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初高中数学衔接课程教案19-二次函数综合 - 学生版


初高中数学衔接课程教案 19 二次函数综合 一、知识点梳理 1、二次函数的最值 核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右 边三种情况。 设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ,求 f ( x ) 在 x ?[m,n] 上的最大值与最小值。 分析:将 f ( x ) 配方,得对称轴方程 x ? ? 1)当 a ? 0时,抛物线开口向上

b 2a

b ?[m,n] ,则必在顶点取得最小值,离对称轴较远端点处取得最大值; 2a b b ?[m,n] , 若? 此时函数在 [m,n] 上具有单调性, 故在离对称轴 x ? ? 较远端点处取得最大值, 2a 2a
若? 较近端点处取得最小值。 2)当 a ? 0时,同上。 综上,对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下:

当 a ? 0时: f ( x) max

b 1 ? f (m), ? ? (m ? n)(如图 1) ? ? 2a 2 ?? ? f (n), ? b ? 1 (m ? n)(如图 2) ? 2a 2 ?

f ( x) min

b ? ? ? n(如图 3) ? f (n), 2a ? b b ? ? ? f (? ), m ? ? ? n(如图 4) 2a 2a ? b ? ? ? m(如图 5) ? f (m), 2a ?
b ? ? ? n(如图 6) ? f (n), 2a ? b b ? ? ? f (? ), m ? ? ? n(如图 7) 2a 2a ? b ? ? ? m(如图 8) ? f (m), 2a ?

当 a ? 0时: f ( x) max

f ( x) min

? f (m), ? ? ?? ? f (n), ? ?

b 1 ? (m ? n)(如图 9) 2a 2 b 1 ? ? (m ? n)(如图 10) 2a 2 ?

2、二次函数的零点 零点的定义:一般地,如果函数 y ? f ? x ? 在实数 a 处的值等于 0,即 f ? a ? ? 0 ,则 a 叫做这个函数的

零点。对于函数的图像,零点也就是这个函数的图像与 x 轴的交点的横坐标。 二次函数的零点性质: 1、二次函数的图像是连续的,当它通过零点时(不是二重零点) ,函数值变号。 2、相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。 3、方程 f ? x ? ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ? x ? 的图像与 x 轴有交点 ? 函数 f ? x ? ? 0 有零点。 解题方法:1、方程的根、函数图像与 x 轴的交点的横坐标、以及函数的零点是同一个问题的三种不同 的表现形式。例如求方程根的个数,就是看对应的函数图像与 x 轴有几个交点。反过来求函数的零点个数, 则可以看方程有几个实数根。 2、函数零点的存在性的判断方法是本节的重点和难点,它指出了函数零点的一种寻找方法。对于连续 不断的函数,只需找到一个区间,使区间两端点的函数值异号,就可确定在此区间内至少有一个零点。即 则 f ? x ? 在 ? a, b ? 上有一个零点。 f ? a ? f ?b? ? 0 ? a ? b ?,
2 二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c, a ? 0 根(零点)分布解题分析的 4 个步骤(按顺序讨论) :

?

?

1、函数图像开口方向: a 的正负 2、函数特殊节点的取值正负: (一般为题中给出的区间的端点) (当 a ? 0 时,若有 f ? x0 ? ? 0 ,则不需要讨论 ? 以及下一步对称轴) 3、 ? 的正负: 4、对称轴与区间的关系: ? x ? ? 二、典型例题 例 1、已知 y ? 4a( x ? a)(a ? 0), ,求 u ? ( x ? 3) ? y 的最小值。
2 2 2

? ?

b ? ? 2a ?

例 2、已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a 的值。

例 3、已知二次函数 f ( x) 满足条件 f (0) ? 1 及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x (1)求 f ( x) ; (2)求 f ( x) 在区间 [?1 , 1] 上的最大值和最小值

例4、 已知关于 x 的函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? m ?1? x ? 2m ? 6 ,当函数图像经过点 ? 0,1? 时,试证明函数有 两个不等的零点,且分别在 ? 0,1? 和 ? 6, 7 ? 内。

例 5、无论 m 取何值时,方程 m( x ? ) ? x 2 ? 3 x ? 2 的实根个数为() A 、0 个 B 、1 个 C、 2 个 D、 3 个

3 2

例 6、如果函数 f ? x ? ? x 2 ? bx ? c 对任意实数 t 都有 f ? 2 ? t ? ? f ? 2 ? t ? ,那么() A、 f (2) ? f (1) ? f (4) C、 f (4) ? f (2) ? f (1) B、 f (2) ? f (4) ? f (1) D、 f (1) ? f (2) ? f (4)

例 7、 已知二次函数 f ? x ? ? ax 2 ? bx ( a , b 为常数)且 a ? 0 满足条件: f ? ? x ? 5? ? f ? x ? 3? , f ? x ? ? x 有等根 (1) 求 f ? x ? 的解析式 (2) 是否存在实数 m, n 使 f ? x ? 的定义域和值域分别为 ? m, n? 和 ?3m, 3n? ,如果存在,求出 m, n , 如果不存在说明理由。

三、巩固练习 1、已知二次函数的图像经过点 ? 0,1? ,当 x ? 2 时,函数的最小值为 ?3 ,则函数的解析式为.
2 2、已知 ? , ? 是 x 的二次方程 x ? 2ax ? a ? 6 ? 0 的两实数根,则 ?? ? 1? ? ? ? ? 1? 的最小值为.
2 2

3、将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最小,正方 形的周长应为. 4、若 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 3 y 的值域为.
2
2 5、当 x ? ?1, 2? 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是. 2 6、关于 x 的实系数方程 x ? ax ? 2b ? 0 的一根在区间 0,1 上,另一根在区间 1, 2 上,则 2a ? 3b 的最大

? ?

? ?

值为.
2 2 7、关于 x 的不等式 a ? 1 x ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是()

?

?

A、 a ? ? 或 a ? 1 C、

3 5

B、 ?

3 ? a ?1 5

3 ? a ? 1 或 a ? ?1 5
2

D、以上均不对

8、若函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 满足 f ? 4? ? f ?1? ,那么()

A、 f ? 2? ? f ?3? C、 f ?3? ? f ? 2?

B、 f ?3? ? f ? 2? D、 f ? 3? 与 f ? 2 ? 大小不能确定

9、函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像经过四个象限的充要条件是() A、 a ? 0 且 f ? ?

? b ? ??0 ? 2a ?

B、 a ? 0 且 b2 ? 4ac ? 0 D、 a ? f ? 0 ? ? 0

C、 a ? 0 且 b ? 0
2 2

10、已知函数 f ? x ? ? 4x ? 4ax ? a ? 2a ? 2 在区间 0, 2 上有最小值 3,求 a 的值.

?

?

11、 已知函数 f ? x ? ? ax ? ?b ? 8? x ? a ? ab , 当 x ? ? ?3 ,2
2

当 x ?? ? ??, 3 ? ?2 , ? ? ? 时,f ? x? ? 0 ; ?

? 时,

f ? x? ? 0 .
(1)求 f ? x ? 在 0,1 内的值域;
2 (2) c 为何值时, ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R .

? ?

2 12、设函数 f ? x ? ? ax ? 2x ? 2 ,对于满足 1 ? x ? 4 的一切 x 值都有 f ? x ? ? 0 ,求实数 a 的取值范围.


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