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2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第2讲 直接证明与间接证明练习 理


2017 版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步、复数 第 2 讲 直接证明与间接证明练习 理
基础巩固题组 (建议用时:35 分钟) 一、填空题 1.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使 + ≥2 成立的条件的 序号是________. 解析 要使 + ≥2,只需 >0 成立,即 a,b 不为 0 且同号即可,故①③④能使 + ≥2 成立. 答案 ①③④ 2.设 a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>2;②a +b >2.其中能推出:“a,b 中至 少有一个大于 1”的条件的是________(填序号). 答案 ① 3. 6+ 7与 2 2+ 5的大小关系为________. 解析 要比较 6+ 7与 2 2+ 5的大小, 只需比较( 6+ 7) 与(2 2+ 5) 的大小, 只需比较 6+7+2 42与 8+5+4 10的大小, 只需比较 42与 2 10的大小, 只需比较 42 与 40 的大小, ∵42>40, ∴ 6+ 7>2 2+ 5. 答案 6+ 7>2 2+ 5
2 2 2 2

b a a b

b a a b

b a

b a a b

1 a 4.“a= ”是“对任意正数 x,均有 x+ ≥1”的________条件(填“充分不必要、必要不充 4 x 分、充要、既不充分也不必要”). 1 4 1 解析 当 a= 时,x+ ≥2 4 x 然不成立. 答案 充分不必要 5.已知 m>1,a= m+1- m,b= m- m-1,则 a,b 的大小关系是________. 解析 ∵a= m+1- m= 1 1 4 1 1 x· =1,当且仅当 x= ,即 x= 时取等号;反之,显 x 4x 2

m+1+ m
.



b= m- m-1=

1

m+ m-1

1

而 m+1+ m> m+ m-1>0(m>1), ∴ 1

m+1+ m

<

1

m+ m-1



即 a<b. 答案 a<b 6.若 a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的序号是________. ①lg(1+a )>0;②a +b ≥2(a-b-1);③a +3ab>2b ;④ <
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a a+1 . b b+1
2 2

解析 在②中,∵a +b -2(a-b-1)=(a -2a+1)+(b +2b+1)=(a-1) +(b+1) ≥ 0, ∴a +b ≥2(a-b-1)恒成立. 答案 ② 7.①已知 p +q =2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2;②已知 a,b∈R, |a|+|b|<1,求证方程 x +ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1,用反证法证明时可假设方 程 有 一 根 x1 的 绝 对 值 大于 或 等 于 1 , 即 假 设 |x1| ≥ 1. 则 ① 与 ② 的 假 设 中 正 确 的 是 ________(填序号). 解析 反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是 p+q>2,所以①不正确;对 于②,其假设正确. 答案 ② 8.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证 b -ac < 3a”索的因应是________(填“a-b>0、a-c>0、(a-b)(a-c)>0、(a-b)(a-c) <0”中的其中一个). 解析 由题意知 b -ac< 3a?b -ac<3a ?(a+c) -ac<3a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2

?a +2ac+c -ac-3a <0 ?-2a +ac+c <0 ?2a -ac-c >0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 答案 (a-b)(a-c)>0 二、解答题 9.若 a,b,c 是不全相等的正数,求证: lg
2 2 2 2

2

a+b
2

+lg

b+c
2

+lg

c+a
2

>lg a+lg b+lg c.

证明 ∵a,b,c∈(0,+∞),

2



a+b
2

≥ ab>0,

b+c
2

≥ bc>0,

a+c
2

≥ ac>0.

又上述三个不等式中等号不能同时成立. ∴

a+b b+c c+a
2 · 2 · 2

>abc 成立.

上式两边同时取常用对数, 得 lg? ∴lg

?a+b·b+c·c+a?>lg abc, 2 2 ? ? 2 ?
2 +lg

a+b

b+c
2

+lg

c+a
2

>lg a+lg b+lg c.

10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列. (1)解 当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则 a1=1. 又 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2, 1 1 1 两式相减得 an+1= an,所以{an}是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 an= n-1. 2 2 2 (2)证明 反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r, 且 p,q,r∈N ), 1 1 1 r-q r-p 则 2· q= p+ r,所以 2·2 =2 +1.① 2 2 2 又因为 p<q<r,所以 r-q,r-p∈N . 所以①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命题得证. 能力提升题组 (建议用时:15 分钟) 1 9 11.已知 a,b,μ ∈(0,+∞),且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围是
* *

a b

________. 1 9 解析 ∵a,b∈(0,+∞),且 + =1,

a b

?1 9? ?9a b? ∴a+b=(a+b)? + ?=10+? + ?≥10+2 9=16(当且仅当 a=4,b=12 时等号成 ?a b? ?b
a?
立),∴a+b 的最小值为 16. ∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ ,∴0<μ ≤16. 答案 (0,16]

3

1 1 1 12.设 a, b, c 均为正实数, 则对三个数 a+ , b+ , c+ , 下列结论正确的序号是________.

b

c

a

①都大于 2;②都小于 2;③至少有一个不大于 2;④至少有一个不小于 2. 解析 ∵a>0,b>0,c>0,

? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ∴?a+ ?+?b+ ?+?c+ ?=?a+ ?+?b+ ?+ ?
b? ? c? ? a? ? a? ? b?

?c+1?≥6,当且仅当 a=b=c=1 时, “=”成立,故三者不能都小于 2,即至少有一个不 ? c? ? ?
小于 2. 答案 ④ 13.凸函数的性质定理: 如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数, 则对于区间 D 内的任意 x1, x2, ?,

f(x1)+f(x2)+?+f(xn) x1+x2+?+xn xn,有 ≤f( ),已知函数 y=sin x 在区间(0, n n
π )上是凸函数,则在△ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值为________. 解析 ∵f(x)=sin x 在区间(0,π )上是凸函数,且 A、B、C∈(0,π ). ∴

f(A)+f(B)+f(C)
3

≤f?

?A+B+C?=f?π ?, ? ? ? ? 3 ? ?3?
π 3 3 = , 3 2

即 sin A+sin B+sin C≤3sin

3 3 所以 sin A+sin B+sin C 的最大值为 . 2 答案 3 3 2
2

14.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)=0,且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是函数 f(x)的一个零点;

a

1 (2)试用反证法证明 >c.

a

证明 (1)∵f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根,

c 1 1 又 x1x2= ,∴x2= ( ≠c), a a a
1 1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根.即 是函数 f(x)的一个零点.

a

a

4

1 1 (2)假设 <c,又 >0,由 0<x<c 时,f(x)>0,

a

a

1 ?1? ?1? 知 f? ?>0 与 f? ?=0 矛盾,∴ ≥c,

?a?
a

?a?

a

1 1 又∵ ≠c,∴ >c.

a

5


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