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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】3.2.3习题课


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【学习要求】 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握; 2.培养综合运用知识的能力.

试一试·双基题目、基础更牢固

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1.若点(a,b)在 y=lg x 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是
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( D ) 1 A.( ,b) a 10 C.( ,b+1) a B.(10a,1-b) D.(a2,2b)

解析 因点(a,b)在 y=lg x 图象上,所以有 b=lg a,将各选项 的点的坐标代入 y=lg x,只有选项 D 得出的等式与 b=lg a 等价,故选 D.

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1-x 2.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于 1+x 1 1 A.b B.-b C. D.- 本 b b
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( B )

1+x 1-x -1 1-x 解析 f(-x)=lg =lg( ) =-lg =-f(x), 1-x 1+x 1+x
则 f(x)为奇函数,故 f(-a)=-f(a)=-b.

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3.已知函数 y=f(2x)的定义域为[-1,1],则函数 y=f(log2x)的定 义域为
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( D ) 1 B.[ ,2] 2 D.[ 2,4]
1 ∵-1≤x≤1,∴2 ≤2 ≤2,即 ≤2x≤2. 2
-1

A.[-1,1] C.[1,2]
解析
x

1 1 ∴y=f(x)的定义域为[ ,2]即 ≤log2x≤2,∴ 2≤x≤4. 2 2

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1x 4.已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=( ) ;当 x<4 时,f(x)= 2 f(x+1).则 f(2+log23)的值为 1 1 1 A. B. C. 24 12 8
解析 因为 3<2+log23<4,
故 f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23). 又 3+log23>4,
1 3+log 23 1 3 1 log 23 1 log 23 故 f(3+log23)=(2) =(2) · ) (2 =8×2 = 1 1 1 8×3=24.
-1

( A ) 3 D. 8

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1 5.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上递增,f( )=0,则满足 3 f(log 1 x)>0 的 x 的取值范围是
8

(

B)

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A.(0,+∞) 1 1 C.(0, )∪( ,2) 8 2

1 B.(0, )∪(2,+∞) 2 1 D.(0, ) 2

1 解析 由题意可得:f(x)=f(-x)=f(|x|),f(|log 1 x|)>f( ),f(x)在[0, 3 8 1 +∞)上递增,于是|log 1 x|> ,解得 x 的取值范围是 3 8 1 (0,2)∪(2,+∞).

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6.已知 0<a<b<1<c,m=logac,n=logbc,则 m 与 n 的大小关系是
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m>n ________.

m 解析 ∵m<0,n<0,∵ =logac· cb=logab<logaa=1,∴m>n. log n

研一研·题型解法、解题更高效

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题型一

对数式的化简与求值

本 例 1 计算:(1)log (2+ 3) (2- 3); 课 x-y 时 x (2)已知 2lg =lgx+lgy,求 log(3+2 2) . 栏 2 y 目 开 解 (1)方法一 利用对数定义求值:设 log (2+ 3)(2- 3)=x, 关

1 则(2+ 3) =2- 3= =(2+ 3)-1,∴x=-1. 2+ 3
x

方法二 log (2+ =-1.

利用对数的运算性质求解: 1 3) (2- 3)=log (2+ 3) 2+ 3=log (2+

3) (2+ 3)

-1

研一研·题型解法、解题更高效 x-y 2 (2)由已知得 lg( ) =lg xy, 2 x-y 2 ∴( 2 ) =xy,即 x2-6xy+y2=0. x2 x x ∴( ) -6( )+1=0.∴ =3± 2. 2 y y y
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x-y>0?
∵ x>0? x x ,∴ >1,∴ =3+2 2, y y x =log (3-2 y

y>0
1 ∴log(3-2 2) =-1. 2)(3+2 2)=log(3-2 2) 3-2 2 小结 在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,
化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算 法则化简合并,在运算中要注意化同底,指数与对数互化.

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跟踪训练 1 (1)log2
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计算: 7 1 +log212- log242-1; 48 2

(2)(lg 2)2+lg 2· 50+lg 25. lg

7 解 (1)原式=log2 +log212-log2 42-log22 48
- 7×12 1 2 =-3. =log2 =log2 =log22 2 48× 42×2 2 2 3

(2)原式=lg 2· 2+lg 50)+lg 25=21g 2+lg 25 (lg
=lg 100=2.

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题型二 对数函数的图象与性质

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1 例 2 已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈[ ,2] 3
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都有|f(x)|≤1 成立,试求 a 的取值范围.
解 ∵f(x)=logax,则 y=|f(x)|的图象如下图.

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1 1 1 由图知要使 x∈[ ,2]时恒有|f(x)|≤1,只需|f( )|≤1,即-1≤loga 3 3 3 ≤1,
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1 1 -1 即 logaa ≤loga3≤logaa,亦当 a>1 时,得 a ≤3≤a,即 a≥3;
-1

1 1 当 0<a<1 时,得 a ≥3≥a,得 0<a≤3
-1

1 综上所述,a 的取值范围是(0,3]∪[3,+∞).

小结

1 本题属于函数恒成立问题,即对于 x∈[3,2]时,|f(x)|恒小

于等于 1,恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最 值问题;二是利用单调性转化为最值问题.由于本题底数 a 为参 数,需对 a 进行分类讨论.

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跟踪训练 2 已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a +2b 的取值范围是 A.(2 2,+∞)
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( B.[2 2,+∞) D.[3,+∞)

)

C.(3,+∞)

解析 画出函数 f(x)=|lg x|的图象如图所示.

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∵0<a<b,f(a)=f(b),

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∴0<a<1,b>1,
∴lg a<0,lg b>0.
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由 f(a)=f(b),
∴-lg a=lg b ,ab=1. 1 ∴b= , a 2 ∴a+2b=a+ , a

2 又 0<a<1,函数 t=a+ 在(0,1)上是减函数, a 2 2 ∴a+ >1+1=3,即 a+2b>3. a
答案 C

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题型三 例3 对数函数的综合应用

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已知函数 f(x)=log2x,x∈[2,8],函数 g(x)=f2(x)-2af(x)+

3 的最小值为 h(a).
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(1)求 h(a); (2)是否存在实数 m,n,同时满足以下条件:①m>n>3;②当 h(a) 的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2],若存在,求出 m,n 的值;若 不存在,说明理由.
解 (1)∵x∈[2,8],∴log2x∈[1,3].设 log2x=t,t∈[1,3],则 g(t) =t2-2at+3=(t-a)2+3-a2.
当 a<1 时,ymin=g(1)=4-2a,当 1≤a≤3 时,ymin=g(a)=3-a2, 当 a>3 时,ymin=g(3)=12-6a.

研一研·题型解法、解题更高效 4-2a 2 所以 h(a)= 3-a 12-6a
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(a<1)? (1≤a≤3)? . (a>3)

(2)因为 m>n>3,所以 h(a)=12-6a 在(3,+∞)上为减函数,
因为 h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],
所以

12-6m=n2?
,两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n),所以

12-6n=m2
m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾,故满足条件的实数 m,n 不存在.

小结 本题利用了换元法,把 log2x 看作一个整体用 t 来表示, 从而得到一个新函数,因此需要求出函数的定义域.所示函数的 最值本身也是关于 a 的分段函数,所以函数思想是中学阶段常 用的重要思想.

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跟踪训练 3 已知函数 f(x)=loga(x+1) (a>1),若函数 y=g(x) 图象上任意一点 P 关于原点对称的点 Q 在函数 f(x)的图象 上.
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(1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围.
解 (1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y)是点 P

关于原点的对称点,

∵Q(-x,-y)在 f(x)的图象上,∴-y=loga(-x+1),即 y=g(x) =-loga(1-x). x+1 (2)f(x)+g(x)≥m,即 loga ≥m. 1-x

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1+x 2 设 F(x)=loga =loga(-1+ ) ,x∈[0,1),由题意知,只要 1-x 1-x
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F(x)min≥m 即可.
∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min=F(0)=0.
故 m≤0 即为所求.

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1.指数式 ab=N 与对数式 logaN=b 的关系以及这两种形式的
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互化是对数运算法则的关键. 2.指数运算的实质是指数式的积、 商、 幂的运算,对于指数式的 和、差应充分运用恒等变形和乘法公式;对数运算的实质是 把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积. 3. 注 意 对 数 恒 等 式 、 对 数 换 底 公 式 及 等 式 logambn = n 1 · ab,logab= log 在解题中的灵活应用. m logba 4.在运算性质 logaMn=nlogaM 时,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 logaMn=nloga|M|(n∈N*,且 n 为偶数).

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5.指数函数 y=ax (a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且
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a≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面理解它们 之间的联系与区别. 6.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆 函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对 数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.


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