圆 ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? r 2 的参数方程为 ?

? x ? x 0 ? r cos? ( ? 为参数); ? y ? y 0 ? r sin ?

(2)椭圆

? x ? a cos? x2 y2 ( ? 为参数); ? 2 ? 1 的参数方程为 ? 2 y ? b sin ? a b ?
? x ? a sec? x2 y2 ( ? 为参数); ? 2 ? 1 的参数方程 ? y ? b tan? a2 b ?

(3)双曲线

(4)抛物线 y 2 ? 2 px 参数方程 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t 为参数);
? x ? x0 ? t cos? ( t 为参数); y ? y 0 ? t sin ? ?

(6)过定点 P( x0 , y 0 ) 、倾斜角为 ? 的直线的参数方程 ? 四、极坐标和直角坐标的互化

基础训练

4

一、选择题 1.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t



2 3 3 C. 2
A.

2 3 3 D. ? 2
B. ?

2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?



A. (

1 , ? 2) 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

? x ? 2 ? sin 2 ? ? 3.将参数方程 ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 ? y ? sin ? ?
A. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )



D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

4.化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x2 ? y 2 ? 0或y ? 1 B. x ? 1

C. x2 ? y 2 ? 0或x ? 1 )

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 ( ?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? )

? ), (k ? Z ) 3

?

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

二、填空题

1 ? x ? 2? t ? ? 2 1.直线 ? (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
2.直线 x cos ?

? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。

3.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t

5

4.点 P(x,y)是椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。

5.直线 ?

? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t ?

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

真题演练
1.(2007)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,π/6) 到直线l的距离为 .

2.(2008)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3 ,

? ? 4 cos ? ? ? ≥ 0,≤? ? ? 0 2

? ?

π? ? ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为


3.(2009)(坐标系与参数方程选做题)若直线 ? 直,则常数 k = .

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂 ? y ? 2 ? 3t

4.(2010)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ, ? )( 0 ? ?<2? )中,曲线

? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 与 ? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 的交点的极坐标为
5. (2011) (坐标系与参数方程选做题) 已知两曲线参数方程分别为 ?

.

w_w*w.k_s

? ? ? 5 cos? ? y ? sin ?

(0 ? ? < ? )

5 2 ? ? x ? t (t 和? ? R ),它们的交点坐标为 4 ?y ? t ?
_5 u.c*o*m

6.(2012)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程

分别为 的交点坐标为_______。



,则曲线 C1 与 C2

6

7.(2013)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为 原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为 .

几何证明选讲
知识点总结
一、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截 得的线段也相等。 推理 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理 二、平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。 推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 三、相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。直角 三角形的射影定理 四、射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它 们在斜边上射影与斜边的比例中项。 五、圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 六、圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 七、圆内接四边形的性质与判定定理 定理 1:圆的内接四边形的对角互补。 定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 八、圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 九、切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 十、弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项。 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。

例题讲解:

7

1.

如图,AB 的延长线上任取一点 C,过 C 作圆的切线 CD,切点为 D, ?ACD 的平分线交 AD 于 E,则 ?CED ? __________

D E
O

A D C

A

O

B

C
B E

(第 1 题图) 2. 如图,

(第 2 题图)

? AB 是 ? O 的直径, D 是 ? O 上一点, E 为 BD 的中点, ? O 的弦 AD 与 BE 的

延长线相交于 C ,若 AB ? 18, BC ? 12, 则 AD ? __________

3.

如图, PC 是 ? O 的切线,

C 为切点, PAB 为割线, PC ? 4, PB ? 8, ?B ? 30? ,则

BC ? __________

C O P
(第 3 题图) 4.

A

B

如图,

AD 是 ? ABC 的高, AE 是 ? ABC 外接圆的直径,圆半径为 5, AD ? 4 ,则 AB?AC ? __________

A B D C

E

真题实战

8

1.(2007)(几何证明选讲选做题)如图 4 所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3 过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D, 则∠DAC=

2.(2008)(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆

O 的直径, PC 与圆 O 交于 B 点, PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ?

3.(2009)(几何证明选讲选做题)如图 3,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=4, ?ACB ? 30o , 则圆 O 的面积等于 .

4. DC∥AB, CB⊥AB, AB=AD=a, (2010) (几何证明选讲选做题) 如图 3, 在直角梯形 ABCD 中, CD=

a ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF= 2

.

9

5.(2011)(几何证明选讲选做题)如图 4,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F 分别为 AD,BC 上点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 7:5 A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i

6.(2012)(几何证明选讲选做题)如图 3 所示,直线 PB 与圆 O 想切于点 B,D 是弦 AC 上的 点,∠PBA=∠DBA,若 AD=m,AC=n,则 AB=_________。

7.(2013)(几何证明选讲选做题)如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ?

3,

BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ?
B


C

E A 图 3 D

10

线性规划问题
一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题

?2 x ? y ? 2 ? 例 1、设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?



二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题

? x ? 1, ? 例 2、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.

三、设计线性规划,探求平面区域的面积问题 例 3 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是() ?

?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 0 ?

(A) 4

2 (B)4 (C) 2 2

(D)2

四、研究线性规划中的整点最优解问题

?5 x ? 11 y ? ?22 , ? 例 4、某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 9, 则 ?2 x ? 11 . ?
z ? 10 x ? 10 y 的最大值是 (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

11

真题实战:
?2 x ? y ≤ 40, ? ? x ? 2 y ≤ 50, ? ? x ≥ 0, ? y ≥ 0, 1.(2008)若变量 x,y 满足 ? 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是



2.(2012)已知变量 x,y 满足约束条件 x +y≤1,则 z =x +2y 的最小值为( x–y≤1 x +1≥0



?x ? y ? 3 ? 0 ? 3.(2013)已知变量 x, y 满足约束条件 ? ? 1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ? y ?1 ?

作业 布置

家长 意见

家长签名: 2013 年_月 _日 审阅人: (第_ 次)

12


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