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1.3 简单的逻辑联结词


简单的逻辑联结词

引例1:下列各组命题中,三个命题间有什么关系? (1)① 12能被3整除;② 12能被4整除
③ 12能被3整除且能被4整除.

(2)① 27 是 7 的倍数;② 27 是 9 的倍数;
③ 27 是 7 的倍数或是 9 的倍数. 引例2. 下列各组命题中的两个命题间有什么关系? (1)①函数 y

= cosx 的最小正周期是 2? ;

②函数 y = cosx 的最小正周期不是 2? .
(2)方程 x2 + x + 1 = 0 有实数根; 方程 x2 + x + 1 = 0 无实数根.

1.“且”“或”“非”的定义.
且 把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到 (1)且:用联结词______ p且q 一个新命题,记作 p∧q.读作“__________” .

或 把命题 p 和命题 q 联结起来,就 (2)或:用联结词________
p或q 得到一个新命题,记作 p∨q.读作“________” . 全盘否定 ,就得到一个新命题,记作? p . (3)非:对一个命题p_________ 非p 读作“________” .

注意:(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,含有逻辑联 结词的命题叫复合命题.

(2)命题“p∧q”、“p∨q”和“ ?

p ”与集合的交、并、补运算

联系密切,可借助集合的关系理解它们的意义.

2.命题 p∧q,p∨q 和 ? p 的真假判断.

真命题 ,p∨q 为 (1)当 p,q 都是真命题时,p∧q 为____________ 真命题 ,? p 为__________ 假命题 . __________ 假命题 (2)当 p,q 有且只有一个是真命题时,p∧q 为__________ ,
真命题 . 为 __________ 则 p∨q 为 ___________. (3)当 p,q 都是假命题时,p∧q 为__________ 假命题 ,则 p∨q 为 真命题 ?p 为__________. __________ 假命题 ,

真 值 表
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假
p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假

?p 假 假 真 真

p∨q 真假判断方法:
一真则真,全假才假

p∧q真假判断方法:
一假则假,全真才真

? p真假判断方法:
真假相反

【要点1】如何判断一个命题是简单命题还是复合命题?
【剖析】判断一个命题是简单命题还是复合命题,不能只 从字面上看有没有逻辑联结词“或”、“且”、“非”,还要 从意思上去分析.如“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高重合”,此命题字面上无“且”,但可写成“等 腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线又是底边上的高”, 所以它是复合命题.又如“5≥5”虽字面上无“或”,但它也 是复合命题.

【要点2】数学中的逻辑联结词“或”“且”“非”与日 常用语中的“或”“且”“非”的区别.

【剖析】数学中的逻辑联结词“且”、“非”与日常生活中的

“且”、“非”意义基本一致.“且”表示“而且”, “非”表示

的意思.而数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”含义

不一致,日常生活中的“或”表示不兼有,而数学逻辑联结词中的 “或”表示可兼有.

题型1 用逻辑联结词构成复合命题

例1:分别写出由下列各组命题构成“p 或 q”、“p 且 q” 和“非 p”形式的复合命题: (1)p: 平行四边形的对角线互相平分; q: 平四边形的对角线相等. (2)p: 菱形的对角线互相垂直;q: 菱形的对角线互相平分.
(3)p: 35 是 15 的倍数;q: 35 是 7 的倍数

题型2 复合命题的分解 例2:指出下列命题的形式及构成它的简单命题: (1)方程 x2-3=0 没有有理根; (2)两个角是 45°的三角形是等腰直角三角形;
思维突破:对表面没有“或”“且”“非(不)”字样的命题, 不要 误认为它们就是简单命题,要根据语句所表达的含义进行命

题结构的判断.对“或”“且”“非(不)”的理解要与集合中 的“并
集”、“交集”和“补集”的概念结合起来.特别是“否命 题”,

自主解答: (1)这个命题是“非 p”形式的命题,其中 p:方程

x2-3=0 有有理根. (2)这个命题是“p 且 q”形式的命题,其中 p:两个
角是45°的三角形是等腰三角形,q:两个角是 45°

的三角形是直角三角形.

【变式与拓展】 2.用“p 或 q”“p 且 q”“非 p”填空:

p且q (1)“6 是自然数且是偶数”是________ 形式; p或q 形式; (2)“3≥2”是__________ 非p (3)“4 的算术平方根不是-2”是________ 形式;
非p (4)“方程 x2+1=0 没有实根”是________ 形式.

题型3. 判断复合命题的真假
例3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q” “p且q” “?p”形式的复合命题的真假

( 1) p: 2 + 2 = 5
(2) p: 9是质数

q: 3 > 2
q: 8 是 12 的约数

(3) p: 1∈{1, 2}

q: {1}是{1, 2}子集
q: ? = { 0}

(4) p: ?是{0}的真子集

解:(1) 因为 p 假 q 真 所以

“ p 或 q ”为真 , “ p 且 q ” 为假 , “ ? p ” 为真

(2) 因为 p 假 q 假 所以 “ p 或 q ”为假 , “ p且q ” 为假 , “ ? p ”为 真 (3) 因为 p 真 q 真 所以 “ p 或 q ”为真 , “ p 且 q ”为真 ,“ ? p ”为假

(4) 因为 p 真 q 假 所以 “p 或 q ” 为真 , “ p 且 q ”为假 ,“ ? p ”为假

变式训练: 1. 判断下列命题的真假: (1)2≤2;



(2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集; 真 (3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三

角形全等.



(4)“p∧q真”的充分不必要条件是“p∨q真” . 假

2.(1)如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列四个

结论:①命题“p且q”是真命题;
命题;③命题“p或q”是真命题; 命题. 其中正确的结论是( (A) ①③ (B) ②④ A ) (C) ②③

②命题“p且q”是假
④命题“p或q”是假

(D) ①④

(2)在下列结论中, 正确的为( B ) ①“ p ∧ q ”为真是“ p ∨ q ”为真的充分不必要条件 ②“ p ∧ q ”为假是“ p ∨ q ”为真的充分不必要条件 ③“ p ∨ q ”为真是“ ﹁ p ”为假的必要不充分条件 ④“ ﹁p ”为真是“ p ∧ q ”为假的必要不充分条件 (A)①② (C)②④ (B)①③ (D)③④


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