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2018版高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.4简单的三角恒等变换真题演练集训理


2018 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.4 简单的 三角恒等变换真题演练集训 理 新人教 A 版
?π ? 3 1.[2016·新课标全国卷Ⅱ]若 cos? -α ?= ,则 sin 2α =( ?4 ? 5
A. 7 25 B. 1 5 )

1 C.- 5 答案:D

7 D.- 25

?π ? 解析:因为 cos ? -α ?= cos ?4 ?

π cos 4

α + sin

π ·sin 4

α =

2 (sin 2

α + cos

3 3 2 18 7 α )= ,所以 sin α +cos α = ,所以 1+sin 2α = ,所以 sin 2α =- ,故 5 5 25 25 选 D. 1+sin β ? π? ? π? 2.[2014·新课标全国卷Ⅰ]设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = ,则 2 2 cos β ? ? ? ? ( ) π A.3α -β = 2 π C.3α +β = 2 答案:B 1+sin β 解析:解法一:由 tan α = ,得 cos β sin α 1+sin β = , cos α cos β 即 sin α cos β =cos α +cos α sin β , π B.2α -β = 2 π D.2α +β = 2

?π ? ∴sin(α -β )=cos α =sin ? -α ?. ?2 ? ? π? ? π? ∵α ∈?0, ?,β ∈?0, ?, 2 2? ? ? ? ? π π? π ? π? ∴α -β ∈?- , ?, -α ∈?0, ?, 2? ? 2 2? 2 ? ?π ? ∴由 sin(α -β )=sin ? -α ?,得 ?2 ?
π π α -β = -α ,∴2α -β = . 2 2
1

?π ? 1+cos? -β ? 1+sin β ?2 ? 解法二:tan α = = cos β π ? ? sin ? -β ? ?2 ?
β ? 2?π 2cos ? - ? ?4 2? ?π β ? = =cot? - ? π β π β ?4 2? ? ? ? ? 2sin ? - ?cos ? - ? ?4 2? ?4 2?

?π ?π β ?? =tan? -? - ??tan ? 2 ? 4 2 ??

?π +β ?, ?4 2? ? ?

?π β ? ∴α =kπ +? + ?,k∈Z ?4 2?
π ∴2α -β =2kπ + ,k∈Z. 2 当 k=0 时,满足 2α -β = π ,故选 B. 2
2

3.[2016·浙江卷]已知 2cos x+sin 2x=Asin(ω x+φ )+b(A>0),则 A=________,b =________. 答案: 2 1

π? ? 2 解析: 由于 2cos x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x = 2sin?2x+ ?+1, 所以 A= 2, 4? ?

b=1.
π π? ? 4.[2014·重庆卷]已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?的图象关于 2 2? ? π 直线 x= 对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π . 3 (1)求 ω 和 φ 的值; 2π ? 3π ? 3 ?π ?α ? ? (2)若 f? ?= ? <α < ?,求 cos?α + ?的值. 3 ? 2 ? ?2? 4 ?6 ? 解:(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π ,所以 f(x)的最小正周期 T=π , 2π 从而 ω = =2.

T

π 又因为 f(x)的图象关于直线 x= 对称, 3 π π 所以 2× +φ =kπ + ,k=0,±1,±2,…. 3 2 π π 因为- ≤φ < 得 k=0, 2 2

2

π 2π π 所以 φ = - =- . 2 3 6 3 ?α ? ? α π? (2)由(1)得 f? ?= 3sin?2· - ?= , 2 6? 4 ?2? ? π? 1 ? 所以 sin?α - ?= . 6? 4 ? 由 π 2π π π <α < 得 0<α - < , 6 3 6 2 π? 2? 1-sin ?α - ? 6? ?

π? ? 所以 cos?α - ?= 6? ? = 15 ?1?2 1-? ? = . 4 ?4?

π? π? 3π ? ?? ? 因此 cos?α + ?=sin α =sin??α - ?+ ? 6? 6? 2 ? ? ?? π? π? π π ? ? =sin?α - ?cos +cos?α - ?sin 6? 6? 6 6 ? ? 1 3 15 1 = × + × 4 2 4 2 = 3+ 15 . 8 课外拓展阅读 给值求角忽视角的范围致误 1 [典例] [2017·江苏模拟]已知 α ,β 为三角形的两个内角,cos α = ,sin(α +β ) 7 5 3 = ,则 β =________. 14 1 [错解] ∵0<α <π ,cos α = , 7 ∴sin α =

?1?2 4 3. 1-? ? = 7 ?7?

5 3 又∵sin(α +β )= , 14 ∴cos(α +β )=- 1-? 11 ?5 3?2 ? =-14. ? 14 ? 3 . 2

∴sin β =sin[(α +β )-α ]=sin(α +β )cos α -cos(α +β )sin α =

3

π 2π 又∵0<β <π ,∴β = 或 . 3 3 [错因分析] (1)不能根据题设条件缩小 α ,β 及 α +β 的取值范围,在由同角基本关 系式求 sin(α +β )时不能正确判断符号,产生两角解. (2)结论处应由 cos β 的值确定 β 的取值,由 sin β 确定结论时易出现两解而造成失 误. 1 4 3 π π 2 [解析] 因为 0<α <π ,cos α = ,所以 sin α = 1-cos α = ,故 <α < .又 7 7 3 2 5 3 3 π 2π 因为 0<α +β <π ,sin(α +β )= < ,所以 0<α +β < 或 <α +β <π . 14 2 3 3 由 π π 2π <α < ,知 <α +β <π , 3 2 3

11 2 所以 cos(α +β )=- 1-sin ?α +β ?=- , 14 所以 cos β =cos[(α +β )-α ] 1 =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α = , 2 π 又 0<β <π ,所以 β = . 3 [答案] π 3

答题启示 利用三角函数值求角时,要充分结合条件,确定角的取值范围,再选取合适的三角函数 进行求值,最后确定角的具体取值.

4


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