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平行四边形的性质和判定讲义


中小学个性化辅导专家

平行四边形
一、知识梳理
1.平行四边形: (1)平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形用符号“ 边形 ABCD 记作 ,读作平行四边形 ABCD. ”表示.平行四

2.平行四边形的性质: (1) 平行四边形的对边平行且相等. (2).平行四边形的对角相等,邻角互补。 (3)平行四边形的对角线互相平分. (4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点,则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,且 这条直线二等分平行四边形的面积. ABCD 中,∠A 的平分线分 BC 成 4cm 和 3cm 两条线段, 例 1. ABCD 的周长为 则 .

ABCD 中,∠C=60?,DE⊥AB 于 E,DF⊥BC 于 F. 例 2.在 D (1)则∠EDF= ; (2)如图,若 AE=4,CF=7, ABCD 周长= 则 ; F
A E B

C

例 3.在平行四边形 ABCD 中,已知∠A=40°,则∠B=

,∠C=

,∠D=

.

例 4。 .中, 周长为 20cm, 对角线 AC 交 BD 于点 O, △OAB 比△OBC 的周长多 4, 则边 AB=____________, BC=____________. 变式训练.如图,在平行四边形 ABCD 中,已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O,Δ AOB 的周长为 15,AB=6,那么对 角线 AC 和 BD 的和是多少?

例 5、如图,在□ABCD 中,O 是对角线的交点,过 O 的直线交 AB 于 E,交 DC 于 F,图中全等三角形共有 (
A E O F D



A.2 对 B.3 对 C.6 对 D.8 对 C 3.两条平行线间的距离: (1)定义:两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离. (2)两平行线间的距离处处相等.

B

1

中小学个性化辅导专家 例 6、有以下四个说法: ①两点的距离,点到直线的距离,两条平行线间的距离,都是指某种线段的长. ②如果两点的位置固定,那么它们的距离是定值. ③如果一点和一条直线的位置固定,那么它们的距离是定值. ④两条平行线间的距离不是定值 其中正确说法的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.平行四边形的面积: (1)如图①, .

(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等. 如图②, 有公共边 BC,则



例 7、如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AB=10,AD=8,AC ? BC,求 AC、OA 以及平行四边形 ABCD 的面积

变式训练:1、平行四边形两邻边分别是 4 和 6,其中一边上的高是 3,则平行四边形的面积是____________. 2、平行四边形的周长为 20cm ,AE⊥BC 于 E,AF⊥CD 于 F,AE=2 cm,AF=3 cm,求平行四边形 ABCD 的面积。

5.平行四边形的判别方法: (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形例. 例 8 如图所示,∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4,问四边形 ABCD 是不是平行四边形.

2

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变式训练:平行四边形 ABCD 中,M、N 分别为 AD、BC 的中点,连结 AN、DN、BM、CM,且 AN、BM 交于点 P, CM、DN 交于点 Q.四边形 MGNP 是平行四边形吗?为什么?

★2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形 例 9 如图,在 ABCD 的各边 AB、BC、CD、DA 上,分别取点 K、L、M、N,使 AK=CM、BL=DN,则四边形 KLMN 为平行四边形吗?说明理由.

变式训练:如图所示,在四边形 ABCD 中,AB=CD,BC=AD,E,F 为对角线 AC 上的点,且 AE=CF,求证:BE=DF.

★3.一组对边平行且相等的四边形为平行四边形 例 10 如图,□ABCD 中,E、F 分别在 BA、DC 的延长线上,且 AE=

1 1 AB,CF= CD,试证明 AECF 为平行四边形. 2 2

3

中小学个性化辅导专家 变式训练:如图,AD=BC,∠DAC=∠BCA,试判断四边形 ABCD 是平行四边形吗?请说说你的理由. (7 分) B

C

A

D

★4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形 例 11(2008 湖北恩施)如图,在平行四边形 ABCD 中,∠ABC 的平分线交 CD 于点 E,∠ADC 的平分线交 AB 于点 F.试证明四边形 DFBE 为平行四边形.

变式训练:在四边形 ABCD 中,已知∠ A=∠ C,∠ B=∠ D,求证四边形 ABCD 为平行四边形。

★5.对角线互相平分的四边形为平行四边形 例 12(2010 江苏宿迁)如图,在□ABCD 中,点 E、F 是对角线 AC 上两点,且 AE=CF. 求证:∠EBF=∠FDE.

变式训练:如图,□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O,若 OE=OF, 求证:四边形 BFDE 是平行四边形

D F E A O B

C

4

中小学个性化辅导专家 6.三角形中位线: 定义:连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半。 例 13.如图所示,DE 是△ABC 的中位线,BC=8,则 DE=_______.

7、平行四边形知识的运用: (1)直接运用平行四边形特征解决某些问题,如求角的度数,线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相 等或倍分等. (2)识别一个四边形为平行四边形,从而得到两直线平行. (3)先识别—个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的特征去解决某些问题.

基础自测 一、相信你的选择(每小题 3 分,共 21 分) 1.如图 1,在平行四边形 ABCD 中,下列各式不一定正确的是 (A) ?1 ? ?2 ? 180 ? (B) ?2 ? ?3 ? 180 ? (C) ?3 ? ?4 ? 180 ? (D) ?2 ? ?4 ? 180 ?



) .

图1 图2 2.如图 2,在□ABCD 中,EF//AB,GH//AD,EF 与 GH 交于点 O,则该图中的平行四边形的个数共 有 ( ). (A)7 个 (B)8 个 (C)9 个 (D)11 个 3.下列给出的条件中,能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是 ( ). (A)AB∥ CD ,AD=BC (B)AB=AD,CB=CD (C)AB=CD,AD=BC (D)∠ B=∠ C,∠ A=∠ D 5 . 如 图 3 , 在 □ABCD 中 , ∠ B=110°延 长 AD 至 F, 延 长 CD 至 E, 连 接 EF, 则 ∠ , E+∠ 的 值 为 F ( ). (A)110° (B)30° (C)50° (D)70°

图5
5

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图3 图4 6.如图 4,□ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,将△AOD 平移至△BEC 的位置,则图中与 OA 相等的其它线段有 ( ). (A)1 条 (B)2 条 (C) 3 条 (D) 4 条 7.如图 5,点 D、E、F 分别是 AB、BC、CA 边的中点,则图中的平行四边形一共有( ). (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 8. (08 泰州市)在平面上,四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O,且满足 AB=CD.有下列四 个条件: (1)OB=OC; (2)AD∥BC; (3)
AO DO ? ; (4)∠OAD=∠OBC.若只增加其中的一个 CO BO

条件,就一定能使∠BAC=∠CDB 成立,这样的条件可以是 A. (2)(4) 、 B. (2) C. (3)(4) 、 D. (4)

二、试试你的身手(每小题 4 分,共 24 分) 1.在平行四边形 ABCD 中,若∠ A-∠ B=70° ,则∠ A=_______,∠ B=_______, ∠ C=_______,∠ D=_________. 2.在□ABCD 中,AC⊥ BD,相交于 O,AC=6,BD=8,则 AB=________,BC= _________. 3.如图 6,已知□ABCD 中,AB=4,BC=6,BC 边上的高 AE=2,则 DC 边上的高 AF 的长是________.

图6 图7 4.如图 7,△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 边的中点,且 DE=6cm,则 BC=__________. 5. 40cm 长的长绳围成一个平行四边形, 用 使长边与短边的比是 3: 则长边是____cm,短边是_____cm. 2,

图9 图 10 6.如图 9,□ABCD 中,DB=DC,∠ C=70° ,AE⊥ 于 E,则∠ BD DAC=_____度. 7.如图 10,E、F 是□ABCD 对角线 BD 上的两点,请你添加一个适当的条件: ,使四边形 AECF 是平行四边形. 三、解答题 1.如图 11,在□ABCD 中,已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O,△AOB 的周长为 25,AB=12,求对角 线 AC 与 BD 的和.

图 11
6

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2. 如图 12,在□ABCD 中,已知点 E 和点 F 分别在 AD 和 BC 上,且 AE=CF,连结 CE 和 AF,试说明四边形 AFCE 是平行四边形. 图 12

3.如图 13 ,□ABCD 中,BD⊥AB,AB=12cm,AC=26cm,求 AD、BD 长.

图 13 4.如图 14,E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE. 求证: (1)⊿AFD≌⊿CEB. (2)四边形 ABCD 是平行四边形.

家庭作业
1.如图所示,在平行四边形ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点O,下列式子中一定成立的是 A.AC ? BD B.OA=OC C.AC=BD D.AO=OD ( ) 2.如图,平行四边形的周长为 28cm , ? ABC 的周长是 22cm ,则 AC 的长为 ( ) A. 6cm B. 12 cm C. 4cm D. 8cm 3.如图,在平行四边形 ABCD 中,AD=5,AB=3,AE 平分 ? BAD 交 BC 边于点 E,则线段 BE、EC 的长度分别 为 A.2 和 3 B.3 和 2 C.4 和 1 D.1 和 4 A A O B C 第 2 题 4.将一张平行四边形的纸片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积,则这样的折纸方法共有 A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.无数种 ( ) 5.平行四边形 ABCD 中, ? A : ? B: ? C: ? D 的值可以是 ( A.4:3:3:4 B.7:5:5:7 C.4:3:2:1 D.7:5:7:5 6.如图,在平行四边形 ABCD 中,延长 BA 至 E, 下列各式不一定成立的是 ( ) 第1题 C
7

D

D

B

)

中小学个性化辅导专家 A. ? 1+ ? 2=180 C. ? 3+ ? 4=1800 A
0

B. ? 2+ ? 3=180 D. ? 2+ ? 4=1800 D

0

E A 2 3 第6题 1 4 C D

B

E

第3题

C

B

7.两个全等的不等边三角形,可以拼成(不许重叠)形状不同的平行四边形的个数最多为 A.2 B.3 C.4 D.5 ( ) 8.已知平行四边形的一条边长为 14,下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是 A. 10 与 16 B.12 与 16 C.20 与 22 D.10 与 40 ( ) 9.如图,EF 过平行四边形 ABCD 对角线的交点 O,并交 AD 于 E,交 BC 与 F,若 AB=4,BC=5,OE=1.5,那么 四边形 EFCD 的周长是 ( ) A.16 B.14 C.12 D.10 A E O B 第9题 F C B D E H A O 第 10 题 G F C D

10.如图,在平行四边形 ABCD 中,EF∥BC,GH∥AB,EF、GH 的交点 O 在 BD 上,则图中面积相等的平行四边 形有 ( ) A A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 D F B

C 第 11 题 E 11.在平行四边形 ABCD 中,AE ? BC 于 E,AF ? CD 于 F,若 AE=4,AF=6,平行四边形 ABCD 的周长为 40, 则 S 平行四边形 ABCD . 0 12.自平行四边形 65 角的顶点作平行四边形的两条高,则这两条高的夹角为 . 13 . O 是 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 的 交 点 , ? ABO 的 面 积 为 5 cm , 则 这 个 平 行 四 边 形 的 面 积 A 为 . E 14.如图,等腰 ? ABC 中,AB=AC,AB=8 cm ,D 为 BC 上任意一点,DE∥AC,DF∥AB,则平行四边 F 形 AEDF 的周长为 . B D C 第 14 题
2

15.在平行四边形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,AB:BC=1:2,则 ? AMD=
8



中小学个性化辅导专家 16 . 平 行 四 边 形 ABCD 一 个 内 角 平 分 线 把 一 条 边 分 成 4cm 和 5cm 两 段 , 则 平 行 四 边 形 ABCD 的 周 长 为 . 17.如图,平行四边形 ABCD 中,BC=2AB,现要截 取一个直角三角形,使 BC 为斜边,且直角顶点 E 在 AD 上,则 E 为 AD 的 . B A D

第 17 题

C

18.已知,如图,平行四边形 ABCD 中, ? BCD 的平分线交 AB 于 E,交 DA 的延长线于 F,试说明 AE=AF. D

C

A F

E 第 18 题

B

19.如图,平行四边形 ABCD 的相邻边 AD:AB=5:4,过点 A 作 AE ? BC,AF ? CD,垂足分别为 E、F,AE=4 cm , 求 AF 的长. A

D F

B

E 19 题

C

20.如图所示,平行四边形 ABCD 中,BC=2AB,AF=AB=BE,且点 E、F 在直线 AB 上,求 ? EOF 的度数. D O C

F

A 第 20 题

B

E

21.如图所示,M、N 分别为平行四边形 ABCD 边 BC、CD 上的点,且 MN∥BD,则 ? AND 的面积 ? ABM 的面 D
9

N M

C

中小学个性化辅导专家 积怎样?请说明理由.

10


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