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等比数列前n项和的性质


第十课时

等比数列前 n 项和的性质及应用

【知识与技能】 掌握等比数列前 n 项和公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解决与之有 关的问题. 【重点难点】 重点:等比数列前 n 项和及性质的应用. 难点:等比数列前 n 项和及性质的灵活应用. 【教学过程】 一、问题与探究 1.在等差数列{an}中,我们知道其前 n 项和 Sn 满足

这样的性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?也 成等差数列;等比数列的前 n 项和 Sn 是否也满足这一性质呢?试证明之. 等比数列前 n 项和的性质 在等比数列{an}中,Sn,S2n-Sn, ,?成等比数列,其公比是 .

a1?1-qn? 2.等比数列前 n 项和公式 Sn= (q≠1),是否可以写成 Sn=A(qn-1)(Aq≠0 且 q≠1) 1-q 的形式?若可以,A 等于什么? 提示:可以,A=- . 1-q

a1

a1-anq 3.等比数列前 n 项和公式 Sn= (q≠1).是否可以写成 Sn=Aan+B(AB≠0 且 A≠1)的 1-q 形式? 提示:可以,A=- ,B= . 1-q 1-q 等比数列前 n 项和与指数函数的性质 当 公 比 q≠1 时 , 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 是 Sn = = ,设 A= a1 -q 1-q
n

q

a1

, 它 可 以 变 形 为 Sn

,上式可写成 Sn=-Aq +A.由此可见,q≠1 的等比数列 与一个 的和构成的,而指数式的系数与常数
x

n

的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个 项 的一些 二、合作与探究 类型 1 等比数列前 n 项和的性质及应用

.当 q≠1 时,数列 S1,S2,S3,?,Sn,?的图象是函数 y=-Aq +A 图象上 .

【例 1】(1)已知等比数列{an}中,前 10 项和 S10=10,前 20 项和 S20=30,求 S30. (2)一个等比数列的首项是 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求此数 列的公比和项数.

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小结:1.解决本例有两种思路:用等比数列的前 n 项和公式直接求解,属通性通法;用性 质求解,方法灵活,技巧性强,有时使计算简便.2.等比数列前 n 项和的常用性质:(1) 项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q.①若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; a1+a2n+1q ②若共有 2n+1 项,则 S 奇-S 偶= (q≠1 且 q≠-1).(2)“片断和”性质:等比数 1+q 列{an}中,公比为 q,前 m 项和为 Sm(Sm≠0),则 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?,Skm-S(k-1)m,?构 成公比为 q 的等比数列. S6 S9 【练习】设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,求 的值. S3 S6
m

类型 2 由递推公式求通项公式 【例 2】根据下面各个数列{an}的首项和递推关系,求其通项公式: (1)a1=1,an+1=an+2n(n∈N ); (2)a1=1,an+1= n * an(n∈N ); n+1
*

1 * (3)a1=1,an+1= an+1(n∈N ); 2 1 1 1 1 (4)数列{an}满足 a1+ 2a2+ 3a3+?+ nan=2n+5,求数列{an}的通项公式. 2 2 2 2

小结:1.形如 an+1=an+f(n)的递推式,可用叠加法求通项公式.2.形如 an+1=f(n)an 的 递推式,可用叠乘法求通项公式.3.形如 an+1=kan+b(k、b 为常数)的递推式,可变形为 an
+1

+λ =k(an+λ )构造等比数列求解, 其中 λ 可用待定系数法确定. 4. 由和式求通项公式,
? ?S1 ?Sn-Sn-1 ?

可把和式看做一个数列的前 n 项和,然后根据 an=?

n= n

来求解.

2 1 1 【练习】(1)已知数列{an}中,a1= ,an+1= an+ ,求数列{an}的通项公式; 3 2 2 (2)已知数列{an}中,a1=3,a2=5,且 Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),求数列{an} 的通项公式.
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类型 3

等差、等比数列的综合应用

【例 3】某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获 利 1 万元,以后每年比前一年增加 30%的利润;乙方案:每年贷款 1 万元,第一年便可获利 1 万元,以后每年比前年多获利 5 千元,两种方案,使用期限都是十年,到期一次性归还本 息,若银行贷款利息按年息 10%的复利计算,比较两种方案,哪个获利更多?(计算数据精 确到万元,1.1 ≈2.594,1.3 ≈13.786)
10 10

小结: 1. 解决本题的关键是分清甲、 乙两个方案属于等差数列模型还是等比数列模型. 2. 等 差、等比数列的应用题常见于产量的增减、价格的升降、细胞分裂、贷款利率、增长率等方 面的问题,解决方法是建立数列模型,应用数列知识解决问题.3.将实际问题转化为数列 问题时应注意:①分清是等差数列还是等比数列;②分清是求 an 还是求 Sn,特别是要准确 确定项数 n;③递推关系的发现是数列建模的关键.4.解数列应用题的思路方法如图所示.

【练习】某市 2012 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房,预计在今 后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%,另外,每年新建住房中,中 低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米,那么到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2012 年为累计的第一年)将首次不少于 4 750 万平 方米? (2) 当 年 建 造 的 中 低 价 房 的 面 积 占 该 年 建 造 住 房 面 积 的 比 例 首 次 大 于 85% ? (1.08 ≈1.36,1.08 ≈1.47,1.08 ≈1.59)
4 5 6

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三、课时小结 1.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解,在解方程时,仔细体会两 种情形中解方程组的方法的不同之处.2.在解等比数列问题时,要注意合理应用等比数列 的性质, 与等比数列前 n 项和有关的常用的性质有: ①连续 m 项和(如 Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, …) 仍组成等比数列(注意此连续 m 项的和必须非零才成立);②{an}为等比数列,且 q≠1?Sn= -Aq +A(A≠0).用好性质会降低解题的运算量,从而减少错误.3.解决有关数列模型的实 际问题时,关键是弄懂题意,确定数列的类型及所求的基本量. 四、小结与作业 1.(2013· 临沂高二检测)已知一个等比数列的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和 为( A.63 ) B.108


n

C.75

D.83

2.已知等比数列{an}的通项公式为 an=2×3n 1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 Sn=( A.3n-1 ) B.3(3n-1) 9n-1 C. 4 3?9n-1? D. 4 )

3.(2013· 成都高二检测)数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( A.3×44 B.3×44+1 C.44 D.44+1

1 4.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{ }的前 5

an

项和为( 15 A. 或 5 8

) 31 B. 或 5 16 31 C. 16 15 D. 8

5.(2013·威海高二检测)在等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该 数列的前 15 项的和 S15=________. 6.数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则 an=________. 7 .等比数列 {an} 共有 2n 项,它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍,则公比 q = ____________. 8.(2013·长沙高二检测)等比数列{an} 中,S2=7,S6=91,求 S4.

9. (2013·井冈山高二检测)已知点(1,2)是函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象上一点, 数列 {an}的前 n 项和 Sn=f(n)-1. (1)求数列{an}的通项公式;(2)若 bn=logaan+1,求数列{anbn}的前 n 项和 Tn.

x

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