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数学归纳法


数学归纳法

单位:颍上一中 授课教师: 方爱华

2015 年 1 月 15 日

课题:数学归纳法
北师大版普通高中课程标准实验教科书
【教材分析】
由于正整数无法穷尽的特点,有些关于正整数 n 的命题,难以对 n 进行一一的验证,从而需 要寻求一种新的推理方法,以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法产生的根 源. 数学归纳法是一种证明与正整数 n 有关的命题的重要方法。 它的独到之处便是运用有限个步 骤就能证明无限多个对象,而实现这一目的的工具就是递推思想。 设 p(n)表示与正整数 n 有关的命题,证明主要有两个步骤:(1)证明 p(1)为真;(2)证 明若 p(k)为真,则 p(k+1)为真;有了这两步的保证,就可实现以下的无穷动态的递推过程: P(1)真??P(2)真??P(3)真??…??P(k)真??P(k+1)真?? …因此得到对于任何正整数 n,命题 p(n)都为真. 数学归纳法的两个步骤中,第一步是证明的奠基,第二步是递推的依据,即验证由任意一个 整数 n 过渡到下一个整数 n+1 时命题是否成立.这两个步骤都非常重要, 缺一不可.第一步确定了 n=1 时命题成立,n=1 成为后面递推的出发点,没有它递推成了无源之水;第二步确认了一种递 推关系,借助它,命题成立的范围就能从 1 开始,向后面一个数一个数的无限传递到 1 以后的每 一个正整数,从而完成证明.因些递推是实现从有限到无限飞跃的关键,没有它我们就只能停留 在对有限情况的把握上. 根据本节课的内容和学生的实际水平,特制定以下教学目标和教学重难点。

【教学目标】
1.借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤; 2.掌握数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的命题. 3.感受归纳法在实际生活中的应用,渗透辩证的思想方法. 4.通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学习热情,初 步形成做数学的意识和科学精神.

【教学重点】数学归纳法产生过程的分析,掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整数 n(n
取无限多个值)有关的数学命题。

【教学难点】教学的难点:(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质,具体表现在不了解第
二个步骤的作用,不易根据归纳假设作出证明;(2)运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步 骤中发现具体问题的递推关系.因此,用数学归纳法证明命题的关键在第二步,而第二步的关键 在于合理利用归纳假设. 如果不会运用 “假设当 直接将 代入命题,便说命题成立,实质上是没有证明. 时, 命题成立” 这一条件,

为突破以上教学难点,课堂教学中两条线索交替进行.一条是主线:“提出问题——分析问 题——解决问题” ; 另一条是暗线: “课堂提问的规则——根据学号提问, 并依次从小号到大号” . 在 这个过程中,让学生体会数学归纳法证明命题的第一步的第一个值不一定是 1,就如同第一个被 提问到的学生不一定是 1 号的学生一样.若是 2 号,则下一个被提问的学生一定是 3 号.

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另外,设计命题:已知 破数学归纳法第二步中证明命题的难点.

时,命题成立,求证:

时命题成立.从而突

【教学策略】引导发现法 【学法指导】本课以问题为中心,以解决问题为主线展开,学生主要采用“探究式学习法”进 行学习。本课学生的学习主要采用下面的模式进行:
观察情景

? 提出问题 ? 分析问题 ? 猜想与臵疑(结论或解决问题的途径) ? 论证 ? 应用。

探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习,在 探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神 ;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过 程中形成坚韧不拔的精神。学生掌握了这种学习方法后,对学生终身学习,终身发展都有积极意 义,这就是让学生学会学习。

【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学程序】 1. 创设问题情境,启动学生思维 情境 1.观察下列等式发现了什么?
1? 2 ? 3 6 2 ? 3? 5 2 2 1 ?2 ? 6 3? 4 ? 7 2 2 2 1 ? 2 ?3 ? 6 4? 5? 9 2 2 2 2 1 ? 2 ?3 ? 4 ? 6 5 ? 6 ?11 2 2 2 2 2 1 ? 2 ?3 ? 4 ?5 ? 6

1

2

?

…… 猜想:当

12 ? 22 ? 3 ? ? ? n ?
【设计意图】从学生已有的认知水平去找规律,吸引学生的注意力,激发学习兴趣。培养大 胆猜想的意识和数学概括能力. 问题 1: (1) 上述发现的规律正确吗? (2) 你能够证明吗?

n? N? 时 2 2

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分析:逐一验证是不可能的.那么,我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理,证明 取 所有正整数都成立”的问题.引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法 ——数学归纳法”. 【设计意图】 应用归纳推理,发现新事实,获得新结论,这是数学归纳法的先行组织者;该 题在本章第一节的合情推理中已经讲到,是课标教材“螺旋式”上升的具体体现,其思维模式就 是“观察——归纳——猜想——证明”. 情景 2.多米诺骨牌游戏(观看视屏) 探究:在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 【设计意图】 通过对多米诺骨牌游戏的分析, 让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程, 从而理解数学归纳法的本质.

2. 类比数学问题, 激起思维浪花
如何类比多米诺骨牌的游戏证明情景 1 中的猜想? 多米诺骨牌游戏原理 (1)第一块骨牌倒下。 (2)若第 k 块倒下时,则相邻的第 k+1 块也 倒下。 根据(1)和 (2),可知不论有多少块骨牌 都能全部倒下。 情景 1 证明 (1)证明当 n=1 时猜想成立。 (2)假设 n = k ,时命题成立, 证明当 n=k+1 时命题也成立。 根据(1)和(2),可知对所有的正整数 n, 猜想都成立。

【设计意图】引导学生通过类比,借助多米诺骨牌全部倒下的条件,让学生深入分析多米诺 骨牌是一个递推思想的模型。事实上(1)(2)就是数学归纳法的雏形。

3. 引导学生概括, 形成科学方法
问题 2: 从多米诺骨牌游戏中,抽象出解决与正整数有关的命题的方法? 【设计意图】 在类比的过程中学习数学归纳法. 分析 1:根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步,即(1)(归纳奠基)证明 当 取第一个值 ( ,例如 =1 或 )时,命题成立.

分析 2:根据“任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下”,抽象出数学归纳 法的第二步,即(2) (归纳递推)假设 题也成立. 时命题成立,证明当 时命

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分析 3:从完成“多米诺骨牌游戏”中,抽象出数学归纳法证明命题的结论,即由(1), (2)可知,命题对于从 开始的所有正整数 都成立.

【设计意图】 抽象出“多米诺骨牌游戏”的本质. 数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的 方法来证明它们的正确性: (1)(归纳奠基)证明当 取第一个值 (2)(归纳递推)假设 根据(1)和(2),可知命题对于从 ( ,例如 =1 或 )时,命题成立; 时命题也成立;

时命题成立,证明当 开始的所有正整数 都成立.

问题 3:(1)为什么完成了“两个步骤和一个结论”就说明命题对所有的正整数都成立? (2)为什么在证明命题时“两个步骤和一个结论”缺一不可? 【设计意图】 进一步理解“通过有限个步骤的推理,证明 取所有正整数都成立”的情形. 强调:缺了第(1)步,就没有了归纳奠基;缺了第(2)步,就丧失了归纳递推的过程;缺 了结论,整个数学归纳法的过程就不能顺利完成.“两个步骤和一个结论”缺一不可.其思维过程 是,当 时命题成立,可以推出 时命题成立,可以推出 时命题成立,当 时命题成立,……

4. 数学应用,规范书写格式 例 1、用数学归纳法证明:
12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? n( n ? 1)(2n ? 1) 6 1(1 ? 1)(2 ? 1) ?1 6

证明:1、当 n=1 时,左=12=1,右= ∴n=1 时,等式成立 2、假设 n=k 时,等式成立,即 那么,当 n=k+1 时 左=12+22+…+k2+(k+1)2=

12 ? 22 ? 32 ? ? ? k 2 ?

k ( k ? 1)(2k ? 1) 6

k ( k ? 1)(2k ? 1) ? ( k ? 1) 2 6

k (k ? 1)(2k ? 1) ? 6(k ? 1)2 (k ? 1)(k ? 2)(2k ? 3) (k ? 1)[(k ? 1) ? 1][2(k ? 1) ? 1] ? ? ? 6 6 6
∴n=k+1 时,原式成立 由 1、2 知当 n?N*时,原式成立。

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【设计意图】巩固数学归纳法原理的理解,强化数学归纳法的规范书写。

5. 为我检查作业,避免类似错误 请为我检查作业 用数学归纳法证明:1 ? 3 ? 5 ? ?????? ?(2n ? 3) ? (2n ? 1) 证明: (1)当 n=1 时,左边=1,右边=1∴等式成立。

? n2

1 ? 3 ? 5 ? ?????? ?(2k ? 3) ? (2k ?1) ? k (2)假设当 n=k 时成立,即:
当 n=k+1 时,代入

2

1 ? 3 ? 5 ? ?????? ?(2n ? 3) ? (2n ?1) ? n2
2

1 ? 3 ? 5 ? ?????? ?(2k ? 1) ? (2k ? 1) ? (k ? 1) 得:
所以等式成立。 综合(1)和(2)等式对一切自然数 n 均成立。

,

【设计意图】 让学生完成自我纠正对错误的理解, 更加充分的理解在用数学归纳法应该注意的问 题。

6. 基础反馈练习, 巩固方法应用
1.用数学归纳法证明 : 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? 在验证n ? 1时, 左端计算所得的项为 A.1 B.1 ? a C.1 ? a ? a 2 ( 1 ? an?2 (a ? 1) 1? a )

D.1 ? a ? a 2 ? a 3

1 1 1 ? ??? n ? n( n ? N ? , n ? 1), 2 3 2 ?1 第二步证明从" k到k ? 1", 左端增加的项数是 ( ) 2.用数学归纳法证明 : 1 ? A.2 k -1 B.2 k C.2 k ? 1 D.2 k ? 1

【设计意图】通过学生反馈的信息,分析学生掌握的状况,对存在的问题在小结中再强调。

7.师生共同小结, 完成概括提升
(1)数学归纳法能够解决哪一类问题? 一般被用于证明某些与正整数 n(n 取无限多个值)有关的数学命题. (2)数学归纳法证明命题的步骤是什么?两个步骤和一个结论,缺一不可.

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(3)数学归纳法证明命题的关键在哪里? 关键在第二步,即归纳假设要用上,解题目标要明确(也就是人们常说的“双凑”:凑假设 和凑结论). (4)数学归纳法体现的核心思想是什么? 数学归纳法是一种完全归纳法 ,它是在可靠的基础上,利用命题自身具有的传递性,运用 “有限”的手段,来解决“无限”的问题.它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服 了不完全归纳法结论不可靠的不足,使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无 穷.其蕴含的数学思想方法有归纳的思想,递推的思想,特殊到一般的思想,有限到无限的思想 方法.等等. 注意:奠基基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。 【设计意图】 回顾和总结本节课的主要内容,提高学生对本节课知识的整体认识.

8. 布置课后作业, 巩固延伸铺垫 必做题:习题 2.3A 组 1. 选做题:用数学归纳法证明:

(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2n ?1? 3 ? ?(2n ? 1)
【设计意图】设臵弹性的作业能够让不同层次的学生得到充分的发展。

9. 板书设计 §2.3 数 学 归 纳 法
例 1、 数学归纳法 多米诺骨牌的原理 (1) (2)

重点:两个步骤、一个结论 注意:递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉

作业:

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10. 【教学反思】
数学新课程特别强调数学是数学活动的教学,是师生之间,学生之间交往活动的过程,有效 的数学学习过程不能简单的依靠于模仿和记忆。 教师应引导学生主动的观察、 试验、 猜测、 验证、 推理等数学活动, 从而使学生形成自己对知识的理解和有效的学习策略。 本节课就是以新课程的 教学理念统领教学,让学生经历数学知识的形成与发生过程,鼓励学生能自主探索和合作交流, 从学生实际出发,积极创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生通过实践、探索、思考、 交流,从而使学生获得知识、形成技能、发展思维,学会学习。 在高中数学课程中,数学归纳法并不是一个“教师容易教,学生容易学”的单元。在教学实 践中,教师们往往迫于教学进度的压力,在学生尚未领会这个方法的精髓时,就提供复杂多样的 题目供学生练习, “两个步骤一个结论”的格式套用成了教学的重点.至于学生对数学归纳法原理 是否理解,往往得不到足够的重视,对于数学归纳法的两个步骤,学生是“理解要执行,不理解 也要执行,在执行中加深理解” 。但最终导致的结果是,学生在利用数学归纳法的过程中并不能 得心应手,诸如“忽视奠基步骤的作用” “没有利用归纳假设”等错误更是屡见不鲜。本次我不 仅重视了数学归纳法“两个步骤一个结论”的程序性知识的教学,而且还借助于多米诺骨牌等实 例模型加深学生对数学归纳法的理解, 注重了概念的发生过程和数学归纳法的精神实质, 给学生 留下了深刻的印象,也引发了观摩教师的诸多的思考,以下结合上课实录,谈几点课后反思: 1、课开始,情趣生; 数学归纳法是高中数学教学的重点和难点之一, 新课引入之前, 我先通过在前面第一节归纳 推理中给学生的例子引入,为数学归纳法的教学已经埋下伏笔。从熟悉的例子入手,消除潜在的 心理负担,让学生尝试探究及操作,让学生带着问题能够主动的思考和合作交流,激发学生积极 参与和有效参与,进而发现数学归纳法,使教与学有良好的匹配。 2、课进行,情趣浓; 新课是从多米诺骨牌游戏开始的。然后提出问题:多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌 全部倒下的条件是什么?学生思考讨论,得出多米诺骨牌游戏成功依赖两个条件 第一步:第一张牌被推倒, 第二步:假若前一张牌被推倒,则后一张牌被推倒。 其中第二步用到的就是递推关系,如此通过动手、动脑,及动画演示等形象展示递推关系, 为教学难点突破提供直观的的参照物,作感性上的突变,从而分解数学归纳法的一个难点。然后 适时给出数学归纳法的定义及步骤。由于学生始终走在一条充满轻松、愉悦的学习道路上,归纳 原理很容易被学生所接受。 例题的讲解过程中, 让学生进一步理解数学归纳法的原理以及在利用数学归纳法证明的时候 如何规范书写,因而在应用数学归纳法证明中,一定做到让归纳假设“粉墨登场”,有它的参与证 得的 n=k+1 时的成立才建立了递推关系即逻辑推理链, 实现了在验证命题 n=n0 正确的基础上, 利 用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题。这样就解决了教学情景中提出 的问题。最后通过队错误的纠正,让学生完成自我纠正对错误的理解,而不是教师强行的扭转过 来,这样更有利于学生的接受,对数学归纳法的内涵有了更进一步的理解。 3、课结束,情趣存 这节课的小结是以“提出问题”的方式进行的,我设计以下问题并和学生共同讨论回答。 (1)数学归纳法的步骤是什么? (在验证命题 n=n0 正确的基础上,证明命题据有传递性,形成了逻辑推理链, 以一次逻辑的推 理代替了无限的验证过程.) (2).数学归纳法适用于证明什么样的的命题? (数学归纳法适用于证明:和正整数有关的命题。)
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(3)应用数学归纳法证明问题时要注意什么? (奠基基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。) 我这样做的目的是希望了解学生经过这堂课的学习, 对数学归纳法原理和实质究竟有怎样的 认识,哪些是正确的,哪些是错误的,还有哪些是需要接下来课程中补足的。对错误的认识,我 会立即帮助纠正。 而对正确的, 即便现在还很朦胧我也并不急于点破主题, 让学生在接下来的“数 学归纳法的应用”的课上再加深认识,进行自我完善。我相信:已经除去杂草的庄稼,必定会茁 壮成长的。 总之,从这堂课的实践结果上看,有的环节并不是想象中这样理想,原因有两方面,一个是 我有些急,怕时间不够而没有放开让学生发表意见,越俎代庖。另外一个就是学生也拘泥于是一 堂观摩课,吃不准的观点便不像平时那样毫无顾忌的说出来。这也是促使我着急的一个原因。总 之,在这点上我还需要再进一步研究并改善。

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