3.3 直线的交点坐标与距离公式

航天 花园

3.3 直线的交点坐标与 距离公式

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

主要内容
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离

3.3.3 点到直线的距离
3.3.4两条平行直线间的距离

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

3.3.1
两条直线的交点坐标

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？

用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写 出这两条直线的方程，然后联立求解.

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

几何概念与代数表示
几何元素及关系
点A 直线l 点A在直线l上 代数表示

航天 花园

A(a, b) l : Ax ? By ? C ? 0
A的坐标满足方程 l : Aa ? Bb ? C ? 0 A的坐标是方程组的解

直线l1与l2的交点是A

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
张老师：180 8004 2143

航天花园 家教中心

航天 花园

对于两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,

若方程组

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的 位置关系如何？
两直线有一个交点， 重合、平行
航天花园 家教中心 张老师：180 8004 2143

航天 花园

例1. 求下列两条直线的交点坐标

l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

当?变化时，方程

3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0
表示什么图形？图形有何特点？ 表示的直线包括过交点M（-2，2）的一族直线

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求出其交点的坐标.

（1）l1：x ? y ? 0,

l2：x ? 3y ? 10 ? 0 ; 3

6 3 （2） l1：x ? y ? 4 ? 0, l2：x ? 2y ? 1 ? 0;
6 3 （3）l1：x ? 4y ? 5 ? 0, l2：x ? 8y ? 10 ? 0.

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

例3 求经过两直线3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交 点，且斜率为3的直线方程.

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点 P在第一象限，求k的取值范围.

y B o P
航天花园 家教中心 张老师：180 8004 2143

A

x

航天 花园

小结
1.求两条直线的交点坐标 2.任意两条直线可能只有一个公共点，也可能 没有公共点（平行） 3.任意给两个直线方程，其对应的方程组得解 有三种可能可能： 1）有惟一解 2）无解 3）无数多解

4.直线族方程的应用
航天花园 家教中心 张老师：180 8004 2143

航天 花园

作业
P109 习题3.3A组：1，3，5. P110 习题3.3B组：1.

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

3.3.2

两点间的距离

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如何
点P1和P2的距离|P1P2|？ y P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

O
航天花园 家教中心

x
张老师：180 8004 2143

两点间距离公式推导
y y2

航天 花园

P2(x2, y2)

| P2Q |?| y2 ? y1 |
y1
P1(x1,y1) x1

Q(x2,y1)
x2 x

O

| PQ |?| x2 ? x1 | 1
航天花园 家教中心 张老师：180 8004 2143

两点间距离公式

航天 花园

一般地，已知平面上两点P1(x1， 1 )和P2(x2，y2)， y 利用上述方法求点P1和P2的距离为

| P P2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1
2

2

特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为

| OP |?

x2 ? y 2

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

例1 已知点 A(?1,2) 和 B(2, 7 ) , 在x轴上 求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和. 证明：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系. 则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)

y
D (b,c) C (a+b,c) x
建立坐标系， 用坐标表示有 关的量。

A(0,0)
航天花园 家教中心

B(a,0)

张老师：180 8004 2143

例2题解
y | CD | ? a 2 2 2 | BC |2 ? b2 ? c 2 | AD | ? b ? c
2 2 2 2

航天 花园

| AB | ? a

D (b,c)

C (a+b,c)

| AC |2 ? (a ? b) 2 ? c 2 | BD |2 ? (b ? a) 2 ? c 2
2 2 2 2

A (0,0)
2 2

B (a,0)
2

x

| AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ? 2(a ? b ? c ) | AC |2 ? | BD |2 ? 2(a 2 ? b2 ? c 2 ) | AB | ? | CD | ? | AD | ? | BC | ?| AC | ? | BD |
2 2 2 2 2 2

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角 线的平方和.
航天花园 家教中心 张老师：180 8004 2143

航天 花园

用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量

第二步：进行 有关代数运算

第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
航天花园 家教中心 张老师：180 8004 2143

航天 花园

小结
1.两点间距离公式

| P P2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y 1 ) 1
2

2

2.坐标法 第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量 第二步:进行有关代数运算

第三步:把代数运算结果翻译成几何关系
航天花园 家教中心 张老师：180 8004 2143

航天 花园

拓展
已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直线 P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2 的距离公式可作怎样的变形？

y2 ? y1 ? k ( x2 ? x1 )
| P P2 |?| x2 ? x1 | 1 ? k 2 1 1 ?| y2 ? y1 | 1 ? 2 k
航天花园 家教中心 张老师：180 8004 2143

航天 花园

例3 设直线2x-y+1=0与抛物线

y ? x ? 3x ? 4
2

相交于A、B两点，求|AB|的值.

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

作业
P106练习：1，2. P110习题3.3 A组：6，7，8.

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

3.3.3

点到直线的距离

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax +By +C=0，如 何求点P到直线 l 的距离？
点P到直线 l 的距离，是指从点P0到直线 l 的 垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足． y

Q
P0 o
航天花园 家教中心

l

x
张老师：180 8004 2143

航天 花园

分析思路一：直接法

y
Q

直线 l 的方程 直线 l 的斜率

O

P0

l
x

l ? P0Q
点P0的坐标 直线P Q 的斜率 0

直线 l 的方程 点P0的坐标
0

直线P Q 的方程 0

点Q 的坐标

点P、Q之间的距离
航天花园 家教中心

P0Q

（点

P0

到

l 的距离）

张老师：180 8004 2143

航天 花园

分析思路二：用直角三角形的面积间接求法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
P0Q ? P0 S ? P0 R SR

y
求出P0R 求出P0S

S

利用勾股定理求出SR

d

Q
R

P0
面积法求出P0Q
航天花园 家教中心

l
x

O

张老师：180 8004 2143

航天 花园

y

Ax0 ? C ? ? S ? x0, ? B ? ? ?

Q l : Ax ? By ? C ? 0 d

y0
O

P0 (x0,y0)

? By0 ? C ? ? , y0 ? R? A ? ?

x0

x

1 | P0 S || P0 R | 2
航天花园 家教中心

?

1 d | SR | 2
张老师：180 8004 2143

点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线 l ：Ax +By +C=0的距离为： | Ax0 ? By0 ? C | d? A2 ? B 2

航天 花园

特别地，当A=0，B?0时， 直线By+C=0
| By0 ? C | C d? ?| y0 ? | |B| B

特别地，当B=0，A?0时， 直线Ax+C=0
d? | Ax0 ? C | C ?| x0 ? | | A| A
张老师：180 8004 2143

航天花园 家教中心

航天 花园

y

|y1-y0|
y ? y1

y1 y0 O
航天花园 家教中心

|x1-x0|
x ? x1

P0 (x0,y0)
x0 x1 x
张老师：180 8004 2143

航天 花园

点到坐标轴的距离
y y0

|x0|
P0 (x0,y0)

|y0|
O x0 x

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

， 例1.求点P0 ?? 1 2 ? 到直线 l : 3x ? 2 的距离．
解： d ?
3 ? ?? 1? ? 2 32 ? 0 2 5 ? 3

思考：还有其他解法吗？

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

例2 已知点 A?1 3?，B?3， C ?－ ，?，求 ?ABC ， 1?， 10 的面积． 分析：如图，设 AB 边上的高为 h ，则 y 1 S ?ABC ? AB ? h . 4 A 2
AB ?
的距离．

?3 ? 1?2 ? ?1 ? 3?2

?2 2.

3 2 1

h
1 2 3

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB

B
x

C

-1 O

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

y ? 3 x ?1 ? ， 解：AB 边所在直线的方程为： 1 ? 3 3 ?1
即：x ? y ? 4 ? 0 . 点 C ?? 1，? 到 x ? y ? 4 ? 0 0 的距离

y
4 3 2 h 1

A B
3

h?
因此

?1? 0 ? 4 12 ? 12

5 ? . 2

S ?ABC

1 5 -1 O ? ?2 2? ? 5. 2 2

C

1 2

x

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

小结
点到直线的距离公式的推导及其应用 点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为：
d? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

作业
P110习题3.3A组：8,9. 3.3B组：2,4

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

3.3.4 两条平行直线间的 距离

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长
两平行线间的距离处处相等

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

1. 怎样判断两条直线是否平行？

2.设l1//l2，如何求l1和l2间的距离？ 1）能否将平行直线间的距离转化为点到直线 的距离？ 2) 如何取点，可使计算简单？

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

例1 已知直线 l : 2x ? 7 y ? 8 ? 0 和 l : 6 x ? 21y ? 1 ? 0 2 1 l1 与l2 是否平行？若平行,求 l1与 l2的距离.

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
解： 在l2上任取一点，如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离

两平行线间的 距离处处相等

? d?

2?3 ? 7?0 ? 8 2 ? ( ?7 )
2 2

?

14

14 53 ? 53 53

直线到直线的距离转化为点到直线的距离
航天花园 家教中心 张老师：180 8004 2143

航天 花园

例3. 求证：两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0间的距离为

d?

| c1 ? c2 | A ?B
2

2

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

例4 已知P在x 轴上, P到直线l1: x- 3 y +7=0 与直线 l2:12x-5y+40=0 的距离相等, 求P点坐标。 解：设P(x,0), 根据P到l1、 l2距离相等，列式为
x ? 3 ?0? 7 12 ? ( ? 3 ) 2
? 12 x ? 5 ? 0 ? 40 12 2 ? ( ?5) 2

171 x ?1 或 x ? ? 37 171 ,0) 所以P点坐标为：(1,0) 或 ( ? 37
航天花园 家教中心 张老师：180 8004 2143

航天 花园

小结
1. 两条平行直线间距离的求法 转化为点到直线的距离 2. 两条平行直线间距离公式

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143

航天 花园

作业
P110习题3.3A组： 10. 习题3.3B组：3，6，9

航天花园 家教中心

张老师：180 8004 2143