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2014圆锥曲线中的定点和定值问题(答案2)


圆锥曲线中的定点和定值问题
课前热身: 1、求证:直线 ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 ?m ? R? 恒过某一定点 P,并求该定点的坐标。

证明:







=0,解方程组



令点 P

为(3,1),因点 P(3,1)满足



所以也满足



进一步得点 P(3,1)满足



故直线

恒过定点 P(3,1)。

2、求证:曲线 ? 点的坐标。

? m2 ? 4 ? ?1 2 ? m ? x ??1 ? x ? ? ?m ? y ?? ? y? ? ? ?m ? R ? 恒过某两定点,并求该定 ?4 ? ? 2m ?
7 )例 3.(2102 福建文 21) 4

解:(0,1)(0, ?

一、定点问题 1、直线(曲线)过定点 方法一:求出直线方程(含参数),证明直线过定点; (一般设直线为 y=kx+b 或 x=my+n,消去其中一个参数)
2 例 1 、 已 知 定 点 M ( x0 ,y 0) 在 抛 物 线 m : y ? 2 px ( p > 0 ) 上 , 动 点 A, B? m且

MA MB ? 0 .求证:弦 AB 必过一定点.
【解析】设 AB 所在直线方程为: x ? my ? n . 与抛物线方程 y 2 ? 2 px 联立,消去 x 得

y 2 ? 2 pmy ? 2 pn ? 0 .
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 y1 ? y2 ? 2 pm ……①
1

y1 y2 ? ?2 pn ……②
由已知 MA MB ? 0 得, KMA KMB ? ?1 .即

y1 ? y0 y2 ? y0 ? ?1 ……③ x1 ? x0 x2 ? x0

∵ x1 ? x0 ?

1 1 ( y12 ? y0 2 ) ? ( y1 ? y0 )( y1 ? y0 ) 2p 2p 1 1 ( y2 2 ? y0 2 ) ? ( y2 ? y0 )( y2 ? y0 ) 2p 2p
2p 2p ? ?1, y1 ? y0 y2 ? y0

x2 ? x0 ?

∴③式可化为

即 4 p2 ? ?[ y1 y2 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y02 ] . 将①②代入得, n ? 2 p ? my0 ? x0 . 直线 AB 方程化为: x ? my ? 2 p ? x0 ? my0 ? m( y ? y0 ) ? x0 ? 2 p . ∴直线 AB 恒过点 ( x0 ? 2 p, ? y0 ) .
方法二:找出定点,证明直线过定点(三点共线) 例 2、在平面直角坐标系 xOy 中,如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、 9 5

右顶点为 A、B,右焦点为 F.设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与此椭圆 分别交于点 M(x1,y1)、N(x2,y2),其中 m>0,y1>0,y2<0. 2 2 (1)设动点 P 满足 PF -PB =4,求点 P 的轨迹; (2)设 x1=2,x2=

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t=9,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关). 【答案】解:由题设得 A(-3,0),B(3,0),F(2,0). (1)设点 P(x,y),则 PF2=(x-2)2+y2,PB2=(x-3)2+y2.

由 PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,化简得 x=

.

故所求点 P 的轨迹为直线 x=

.

2

(2)由 x1=2,

=1 及 y1>0,得 y1=

,则点 M(2,

),从而直线 AM 的方程

为 y=

x+1;

由 x2=



= 1 及 y2<0,得 y2=-

,则点 N(

,-

),从而直线 BN

的方程为 y=

.



所以点 T 的坐标为(7,

).

(3)由题设知,直线 AT 的方程为 y=

(x+3),直线 BT 的方程为 y=

(x-3).

点 M(x1,y1)满足



.

因为 x1≠-3,则



解得 x1=



3

从而得 y1= 点 N(x2,y2)满足.

.

若 x1=x2,则由 x=1,过点 D(1,0).

及 m>0,得 m=2

,此时直线 MN 的方程为

若 x1≠x2,则 m≠2

,直线 MD 的斜率 kMD=



直线 ND 的斜率 kND= 所以直线 MN 过 D 点. 因此,直线 MN 必过 x 轴上的点(1,0)
例 3.(2102 福建文 21)

, 得 kMD=kND,

如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛 物线 E : x ? 2 py( p ? 0) 上.
2

(I)求抛物线 E 的方程; (II)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ,与直线 y ? ?1 相交于点 Q .证明以 PQ 为直径 的圆恒过 y 轴上某定点. (若取消过 y 轴上如何?) 2.解:依题意 | OB | = 8 3 , ?BOy ? 30? , 设 B ( x, y ) ,则 x=|OB|sin30? ? 4 3 , y =|OB|cos30? ? 12 .
2 2 因为点 B(4 3,12) 在 x ? 2 py 上,所以 ( 4 3 ) ? 2 p ?12 ,解得 p ? 2 .

所以抛物线 E 的方程为 x ? 4 y .
2

(2)解法一 (用恒成立法求出定点,不用证明)

4

由(1)知 y ?

1 2 x , 4

y? ? 1 x . 2

2 设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 0 ,并且 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 y ? 1 x0 x ? 1 x0 .

2

4

2 ? x0 ?4 1 x x ? 1 x2 , ? y ? , ?x ? ? 0 0 2 4 2 x0 由? 得? ? y ? ?1. ? ? y ? ?1 ?
2 x0 ?4 , ?1) . 所以 Q( 2 x0

2 设 M (0, y1 ) ,令 MP ? MQ=0 对满足 y0 ? 1 x0 ( x0 ? 0) 的 x0 , y0 恒成立.

4

由于 MP ? ( x0 , y0 ? y1) , MQ= ( 由于 MP ? MQ ? 0 ,

2 x0 ?4 , ? 1 ? y1 ) , 2 x0



2 x0 ?4 ? y0 ? y0 y 1 ? y1 ? y12 ? 0 , 2

2 即 (y1 ? y1 ? 2) ? (1 ? y1) y0 ? 0 .(*)

? 2 由于(*)对满足 y0 ? 1 x0 ( x0 ? 0) 的 y 0 恒成立,所以 ?
4
解得 y1 ? 1 . 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M (0,1) . 解法二 (用特殊值法找出定点,再给出证明) (1)同解法一 (2)由(1)知 y ?

1 ? y1 ? 0,

2 ? y1 ? y1 ? 2 ? 0,

1 2 x , 4

y? ? 1 x . 2

2 设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 0 ,并且 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 y ? 1 x0 x ? 1 x0 .

2

4

2 ? x0 ?4 2 1 1 ? , x2 ? 4 ?x ? ? y ? 2 x0 x ? 4 x0 , 2 x0 所以 Q( 0 , ?1) . 由? 得? 2 x0 ? ? y ? ? 1 ? ? y ? ?1.

取 x 0 =2,此时 P(2,1),Q(0,-1), 以 PQ 为直径的圆为 ( x ? 1 ) ? y ? 2 ,交 y 轴于点 M 1 (0,1)或 M 2 (0,-1);
2 2

取 x 0 =1,此时 P (1, 1 ) , Q(? 2 , ?1) ,

4

3

5

以 PQ 为直径的圆为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 4

3 8

125 ,交 y 轴于 M 3 (0,1) 或 M 4 (0, ? 7 ) . 4 64

故若满足条件得点 M 存在,只能是 M (0,1) .? 以下证明点 M (0,1) 就是所要求的点.

( 因为 MP ? ( x0 , y0 ? 1 , MQ ? )
MP ? MQ ?

2 x0 ?4 , ? 2) 2 x0

2 x0 ?4 ? 2 y0 ? 2 ? 2 y0 ? 2 ? 2 y0 ? 2 ? 0 2

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M. 解法三(求出圆的方程(本题较难),再证明圆过定点) 2、动点 P 定直线(曲线)上 (方法一:求出点 P 的轨迹方程为定直线,或证明 P 满足某曲线的定义) (方法二:找出定直线,代入证明点 P 在定直线上) 例 4.(2013 年安徽数学(理))

x2 y2 ? 1 的焦点在 x 轴上 设椭圆 E : 2 ? a 1 ? a2
(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, P 为椭圆 E 上的第一象限内的点,直线 F2 P 交 y 轴 与点 Q ,并且 F1P ? FQ ,证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上. 1
(方法一:求出点 P 的轨迹方程为定直线,或证明 P 满足某曲线的定义) (方法二:找出定直线 ,代入证明点 P 在定直线上) 【答案】解:

(Ⅰ)? a ? 1 ? a ,2c ? 1, a ? 1 ? a ? c ? a ?
2 2 2 2 2 2

5 8x 2 8x 2 ,椭圆方程为: ? ?1. 8 5 3

(Ⅱ) 设F1 (?c,0), F2 (c,0), P( x, y),Q(0, m),则F2 P ? (x ? c, y),QF2 ? (c,?m) . 由 1 ? a ? 0 ? a ? (0,1) ? x ? (0,1), y ? (0,1) .
2

?m(c ? x) ? yc F1 P ? ( x ? c, y), F1Q ? (c, m). 由F2 P // QF2 , F1 P ? F1Q得: ? ?c( x ? c) ? my ? 0

6

? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 a 1 ? a ? ? ? ( x ? c)(x ? c) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 .联立? x 2 ? y 2 ? c 2 解得 ?a 2 ? 1 ? a 2 ? c 2 ? ? ?
? 2x 2 2y2 ? ? 1 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 . ? x ? (0,1), y ? (0,1) ? x ? 1 ? y 2 2 2 2 x ? y ?1 1? x ? y

所以动点 P 过定直线 x ? y ? 1 ? 0 .

例 5.设椭圆 C:

过点 M(

,1),且左焦点为



(1)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当过点 P(4,1)的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A,B 时,在线段 AB 上取点 Q, 满足 ,证明:点 Q 总在某定直线上。

解:(1)由题意 解得

所求的求椭圆 C 的方程 (2)设点 , ,

。 ,

由题设, 又







均不为 0,且 ,

, ,

四点共线,可设

于是








7

由于



在椭圆上,将①②分别代入 C 的方程 ③ ④

,整理得:

由④-③得 ∵ ∴ 练习: 1、已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值 2 为 2 ? 1 ,离心率为 e ? ﹒ 2 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; MP ? MQ (Ⅱ) 过点 ?1 , 0 ? 作直线 交 E 于 P 、 试问: 在 x 轴上是否存在一个定点 M , Q 两点, 为定值?若存在,求出这个定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由﹒ , 即点 总在直线 上

解:(1)



∴所求椭圆 E 的方程为:



(2)当直线 l 不与 x 轴重合时,可设直线 l 的方程为:x=ky+1,

, 把(2)代入(1)整理得: ,(3)



, 为定值,

假设存在定点 M(m,0),使得

8

=



当且仅当 5-4m=0,即

时,

(为定值).这时 ,



再验证当直线 l 的倾斜角 α =0 时的情形,此时取





∴存在定点

使得对于经过(1,0)点的任意一条直线 l 均有

(恒为定值).
2、【2012 高考福建理 19】

x2 y2 1 2.如图,椭圆 E: 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 e ? .过 F1 a b 2
的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程. (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相较于点 Q.试探 究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐 标;若不存在,说明理由. 解答: (Ⅰ)设 c ? a2 ? b2 则e ?

c 1 ? ? a ? 2c ? 3a 2 ? 4b 2 a 2

9

?ABF2 的周长为

AB ? AF2 ? BF2 ? 8 ? AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 8 ? 4a ? 8 ? a ? 2, b ? 3, c ? 1
x2 y2 ? ?1 4 3

椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)由对称性可知设 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 与 M ( x,0)

x2 y 2 3 ? ? 1 ? y ? 3 ? x 2 ? y? ? ? 4 3 4

3x 3x ?k ?? 0 4 y0 3 4 3 ? x2 4

直线 l : y ? y0 ? ?

3x0 3(1 ? x0 ) ( x ? x0 ) ? Q(4, ) 4 y0 y0 3(1 ? x0 ) ? 0 ? x0 ( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 3) (*) y0

MP MQ ? 0 ? ( x ? x0 )( x ? 4) ? y0 ?

(*)对 x0 ? (?2, 2) 恒成立 ? x ? 1 , 得 M (1, 0)

二、定值问题 在圆锥曲线中,某些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则 称该变量具有定值特征. 解答此类问题的基本策略有以下两种: 1、把相关几何量的变元特殊化,在特例中求出几何量 的定值,再证明结论与特定状态无关. 2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示,再证明结论与求参数无关. 例 1.错误!未指定书签。(2013 年山东数学理) 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦点 分 别是 a 2 b2

F1 , F2 ,离心率为 3 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 2

C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接
PF1 , PF2 ,设 ?F1 PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设 直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明

1 1 ? 为定值,并求出这个定值. kk1 kk2

10

x2 y 2 b2 ? ? 1 y ? ? 2 2 2 2 b2 a 【答案】解:(Ⅰ)由于 c ? a ? b ,将 x ? ?c 代入椭圆方程 a 得 2b 2 ?1 2 由题意知 a ,即 a ? 2b
所以 a ? 2 , b ? 1 (Ⅱ)由题意可知 :

e?


3 c ? 2 a

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆方程为 4
PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM = , = , 设 P ( x0 , y0 ) 其 | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |

2 2 3 2 中 x0 ? 4 ,将向量坐标代入并化简得:m( 4 x0 ? 16) ? 3 x0 ? 12 x0 ,因为 x0 ? 4,

所以 m ?

3 3 3 x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? (? , ) 4 2 2

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

y0 y0 x0 x x 1 1 ,代入 中得 , k2 ? ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,而 k1 ? ? 4 4 y0 kk1 kk2 x? 3 x? 3
x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0
例 2.(2012 湖南理 21) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2 :( x ? 5) ? y ? 9 外,且对 C1 上任意一点
2 2

M , M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.
(1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P( x0 , y0 )( y0 ? ?3) 为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于 点 A, B 和 C , D .证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C , D 的纵坐标之积为定值. 1.(1)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x, y ) ,由已知得

x ? 2 ? ( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ,
易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以

( x ? 5)2 ? y 2 ? x ? 5 .
化简得曲线 C1 的方程为` y ? 20 x .
2

11

解法 2 :由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?5 的 距离, 因此,曲线 C1 是以 (5, 0) 为焦点,直线 x ? ?5 为准线的抛物线, 故其方程为 y 2 ? 20 x . (2)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时, P 的坐标为 (?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆

C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0 ,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为

y ? y0 ? k ( x ? 4), 即 kx ? y ? y0 ? 4k ? 0 .于是

5k ? y0 ? 4k k 2 ?1
整理得

? 3.

2 72k 2 ?18 y0k ? y0 ? 9 ? 0.



设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 , k2 是方程①的两个实根,故

k1 ? k2 ? ?

18 y0 y ?? 0. 72 4



由?

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 得 k1 y2 ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. 2 y ? 20 x, ?



设四点 A, B, C , D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 ,则 y1 , y2 是方程③的两个实根,所以

y1 ? y2 ?
同理可得

20( y0 ? 4k1 ) . k1 20( y0 ? 4k2 ) . k2



y3 ? y4 ?
于是由②,④,⑤三式得



y1 y2 y3 y4 ?

400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) k1k2

?

2 400 ? ? y0 ? 4( k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? ?

k1k2

12

?

2 2 400 ? ? y0 ? y0 ? 16k1k2 ? ?

k1k2

6400 .

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C , D 的纵坐标之积为定值 6400.

例 3.设

上的两点,已知向量



,若 m· n=0 且椭圆离心率

短轴长为 2, 为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c),(c 为半焦距),求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

【答案】 解:(Ⅰ)由题意知

椭圆的方程为 (Ⅱ)由题意,设 AB 的方程为

由已知 m·n=0 得:

(Ⅲ) (1)当直线 AB 斜率不存在时,即

,由 m·n=0

13





在椭圆上,所以



所以 S

=

所以三角形 AOB 的面积为定值 (2).当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

,



所以三角形的面积为定值.

例 4.【2012 高考江苏 19】 如图,已知椭圆

x2 y 2 e) 和 0) .已知 (1 , 0) , F2 (c , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , a 2 b2

? 3? e ? ?e,2 ? ? 都在椭圆上,其中 为椭圆的离心率. ? ?
(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与

BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.

14

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

e) 在椭圆上,得 【答案】解:(1)由题设知, a 2 =b2 ? c2,e= ,由点 (1 ,

c a

12 e2 1 c2 ? ? 1 ? ? =1 ? b2 ? c 2 =a 2b 2 ? a 2 =a 2b 2 ? b 2 =1 2 2 2 2 2 a b a a b
∴ c 2 =a 2 ? 1 。



? 3? 由点 ? e , ? 在椭圆上,得 ? 2 ? ? ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? e2 ? 2 ? c2 ? 2 ? a2 ? 1 3 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 2 2 4 4 1 4 a b a a
∴椭圆的方程为

2

2

x2 ? y2 ? 1 。 2

0) ,又∵ AF1 ∥ BF2 , (2)由(1)得 F1 (?1 , 0) , F2 (1,
∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。

? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 =

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m2 ? 2 。① ? y = m ?1 ? ? m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m2 ? 2

。②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ? ∵注意到 m> 0 ,∴ m= 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 = 。解 得 m2 =2。 2 2 m ?2 m ?2 2

1 2 。 = m 2
BF PB ? PF BF ? AF PB BF2 PB 1 1 ? ?1 ? 2 ?1? ? 2 ,即 。 PF1 AF1 PF1 AF PF AF 1 1 1
15

(ii)证明:∵ AF1 ∥ BF2 ,∴

∴ PF1 =

AF1 BF1 。 AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF1 =

AF1 2 2 ? BF2 。 AF1 ? BF2

?

?

同理。 PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 。 AF1 ? BF2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

AF1 BF2 2 AF BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

2 2 m2 ? 1 m ?2
2

?

? , AF BF = m

?1 , m ?2
2

2

2 3 = 2 。∴ PF1 ? PF2 是定值。 2 2

例 5.【2012 高考辽宁理 20】 如图,椭圆 C 0 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0 ,a,b 为常数),动圆 C1 : x 2 ? y 2 ? t12 ,b ? t1 ? a 。 2 a b

点 A1 , A2 分别为 C 0 的左,右顶点, C1 与 C 0 相交于 A,B,C,D 四点。 (Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
2 (Ⅱ)设动圆 C2 : x2 ? y 2 ? t2 与 C 0 相交于 A , B , C , D 四点,其中 b ? t2 ? a ,

/

/

/

/

2 t1 ? t2 。若矩形 ABCD 与矩形 A/ B / C / D / 的面积相等,证明: t12 ? t2 为定值。

【解析】设 A ? x1 ,y1 ? ,B ? x1 ,-y1 ? ,又知 A 1 ? -a,0? ,A 2 ? a,0? ,则 直线 A1 A 的方程为 直线 A2 B 的方程为 由①②得

y1 ? x +a ? x1 +a -y y = 1 ? x-a ? x1 -a y=

① ② ③

y2 =

- y12 x 2 -a 2 ? 2 2 ? x1 -a

x12 y12 x12 ? 2 2? 由点 A ? x1 ,y1 ? 在椭圆 C0 上,故可得 2 + 2 =1 ,从而有 y1 =b ?1- 2 ? ,代入③得 a b ? a ?

16

x2 y 2 - =1? x <-a,y <0 ? ……6 分 a 2 b2 (2)证明:设 A' ? x2 ,y2 ? ,由矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等,得

4 x1 y1 =4 x2 y2 , ? x12 y12 =x22 y22 , 因 为 点 A,A' 均 在 椭 圆 上 , 所 以
? x2 ? ? x2? b2 x12 ?1- 12 ? =b 2 x2 2 ?1- 22 ? ? a ? ? a ? 由 t1 ? t2 ,知 x1 ? x2 ,所以 x12 +x2 2 =a 2 。从而 y12 +y2 2 =b2 ,因而 t12 +t22 =a2 +b2 为定值?

例 6.( 05 全国Ⅰ)已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点

F 的直线交椭圆于 A 、 B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线。
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
2 2 (Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (? , ? ? R) ,证明 ? ? ? 为定值.

(1)

(2)椭圆 x

2

+3y2=3b2. ?2 ? ? 2 =1

例 7.(07 重庆文)如图,倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F ,且与抛物线交于

A 、 B 两点
(1)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (2)若 ? 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P ,证明: FP ? FP cos 2? 为定 值,并求此定值.

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