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2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第3讲 基本不等式及其应用练习 理


2017 版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第 3 讲 基本不等式及其 应用练习 理
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1 2 1.(2015·湖南卷改编)若实数 a,b 满足 + = ab,则 ab 的最小值为________.

a b

解析 2 2

1 2 1 2 因为 + = a

b ,所以 a, b 同号且均大于零,由基本不等式可得 ab= + ≥

a

b

a b

ab

1 2 ,所以 ab≥2 2.当且仅当 = 时取等号.

a b

所以 ab 的最小值为 2 2. 答案 2 2 1 4 2.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是________.

a b

解析

1 4 1 ?1 4? 1 b 4a 1 由于 a>0 , b>0 ,依题意,得 + = ? + ? · (a + b) = [5 + ( + )]≥ (5 + a b 2 ?a b? 2 a b 2

2

a+b=2, ? ? b 4a b 4a 9 2 4 1 4 9 · )= ,当且仅当? = , 即 a= ,b= 时取等号,即 + 的最小值是 . a b a b 2 3 3 a b 2 ? ?a>0,b>0,
9 2
2 2

答案

3.若正数 x,y 满足 4x +9y +3xy=30,则 xy 的最大值是________. 解析 由 x>0,y>0,得 4x +9y +3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(当且仅当 2x=3y 时等号 成立),∴12xy+3xy≤30,即 xy≤2,∴xy 的最大值为 2. 答案 2 4.(2015·重庆卷)设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________. 解析 ∵a,b>0,a+b=5,∴( a+1+ b+3) =a+b+4+2 a+1 b+3≤a+b+4+ 7 3 2 2 ( a+1) +( b+3) =a+b+4+a+b+4=18,当且仅当 a= ,b= 时,等号成立,则 2 2
2 2 2

a+1+ b+3≤3 2,即 a+1+ b+3最大值为 3 2.
答案 3 2 5.(2016·南京、盐城一模)若实数 x,y 满足 x>y>0,且 log2x+log2y=1,则

x2+y2 的最小值 x-y

1

为________. 解析 因为 log2x+log2y=log2xy=1, 所以 xy=2.因为 x>y>0, 所以 x-y>0.所以
2

x2+y2 = x-y

(x-y) +2xy 4 4 =x-y+ ≥2 4=4,当且仅当 x-y= ,即 x= 3+1,y= 3-1 x-y x-y x-y 时取等号. 答案 4 6.(2015·南通一模)已知函数 y=a +b(b>0)的图象经过点 P(1,3),如图 所示,则 4 1 + 的最小值为________. a-1 b
x x

解析 法一 (基本不等式法)由图可知 a>1,点(1,3)在函数 y=a +b 的 图像上,所以 a+b=3,且 1<a<3,0<b<3.所以 4 1 1 ? 4 +1?=1 [(a-1)+ + = ×2? ? a-1 b 2 ?a-1 b? 2

b]?


? 4 +1?=1?5+ 4b +a-1?≥9.当且仅当 4b =a-1,即 a=7,b=2时取等号,所 ? ? b ? a-1 b 3 3 ?a-1 b? 2? a-1 ? 2
4

a-1 b

1 9 + 的最小值为 . 2 4

法二 (判别式法)由法一可知 a+b=3.令 u=

a-1 b a-1 3-a
2

1 4 1 2 + = + ,去分母整理得 ua
2

-(4u+3)a+11+3u=0.因为 a∈R,当 u≠0 时,Δ =(4u+3) -4u(11+3u)=4u -20u 9 1 4 1 1 5 9 7 2 +9≥0,解得 u≥ 或 u≤ .又因为 u= + >2+ = ,所以 u≥ .当 a= ,b= 时,u 2 2 a-1 b 2 2 2 3 3 = 4 1 9 4 1 9 + = ,所以 + 的最小值为 . a-1 b 2 a-1 b 2 4

法三 (柯西不等式法)由法一可知 a+b=3,且 1<a<3,0<b<2.所以

a-1 b 2

1 1 + = [(a-1)+

b]·?
答案

? 4 +1?≥1(2+1)2=9(由柯西不等式得).以下同法一. ? 2 ?a-1 b? 2
9 2

7.(2016·苏、锡、常、镇四市调研)已知正数 x,y 满足 x+2y=2,则 ________. 解析 因为 x,y 为正数,且 x+2y=2,

x+8y 的最小值为 xy

x+8y ?1 8??x ? x 8y =? + ?? +y?= + +5≥2 xy ?y x??2 ? 2y x

x
2y

8y ·

x

4 x+8y +5=9,当且仅当 x=4y= 时,等号成立,所以 的最小值为 9. 3 xy 答案 9

2

1 1 4x 9y 8.(2015·镇江期末)已知正数 x,y 满足 + =1,则 + 的最小值为________. x y x-1 y-1 1 1 4x 9y 4x 9 4x 4 解析 因为 =1- , 所以 + = + = +9x=4+ +9(x-1)+9= y x x-1 y-1 x-1 1 x-1 x-1 1-

y

13+

4 1 1 4 +9(x-1).又因为 =1- >0, 所以 x>1, 即 x-1>0.所以 13+ +9(x-1)≥13 x-1 y x x-1

5 4x 9y +2 4×9=25,当且仅当 x= 时取等号,所以 + 的最小值为 25. 3 x-1 y-1 答案 25 二、解答题 9.已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20. (1)求 u=lg x+lg y 的最大值; 1 1 (2)求 + 的最小值.

x y



(1)∵x>0,y>0,

∴由基本不等式,得 2x+5y≥2 10xy. ∵ 2x + 5y = 20 ,∴ 2 10xy ≤ 20 ,即 xy≤10,当且仅当 2x = 5y 时等号成立 . 因此有
? ? ?2x+5y=20, ?x=5, ? 解得? ?2x=5y, ?y=2, ? ?

此时 xy 有最大值 10. ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1. ∴当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y 有最大值 1. 1 1 ?1 1? 2x+5y 1 ? 5y 2x? 1 ? (2)∵x > 0 , y > 0 ,∴ + = ? + ? · = ?7+ + ? ≥ ?7+2 x y ? 20 ? x y ?x y? 20 20 ? 7+2 10 , 20 5y 2x 当且仅当 = 时等号成立. 5y

x

2x? · ?=

y?

x

y

? 2x+5y=20, ? ?x= 3 , ? 由?5y 2x 解得? = , 20-4 10 ? x y ? y= . ? ?
10 10-20 3 1 1 7+2 10 ∴ + 的最小值为 . x y 20 10.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米, 按交通法规限制 50≤x≤100(单位:

3

千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油?2+ 小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式;

? ?

360? ?

x2 ?

升,司机的工资是每

(2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解 130 (1)设所用时间为 t= (h),

x

y=

x ? 130 130 ? ×2×?2+ ?+14× ,x∈[50,100]. 360 x x ? ?

2

130×18 2×130 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y= + x,x∈[50,100] x 360 2 340 13 (或 y= + x,x∈[50,100]). x 18 130×18 2×130 (2)y= + x≥26 10, x 360 130×18 2×130 当且仅当 = x, x 360 即 x=18 10时等号成立. 故当 x=18 10千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为 26 10元. 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 1 1 x y 11.(2015·西安模拟)设 x,y∈R,a>1,b>1,若 a =b =3,a+b=2 3,则 + 的最大

x y

值为________.

解析 由 a =b =3,得 x=loga3,y=logb3, 2 1 1 1 1 lg a+lg b lg ab ?a+b? =3,所以 则 + = + = = .又 a>1,b>1,所以 ab≤? ? x y loga3 logb3 lg 3 lg 3 ? 2 ? 1 1 lg 3 lg ab≤lg 3,从而 + ≤ =1,当且仅当 a=b= 3时等号成立. x y lg 3 答案 1 12.(2015·苏州调研)已知正实数 x,y 满足 xy+2x+y=4,则 x+y 的最小值为________. 解析 依题意得(x+1)(y+2)=6,(x+1)+(y+2)≥2 (x+1)(y+2)=2 6,即 x +y≥2 6-3,当且仅当 x+1=y+2= 6时取等号,因此 x+y 的最小值是 2 6-3. 答案 2 6-3

x

y

4

13.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知实数 x,y 满足 x>y>0,且 x+y≤2,则 最小值为________.
? ?x+3y=m, 设? 解得 ?x-y=n. ?

2 1 + 的 x+3y x-y

解析

m+3n ? ?x= 4 , m+n 2 ? m-n 所以 x+y= 2 ≤2,即 m+n≤4.设 t=x+3y+ ?y= 4 . ?

1 2 1 2n m 3+2 2 2n ?2 1? = + ,所以 4t≥? + ?(m+n)=3+ + ≥3+2 2.即 t≥ ,当且仅当 = x-y m n m n 4 m ?m n?

m ,即 m= 2n 时取等号. n
答案 3+2 2 4

14.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一 定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.

(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水处理池的长和宽,使总 造价最低,并求出最低总造价. 解 162 (1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 米.

x

2×162? ? 总造价 f(x)=400×?2x+ ?+248×2x+80×162

?

x

?

1 296×100 ? 100? =1 296x+ +12 960=1 296?x+ ?+12 960≥1 296×2

x

?

x ?



100 +12 960

x

=38 880(元), 100 当且仅当 x= (x>0),即 x=10 时取等号.

x

∴当污水处理池的长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,总造价最低为 38 880 元. 0<x≤16, ? ? 81 (2)由限制条件知? 162 ∴ ≤x≤16. 0< ≤16, 8 ? x ? 100?81 ? 设 g(x)=x+ ? ≤x≤16?, x ?8 ?

? ? g(x)在? ,16?上是增函数,∴当 x= 时(此时
81 ?8

?

81 8

162 =16),

x

5

g(x)有最小值,即 f(x)有最小值,
即为 1 296×?

?81+800?+12 960=38 882(元). ? ? 8 81 ?

81 ∴当污水处理池的长为 16 米,宽为 米时总造价最低,总造价最低为 38 882 元. 8

6


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