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安徽省六校教育研究会2014届高三2月联考数学理试题


安徽省六校教育研究会 2014 届高三 2 月联考

数学(理科)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚.请考生按规定用笔将 所有试题的答案涂、写在答题卷上,在试题卷上作答无效. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数 z (A)

? 2i ?

2

2 ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为( ) 1? i 2 (B) (C) 3 (D) 2 2

开始

a 2.已知命题 p : “ a ? 1 是 x ? 0,x+ ? 2 ”的充分必要条件” ;命题 q : “存 x
在 x0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 2 ? 0 ” ,下列命题正确的是(
2

S ? 0, n ? 1

S ? S ?n



(A)命题“ p ? q ”是真命题 (B)命题“ ? ?p ? ? q ”是真命题 (C)命题“ p ? ? ?q ? ”是真命题 (D)命题“ ? ?p ? ? ? ?q ? ”是真命题 3. 执行如图所示的程序框图. 若输出 S ? 15 , 则框图中① 处可以填入 ( (A) n ? 4 ? (B) n ? 8 ? (C) n ? 16 ? (D) n ? 16 ? ) ) 否

n ? 2n

① 是 输出 S
结束

第 3 题图

4.在极坐标系中,点 (2, ) 和圆 ? ? 2 cos? 的圆心的距离为(

π 3

(A)

3

(B) 2

(C)

1?

π2 9

(D)

4?

π2 9

5.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于 点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( (A)

????

??? ?

??? ?



1 1 a? b 4 2

(B)

1 1 a? b 2 4

(C)

2 1 a? b 3 3
·1 ·

(D)

1 2 a? b 3 3

6.数列 ? an ? 的首项为 3, ?bn ? 为等差数列且 bn ? an ?1 ? an (n ? N ?) , 若 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? ( )

(A)

0

(B) 3

(C)

8

(D) 11

7.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中, 最大的是( (A) 4 3 ) (B)

8

(C)

8 3

(D)

4 7

8.有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中随机取出 4 个,则取出球的编号互不 相同的概率为( (A) ) (B)

5 21

2 7

(C)

1 3

(D)

8 21

9.设 F1 , F2 分别为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, A 为双曲线的左顶点,以 a 2 b2

F1 F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、 N 两点,且满足 ?MAN ? 120? ,则该双曲线的离心
率为( (A) )

21 3

(B)

19 3

(C)

7 3

(D)

7 3 3

10.若实数 a, b, c, d 满足 (b + a 2 - 3ln a ) 2 + (c - d + 2) 2 = 0 ,则 (a - c) 2 + (b - d ) 2 的最小值为 ( (A) )

2

(B)

2

(C)

2 2

(D)

8

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置。
?

11.已知 a ?

?

0

? a? sin xdx, 则二项式 ? 1 ? ? 的展开式中 x ?3 的系数为 x? ?

5



12. 如图所示, 第 n 个图形是由正 n ? 2 边形拓展而来 ( n ? 1, 2,? ) , 则第 n ? 2 个图形共有____
·2 ·



顶点.

? x ? y ? 5 ? 0, ? 13.若不等式组 ? y ? kx ? 5, 表示的平面区域是一个锐角三角形,则 ?0 ? x ? 2 ?
实数 k 的取值范是
2

.

[来源:

14.抛物线 y ? x (?3 ? x ? 3) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的 旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体 ,该正方体的一个面恰好 与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 15.对于函数 f ( x) ,若存在区间 M ? ? a, b ? ,使得 .
第 14 题图

?y | y ?

f ( x), x ? M ? ? M ,则称区间 M 为函数 f ( x) 的一个“好区间”.给出下列 4 个函数:
x

3 ① f ( x) ? sin x ;② f ( x ) ? 2 ? 1 ;③ f ( x) ? x ? 3x ;④ f ( x) ? lg x ? 1 .

其中存在“好区间”的函数是

. (填入所有满足条件函数的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在 答题卡上的指定区域内。 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x, cos x), n ? ( , (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,设角 A , B 的对边分别为 a, b ,若 B ? 2 A ,且 b ? 2af ? A ?
·3 ·

??

?

?? ? 3 3 ) , x ? R ,函数 f ( x) ? m ? n, 2 2

? ?

??

? ?,求角 C 的 6?

大小. 17.(本小题满分 12 分) 等边三角形 ABC 的边长为 3,点 D 、 AC 上的点,且满足 E 分别是边 AB 、

AD CE 1 ? ? (如图 1). DB EA 2

将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 为直二面角,连结 A1 B 、 A1C (如 图 2). (Ⅰ)求证: A1 D ? 平面 BCED ; (Ⅱ)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ?若存在,求出 PB 的长, 若不存在,请说明理由. A

A1
D E B 图1 18. (本小题满分 12 分)
2 ? 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满足 an ?1 ? 4 S n ? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 恰好是

D E C B 图2 C

等比数列 ?bn ? 的前三项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若对任意的 n ? N * , (Tn ? )k ? 3n ? 6 恒成立,求实数 k 的 取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为 次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 元件 A

3 2

? 70, 76 ?
8

? 76,82 ?
12

?82,88 ?
40

?88, 94 ?
32

?94,100?
8

·4 ·

元件 B

7

18

40

29

6

(Ⅰ)试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件 B,若是正 品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(Ⅰ)的前提下; (i)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元的概率; (ii) 记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分 13 分) 已知 P ? x, y ? 为函数 y ? 1 ? ln x 图象上一点, O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? . (Ⅰ)若函数 f ? x ? 在区间 ? a, a ?

? ?

1? ? ? a ? 0 ? 上存在极值,求实数 a 的取值范围; 3?

2 ? ? ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m ? (Ⅱ)如果对任意的 x1 , x2 ? ? ,求实数 m 的取值范围. ?e , x1 x2

?

1

1

21. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知 F1 , F2 分别是椭圆 G :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 椭圆 G a 2 b2

与抛物线 y ? ?4 x 有一个公共的焦点,且过点 (?
2

6 ,1) . 2

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ) 设点 P 是椭圆 G 在第一象限上的任一点,连接 PF1 , PF2 ,过 P 点 作斜率为 k 的直线 l , 使得 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点 , 设直线
y P l

1 1 ? PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,试证明 为定值,并求出这个 kk1 kk 2
定值; (III)在第(Ⅱ)问的条件下,作 F2 Q ? F2 P ,设 F2 Q 交 l 于点 Q , 证明:当点 P 在椭圆上移动时,点 Q 在某定直线上.
F1 O

Q x

F2

第 21 题图

安徽省六校教育研究会 2014 届高三联考
·5 ·

数学(理科)答案
一、 选择题(5'×10=50')

题号 答案

1
A

2 B

3 B

4 A

5 C

6 B

7 D

8 D

9 A

10 D

二、填空题(5'× 5=25') 11) 、-80; 12) 、 n2 ? n ; 三、解答题(75 分) 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 化为 3 cos(x ? 13)、 (?1,0) ; 14) 、 1 9 1 ? ; 15) 、②③④。

3 3 ? sin x ? cos x ………………2 分 ? 3 sin( x ? ) …………4 分(注:也可以 2 2 6

? )所以 f ( x) 的最大值为 3 .……6 分(注:没有化简或化简过程不全正确,但 )
3

结论正确,给 4 分)

) ,由(1)和正弦定理,得 sin B ? 2 3 sin 2 A .……7 分 6 2 2 又 B ? 2 A ,所以 sin 2 A ? 2 3 sin A ,即 sin A cos A ? 3 sin A , ……9 分
(Ⅱ)因为 b ? 2a f ( A ? 而 A 是三角形的内角,所以 sin A ? 0 ,故 cos A ? 3 sin A , tan A ? 所以 A ?

?

?
6

, B ? 2A ?

?
3

,C ? ? ? A ? B ?

?
2

3 , ……11 分 3
A1

. …………12 分

17.(本小题满分 12 分) 证明:(1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且

AD CE 1 ? ? , DB EA 2
H

D E B P C

所以 AD ? 1 , AE ? 2 . 在△ ADE 中, ?DAE ? 60? , 由 余 弦 定 理 得 DE ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? cos 60 ? 3 . 因 为
2 2 ?

AD 2 ? DE 2 ? AE 2 ,
所以 AD ? DE . ?????????3 分 折叠后有 A1 D ? DE ,因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角, 所以平面 A1 DE ? 平面 BCED ,又平面 A1 DE ? 平面 BCED ? DE , D B x H P C E y z

A1

A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE , 所以 A1 D ? 平面 BCED .????6 分
·6 ·

(2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P , 由(1)有 A1 D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1 D ? PH ,又 A1 D ? BD ? D , 所以 PH ? 平面 A1 BD 所以 ?PA1 H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? , 则 BH ? ,

, ?????????8 分

3 x , PH ? x , 在 Rt △ PA1 H 中 , ?PA1 H ? 60? , 所 以 2 2

A1 H ?
2

1 1 x , 在 Rt △ A1 DH 中 , A1 D ? 1 , DH ? 2 ? x , 由 A1 D 2 ? DH 2 ? A1 H 2 , 得 2 2
2 2

1 ? ?1 ? ? 1 ??2? x? ? ? x? 2 ? ?2 ? ?

, 解得 x ?

5 , 满足 0 ? x ? 3 , 符合题意 所以在线段 BC 上存在点 2 5 2
?????????12 分

P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,此时 PB ?

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直 角坐标系 D ? xyz 如图 ,设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? , 则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a ,所 以 A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 , 所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1

?

? ?


?

????

?

?

, 因为 ED ? 平面

???? A1 BD , 所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 , ?????????9 分

?

?







线

PA1
,?





A1 BD
?











60?

,





???? ???? PA1 ?DE sin 60? ? ???? ???? PA1 DE

3a 4a ? 4a ? 5 ? 3
2

3 , 2

解得 a ?

5 5 , 即 PB ? 2a ? , 满 足 4 2

0 ? 2a ? 3 ,符合题意,所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ,
此时 PB ?

5 . ?????????12 分 2
2

18. (本小题满分 12 分)
2 2 (Ⅰ)当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn ?1 ? an ?1 ? an ? 4

·7 ·

2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 ??????2 分 2

2 ? a2 ? a14 , ? 当 n ? 2 时 , ?an ? 是 公 差 d ? 2 的 等 差 数 列 . ? a2 , a5 , a14 构 成 等 比 数 列 , ? a5

? a2 ? 8 ?

2

? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,????3 分
2

由条件可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,? a1 ? 1 ??????4 分

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.??????5 分,
数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3 ………………6 分
n

( Ⅱ ) Tn ?

b1 (1 ? q n ) 3(1 ? 3n ) 3n ?1 ? 3 3n?1 ? 3 3 ? ? ? )k ? 3n ? 6 对 n ? N * 恒 成 立 , , ?( 1? q 1? 3 2 2 2

?k ?

2n ? 4 对 n ? N * 恒成立,----9 分, n 3

令 cn ?

2n ? 4 2n ? 4 2n ? 6 ?2(2n ? 7) , cn ? cn ?1 ? ,当 n ? 3 时, cn ? cn ?1 ,当 n ? 4 时, ? n ?1 ? n 3 3n 3 3n 2 2 cn ? cn ?1 ? (cn )max ? c3 ? ,k ? .????12 分 27 27

19(本小题满分 12 分) (Ⅰ)由题可知 元件 A 为正品的概率为

4 3 ,元件 B 为正品的概率为 。?????2 分 5 4

(Ⅱ) (i)设生产的 5 件元件中正品件数为 x ,则有次品 5 ?x 件,由题意知 100 x ? 20(5 ? x) ? 300 得 到 x ? 4 , 5, 设 “ 生 产 5 件 元 件 B 所 获 得 的 利 润 不 少 于 300 元 ” 为 事 件 C , 则

3 1 3 81 。???????????6 分 P(C ) ? C54 ( ) 4 ? ? C5 5 ( ) 5 ? 4 4 4 128 (ii)随机变量 X 的所有取值为 150,90,30,-30, 4 3 3 1 3 3 则 P( X ? 150) ? ? ? , P( X ? 90) ? ? ? , P( X ? 30) ? 5 4 5 5 4 20 1 1 1 , P( X ? ?30) ? ? ? 5 4 20 所以 X 的分布列为: 150 90 30 X 3 3 1 P 5 20 5
·8 ·

4 1 1 ? ? , 5 4 5

-30

1 20

???????10 分

3 3 1 1 E ( X ) ? 150 ? ? 90 ? ? 30 ? ? 30 ? ? 108 ??????????12 分 5 20 5 20
(20) (本小题满分 13 分) 解: (1)由题意 k ? f ? x ? ?

ln x 1 ? ln x x ? 0 ? 1 ? ln x ?? , ,所以 f ? ? x ? ? ? ? ?? 2 x x ? x ?

???2 分

当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 在 ?1, ?? ? 上单调递减,故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极大值. ????????3 分

?0 ? a ? 1 1? 2 ? ? 因为函数 f ? x ? 在区间 ? a, a ? ?(其中 ? a ? 0 ? ) 上存在极值, 所以 ? , 得 ? a ? 1. 即 1 3? 3 a ? ?1 ? ? 3 ?
实数 a 的取值范围是 ? , 1? .

?2 ? ?3 ?

?????6 分

2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在 ? e 2, ? ? ? 上单调递减,不妨设 x1 ? x2 ? e ,则

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m

1 1 1 1 m m ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? m( ? ) ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? x1 x2 x2 x1 x2 x1

? 函数 F ( x) ? f ( x) ?
由 F ( x) ? f ( x) ?

m 在 ? e 2, ? ? ? 上单调递减。?????8 分 x ?

m 1 ? ln x m ln x m ? ? , x ? [e 2 , ??) ,则 F ?( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 在 [e2 , ??) 上恒成 x x x x x
2

立,所以 m ? ln x 在 [e , ??) 上恒成立,所以,故 m ? 2 .??????13 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)解(Ⅰ)由题意得 c ? 1 ,又

3 1 + 2 ? 1 ,?????????2 分 2 2a b 1 消去 b 可得,2a4 ? 7a2 ? 3 ? 0 , 解得 a 2 ? 3 或 a 2 ? (舍去) , 则 b2 ? 2 , 2

y P l

x y 求椭圆 G 的方程为 C : ? ? 1 .????????4 分 3 2
(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? kx ? m ,并设点 P( x0 , y0 ) ,

2

2

Q x

F1 O

F2

第 19 题图

·9 ·

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? 0 ? (3k 2 ? 2) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 6 ? 0 . 由? ? y ? kx ? m

? ? ? 0 ? m2 ? 2 ? 3k 2 ,?????????6 分

x0 ? ?

3km 3k ?? ? 0 , 当 k ? 0 时 , m ? 0 , 直 线 与 椭 圆 相 交 , 所 以 k ? 0, m ? 0 , 2 m 2 ? 3k
6 , 3 ? x0 2

m 2 ? 2 ? 3k 2 ? m ?

2x x0 2 y0 2 2(3 ? x0 2 ) 2 2 ? ? 1 ? y0 ? 由 得m ? ,? k ? ? 0 ,???????8 分 3 y0 y0 3 2 3
y?? 2 x0 x 2 x x y y y y 1 1 ? ? ,整理得: 0 ? 0 ? 1 .而 k1 ? 0 , k2 ? 0 ,代入 中得 3 y0 y0 kk1 kk2 3 2 x ?1 x ?1

3 y x ? 1 x0 ? 1 1 1 ? ?? 0( 0 ? ) ? ?3 为定值. ????????10 分 kk1 kk2 2 x0 y0 y0
(用导数求解也可,若直接用切线公式扣 4 分,只得 2 分) (III) PF2 的斜率为: k PF2 ?

y0 x ?1 ,又由 PF2 ? F2 Q ? k F2Q ? ? 0 , x0 ? 1 y0

x ?1 ? y?? 0 ( x0 ? 1) ? x0 ? 1 y0 ? ( x0 ? 1) ,联立方程 ? 从而得直线 F2 Q 的方程为: y ? ? , y0 x x y y ? 0 ? 0 ?1 ? 2 ? 3
消去 y 得方程 ( x0 ? 3)( x ? 3) ? 0 ,因为 x0 ? 3 , 所以 x ? 3 , 即点 Q 在直线 x ? 3 上. ?????????14 分

·10·


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