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河北省唐山市2012-2013学年度高三数学第二次模拟考试参考答案 理


唐山市 2012—2013 学年度高三年级第二次模拟考试 理科数学参考答案
一、选择题 A 卷:BDCAB CBABD CA B 卷:DABCC ABDAD BD 二、填空题 (13)54 (14)6 (15)100? (16)100 三、解答题 (17)解: 2 2 2 由余弦定理得,a -b =c -2bccos A, 2 将已知条件代入上式,得 ac= 3bc-c ,则 3b-c=a, ? 再由正弦定理, 3sin B-sin C=sin . 6 5? 1 3 又 sin C=sin( -B)= cos B+ sin B, 6 2 2 所以 分 因为- ? ? 5? ? ? ? <B- < ,所以 B- = ,即 B= . 6 6 6 6 6 3 … 12 3 1 1 1 ? sin B- cosB= ,即 sin(B- )= . 2 2 2 6 2 … 10

…4 分

分 (18)解: (Ⅰ)由题意得列联表: 语文优秀 语文不优秀 总计 外语优秀 60 100 160 外语不优秀 140 500 640 总计 200 600 800 2 800(60×500-100×140) 2 因为 K = ≈16.667>10.828, 160×640×200×600 所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外 语有关系. …5 分 3 (Ⅱ)由已知数据,语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 . 8 3 3 k 5 8-k k 则 X~B (3, ),P (X=k)=C8( ) ( ) ,k=0,1,2,3. 8 8 8 X 的分布列为 X 0 1 2 3 125 225 135 27 p …10 分 512 512 512 512 3 9 E (X)=3× = . … 12 8 8 分
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(19)解: (Ⅰ)连接 B1C 交 BC1 于点 P,连接 PQ. 因为直线 AB1∥平面 BC1Q,AB1?平面 AB1C,平面 BC1Q∩平面 AB1C=PQ, 所以 AB1∥PQ. z 因为 P 为 B1C 的中点,且 AB1∥PQ, B1 所以,Q 为 AC 的中点. …4 分 (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系. A1 设 AB=BC=a,BB1=b,则 P 面 BC1C 的法向量为 m=(1,0,0). 3 1 B (0,0,0),C1(0,a,b),Q ( a, a, B 4 4 0), A Q x →=(0,a,b),→=(- 3a, 3 a,b). BC1 QC1 4 4 因 QC1 与面 BC1C 所成角的正弦值为 2 , 4

C1

C

y

3 a |m·→| QC1 4 ___________=___________= 2,解得 b= 3 a. ________ 故 4 2 3 2 |m|·|→| QC1 a +b2 ? 4 ?n·→=0, QC1 设平面 C1BQ 的法向量 n=(x,y,z),则? →=0, ?n· BC1 3 3 3 - ax+ ay+ az=0, 4 4 2 即 取 n=(1,- 3,2). 3 ay+ az=0, 2

…8 分

? ? ? ? ?

… 10



m·n 2 所以有 cos ?m,n?= = . |m|·|n| 4
故二面角 Q-BC1-C 的余弦值为 2 . 4 …12 分

(20)解: (Ⅰ)f ?(x)=ln x+1-ax. f (x)单调递减当且仅当 f ?(x)≤0,即?x∈(0,+∞), ln x+1 a≥ .

x



ln x+1 ln x 设 g (x)= ,则 g ?(x)=- 2 .

x

x

当 x∈(0,1)时,g ?(x)>0,g (x)单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,g ?(x)<0,g (x)单调递减. 所以 g (x)≤g (1)=1,故 a 的最小值为 1. (Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知,当 a≥1 时,f (x)没有极值点.
理科数学答案 第页(共 5 页)

…5 分
2

(2)当 a≤0 时,f ?(x)单调递增,f ?(x)至多有一个零点,f (x)不可能有两个极值 点. …7 分 1 (3)当 0<a<1 时,设 h (x)=ln x+1-ax,则 h ?(x)= -a.

x

当 x∈(0, 当 x∈( 分 因为 f ?( 1 1

1

a

)时,h ?(x)>0,h (x)单调递增; … 9

a

,+∞)时,h ?(x)<0,h (x)单调递减. 1 1 1 1 a )=h ( )=- <0, e e e

a

)=h (

a

)=ln

a

>0,f ?(

1 1 所以 f (x)在区间( , )有一极小值点 x1. e a 分 由(Ⅰ)中的①式,有 1≥ 故 f ?( 0. 所以 f (x)在区间( 1 2 ln x+1 1 1 ,即 ln x≤x-1,则 ln ≤ -1,

… 10

x

a

a

a2

)=h (

2

a2

)=ln 2+2ln 2

1

a

+1-

2

a

≤ln 2+2(

1

a

-1)+1-

2

a

=ln 2-1<

a



a2

)有一极大值点 x2. … 12

综上所述,a 的取值范围是(0,1).

分 (21)解: (Ⅰ)依题意,曲线 E 是以(0,m)为焦点,以 y=-m 为准线的抛物线. 2 曲线 E 的方程为 x =4my. …2 分 设动圆圆心为 A (a, ),则圆 C 方程为(x-a) +(y- ) =( +m) , 4m 4m 4m 令 y=0,得(x-a) = +m . 2 当 a=0 时,圆 C 被 x 轴截得弦长取得最小值 2m,于是 m= 故曲线 E 的方程为 x =2y. (Ⅱ)假设存在题设的公共点 B (b,
2 2

a2

2

a2

2

a2

2

a2

2

1 , 2 …5 分

1 2 b ). 2 1 22 1 2 1 2 2 圆 C 方程为(x-a) +(y- a ) =( a + ) , 2 2 2 1 1 2 2 2 2 将点 B 坐标代入上式,并整理,得(b-a) [1+ (a+b) ]= (a +1) .① … 7 4 4 对 y= 1 2 x 求导,得 y?=x,则曲线 E 在点 B 处的切线斜率为 b. 2
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1 2 1 2 b- a 2 2 1 又直线 AB 的斜率 k= = (a+b). b-a 2 1 由圆切线的性质,有 (a+b)b=-1. 2 分 由①和②得 b (b -8)=0. 显然 b≠0,则 b=±2 2. 所以存在题设的公共点 B,其坐标为(±2 2,4),公切线方程为 y=2 2(x-2 2)+4 或 y=-2 2(x+2 2)+4,即 y=±2 2x-4. 分 (22)证明: ︵ (Ⅰ)连接 BD,因为 D 为BC的中点,所以 BD=DC. 因为 E 为 BC 的中点,所以 DE⊥BC. 因为 AC 为圆的直径,所以∠ABC=90?, 所以 AB∥DE. …5 分 ︵ (Ⅱ)因为 D 为BC的中点,所以∠BAD=∠DAC, 又∠BAD=∠DCB,则∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD.
B
2 2

② … 8

…9 分 … 12

D E A O C

AC AD ,AD·CD=AC·CE,2AD·CD=AC·2CE, CD CE 因此 2AD·CD=AC·BC.
所以 = (23)解: (Ⅰ)将椭圆 C 的参数方程化为普通方程,得 + =1. 4 3

…10 分

x2 y2

a=2,b= 3,c=1,则点 F 坐标为(-1,0). l 是经过点(m,0)的直线,故 m=-1. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入椭圆 C 的普通方程,并整理,得 2 2 2 (3cos α +4sin α )t -6tcos α -9=0. 设点 A,B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1,t2,则
9 9 |FA|·|FB|=|t1t2|= = . 2 2 2 3cos α +4sin α 3+sin α 当 sin α =0 时,|FA|·|FB|取最大值 3; 9 当 sin α =±1 时,|FA|·|FB|取最小值 . 4 分 (24)解: (Ⅰ)当 a=2 时,

…4 分

… 10

x<-4, ?12, ? f (x)=2(|x-2|-|x+4|)=?-4x-4,-4≤x≤2, ? x>2. ?-12,
当 x<-4 时,不等式不成立;
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当-4≤x≤2 时,由-4x-4<2,得- 当 x>2 时,不等式必成立.

3 <x≤2; 2 …6 分

3 }. 2 (Ⅱ)因为 f (x)=|ax-4|-|ax+8|≤|(ax-4)-(ax+8)|=12, 当且仅当 ax≤-8 时取等号. 所以 f (x)的最大值为 12. 故 k 的取值范围是[12,+∞). 综上,不等式 f (x)<2 的解集为{x|x>-

…10 分

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