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高考典型题型训练——三角函数


高考典型题型训练——三角函数
1. 右图为 y ? A sin( ? x ? ? ) 的图象的一段,求其解析式。

2

设函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? ? ) ( ? ? ? ? ? 0 ), y ? f ( x ) 图像的一条对称轴是直线 x ?

?
8



(Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x ) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x ) 在区间 [ 0 , ? ] 上 的图像。

3. 已知函数 f ( x ) ? log

1 2

(sin x ? cos x ) ,

(1)求它的定义域和值域; (2)求它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期。

2 4. 已知向量 a = ( 3 ,2), b =( sin 2 ? x , ? cos ? x ) , ? ? 0 ) 。 (

?

?

(1)若 f ( x ) ? a ? b ,且 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,求 f ( x ) 的最大值,并求 f ( x ) 取得 最大值时 x 的集合; ? ? (2)在(1)的条件下, f ( x ) 沿向量 c 平移可得到函数 y ? 2 sin 2 x , 求向量 c 。

? ?

5. 设 函 数 f ( x ) ? a ? b c o s x ? c s i n x 的 图 象 经 过 两 点 ( 0 , 1 ) ( ,
0 ? x ?

?
2

,1 ) 且 在 ,

?
2

内 | f ( x ) |? 2 ,求实数 a 的的取值范围.

6. 若函数 f ( x ) ?

1 ? cos 2 x 2 sin(

?
2

? sin x ? a sin( x ?
2

?
4

) 的最大值为

2 ? 3 ,试确定常数 a

? x)

的值.

7. 已知二次函数 f ( x ) 对任意 x ? R ,都有 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) 成立,设向量 a ? (sinx,2) ,
? ? ? ? ? ? 1 b ? (2sinx, ) c ? (cos2x,1) d ? (1,2) , , ,当 x ? [0, π ]时,求不等式 f( a ? b ) 2 ? ? ? >f( c ? d )的解集.

?

8. 试判断方程 sinx=

x 100 ?

实数解的个数.

9. 已知定义在区间 [ ? ? ,

2 3

? ] 上的函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称,当

x?[ ?

?
6

,

2 3

? ] 时,函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ?

?
2

?? ?

?
2

)

,其图象如图.

(1)求函数 y ? f ( x ) 在 [ ? ? , (2)求方程
f (x) ? 2 2

2 3

? ] 的表达式;

的解.

10. 已知函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |?

? 2

) 的图象在 y 轴上的截距为 1,它

在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x 0 , 2 ) 和 ( x 0 ? 3? , ? 2 ) . (1)试求 f ( x ) 的解析式; (2)将 y ? f ( x ) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) ,然后再将新的图
3 1

象向 x 轴正方向平移

? 3

个单位,得到函数 y ? g ( x ) 的图象.写出函数 y ? g ( x ) 的解析式.

11. 已知函数 f ( x ) ? sin

. 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin( ? x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程

x

cos

x

?

3 cos

2

x

(Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此 时函数 f(x)的值域.

12. f ( x ) ? 2 3 sin( 3? x ?
?
3

?
3

) (ω>0)

(1)若 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数,求 ω 及 θ 值 (2)f (x)在(0, )上是增函数,求 ω 最大值。

13.

已 知

a ? (cos
?
4

x 2

3 , 2

? cos

x 2

), b ? (

3 2

? cos

x 2

, sin

x 2

),



a ∥ b.



1 ? 2 cos( 2 x ? sin( x ?

)

?
2

的值.

)

14. 已知△ABC 三内角 A、B、C 所对的边 a,b,c,且 (1)求∠B 的大小; (2)若△ABC 的面积为
3 3 4

a ?c ?b
2 2 2

2 2

a ?b ?c
2

?

c 2a ? c

.

,求 b 取最小值时的三角形形状.

15. 求函数 y= sin( 2 x ?

?
3

) cot( 2 x ?

?
3

) 的值域.

16. 求函数 y=

tan x ? sec x ? 1 tan x ? sec x ? 1

的单调区间.

17. 已知 f ( x ) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 1 ? ctgx
? 4 ) ? 3 5 ? 4

①化简 f(x);②若 sin( x ?

,且

? x ?

3 4

? ,求 f(x)的值;

18. 已知Δ ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 A<B<C,tgA·tgC ? 2 ?

3 ,①求角 A、

B、C 的大小;②如果 BC 边的长等于 4 3 ,求Δ ABC 的边 AC 的长及三角形的面积.

19. 已知 sin ? ?

3 5

,??(

? 2

, ? ), tg ( ? ? ? ) ?

1 2

,求 tg(?-2?).

20. 已知函数 f ( x ) ? ? 3 sin

2

x ? sin x cos x
? ?

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x ) 在 x ? ? 0 ,

? ?

的值域. 2? ?

21. 已知向量 a =(cos (1)求 a ? b
? ?

?

3 2

x,sin

3 2

x), b =( ? cos

?

x 2

,sin

x 2

),且 x∈[0,

?
2

].

(2)设函数 f ( x ) ? a ? b + a ? b ,求函数 f ( x ) 的最值及相应的 x 的值。

?

?

?

?

22. 已知函数 f ( x ) ? sin ? x ?
2

3 sin ? x sin ( ? x ?

?
2

)( ? ? 0 ) 的最小正周期为π .

(Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,
2? 3

]上的取值范围.

23. 在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 tan A ? (1)求 tanC 的值;

1 2

, cos B ?

3 10 10

(2)若⊿ABC 最长的边为 1,求 b。

24. 如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于 E, AB=2。 (1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE。

cos B

25. 在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 cos C (1)求角 B 的大小; (2)若 b ?
13 , a ? c ? 4 ,求 a 的值。

? ?

b 2a ? c 。

答案: 1. 解析 法 1 以 M 为第一个零点,则 A= 3 ,
3 sin( 2 x ? ? )

? ? 2 所求解析式为 y ?

点 M(

?
3

, 0 ) 在图象上,由此求得 ? ? ? 3 sin( 2 x ? 2? 3 )

2? 3

?

所求解析式为 y ?

法 2. 由题意 A= 3 , ? ? 2 ,则 y ?
? 图像过点 (
? 3 ? 7 12 3 s in ( 7 6
? 所求解析式为 y ?

3 sin ( 2 x ? ? )

? , 3)

? 7 6 3 s in ( 2 x ?

3 ?

7 3 s i n? ?? ( 6

) 2? 3 ? 2 k ? . 取? ? ? 2? 3 .

? ??) 即

? ?? ?
2? 3

?
2 )

? 2k? .? ? ? ?

2. 解析(Ⅰ)? x ?
?

?
8

是函数 y ? f ( x ) 的图像的对称轴,? sin( 2 ? ? ?? ? ? ? 0 , ? ? ? 3? 4 .

?
8

? ? ) ? ? 1,

?
4

? ? ? k? ?

?
2

,k ? Z.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ? 由题意得
2 k? ?

3? 4

, 因此 y ? sin( 2 x ? 3? 4 ? 2 k? ?

3? 4

).

?
2

? 2x ?

?
2

,k ? Z.

所以函数 y ? sin( 2 x ? (Ⅲ)由 y ? sin( 2 x ? x y
?

3? 4

)的单调增区间为

[k? ?

?
8

, k? ?

5? 8

], k ? Z .

3? 4

)知

0
2 2

?
8

3? 8

5? 8

7? 8

?
? 2 2

-1

0

1

0

故函数 y ? f ( x ) 在区间 [ 0 , ? ]上图像是

3. 解析 (1)由题意得 sinx-cosx>0 即 2 sin( x ? 从而得 2 k ? ? x ?
?
4 ( ∴函数的定义域为 2 k ? ? ? 2 k? ? ? ,

?
4

) ? 0,

?
4

, k? ? 2

5? 4

)k ? Z ,

∵ 0 ? sin( x ?

?
4

) ? 1 ,故 0<sinx-cosx≤ 3? 4 , k? ? 2 5? 4 , k? ? 2 3? 4

2 ,所有函数 f(x)的值域是 [ ?
)k ? Z

1 2

, ?? ) 。

(2)单调递增区间是 [ 2 k ? ?
( 单调递减区间是 2 k ? ?

?
4

)k ? Z ,

(3)因为 f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称,故 f(x)是非奇非偶函数。 (4)∵ f ( x ? 2 ? ) ? log 1 [sin( x ? 2 ? ) ? cos( x ? 2 ? )] ? f ( x )
2

∴函数 f(x)的最小正周期 T=2π。 4. 解析 f ( x ) ? a ? b = 3 sin 2 ? x ? 2 cos
f ( x ) ? = 2 sin( 2 x ?
? ?
2

? x ? 2 sin( 2 ? x ?

?
6

) ? 1 ,T= ? , ? ? 1

?

? ? ? ,k ? Z ? ) ? 1 , y max ? 1 ,这时 x 的集合为 ? x x ? k ? ? 3 6 ? ?

(2)? f ( x ) 的图象向左平移

?
12

,再向上平移 1 个单位可得 y ? 2 sin 2 x 的图象,所

以向量 c = ( ?

?

?
12

,1 ) 。

5. 解析

由图象过两点得 1=a+b,1=a+c,
2 (1 ? a ) sin( x ?

? b ? 1 ? a , c ? 1 ? a , f ( x ) ? a ? (1 ? a )(sin x ? cos x ) ? a ?
?0 ? x ?

?
4

)

?
2

,则

?
4

? x?
f ( x) ?

?
4

?

3 4

? ,?

2 2

? sin( x ?

?
4

)?1

当 a<1 时, 1 ? 只须 要使 |
2 ? (1 ?

2 ? (1 ?

2 ) a , 要使 | f ( x ) |? 2



2 )a ? 2

解得 a ? ? 2
2 )a ? f ( x) ? 1
2 ) a ? ? 2 解得 a ? 4 ? 3

当 a ? 1时 , 2 ? (1 ?
f ( x ) |? 2 只须

2 ? (1 ?

2 ,

故所求 a 的范围是 ?

2 ? a ? 4?3 2

6. 解析

f (x) ?

1? 2cos x ?1
2

2 s i n ( ? x) 2
?
?

?

? s i nx ? a s i n x ? (
2

?
4

)

2 cos

2

x

? sin x ? a sin( x ?
2

?
4

) ? sin x ? cos x ? a sin( x ?
2
2

?
4

)

2 cos x
2 sin( x ?

?
4

) ? a sin( x ?
2

?
4

) ? ( 2 ? a ) sin( x ?

?
4

)
2 ? a
2

因为 f ( x ) 的最大值为 2 ? 3 , sin( x ? 所以 a ? ? 3 7. 解析 因为

?
4

) 的最大值为 1,则

?

2 ? 3,

设 f(x)的二次项系数为 m,其图象上两点为(1-x, y 1 ) 、B(1+x, y 2 )
(1 ? x ) ? (1 ? x ) 2 ? 1 , f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) ,所以 y 1 ? y 2 ,

由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 若 m>0,则 x≥1 时,f(x)是增函数,若 m<0,则 x≥1 时,f(x)是减函数.
? ? ? ? ? 1 2 a ? b ? (sin x , 2 ) ? ( 2 sin x , ) ? 2 sin x ? 1 ? 1 , c ? d ? (c o s 2 x , 1) ? (1 , 2 ) 2 ? cos 2 x ? 2 ? 1 , ? ? ? ? ? 2 ∴ 当 m ? 0 时, f ( a ? b ) ? f ( c ? d ) ? f ( 2 sin x ? 1) ? f (co s 2 x ? 1)



? 2 sin

2

x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 2 ? 2 cos 2 x ? 0

? cos 2 x ? 0 ? 2 k π ?

π 2

? 2 x ? 2 kπ ?

3π 2

,k ? Z .



0? x? π,



π 4

? x ?
π 4

3π 4


3π 4 π 4 ? x ? 3π 4 }; ? x ? π.

当 m ? 0 时,同理可得 0 ? x ?
? ? ? ? ?



综上 f ( a ? b ) ? f ( c ? d ) 的解集是当 m ? 0 时,为 { x |

当 m ? 0 时,为 { x | 0 ? x ?

π 4

,或

3π 4

? x ? π} .

8. 解析 方程 sinx= ∵|sinx|≤1∴|

x 100 ? x

实数解的个数等于函数 y=sinx 与 y= |≤1, |x|≤100л

x 100 ?

的图象交点个数

100 ?

当 x≥0 时,如右图,此时两线共有 100 个交点, y=sinx 与 y= 因
x 100 ?

100л

都是奇函数, 由对称性知当 x≥0 时, 也有 100 个交点,

原点是重复计数的所以只有 199 个交点。 9. 解析
(1)当 x ? [ ?

? , 2 ? ] 时,
6 3

? ? 函数 f ( x ) ? A sin ( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) ,观察图象易得:
2 2

? ) ,由函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 A ? 1 , ? ? 1 , ? ? ? ,即函数 f ( x ) ? s i n ( x ? 3 3
x ? ? ? 对称得, x ? [ ? 6

? , ? ? ] 时,函数
6

f ( x ) ? ? sin x .

? s in ( x ? ? ) ? 3 ∴ f (x) ? ? ? ? s in x ?

x ? [ ? ? , 2? ] 6 3 x ? [?? , ? ? ) 6

.

(2)当 x ? [ ? ? , 2 ? ] 时,
6 3

由 sin ( x ? ? ) ?
3

2 得, x ? ? ? ? 或 3? ? x ? ? ? 或 x ? 5 ? ; 2 3 4 4 12 12

当 x ? [ ? ? , ? ? ] 时,由 ? s in x ?
6

2 2

得, x ? ? 3? 或 x ? ? ? .
4 4

∴方程 f ( x ) ?

2 的解集为 { ? 3? , ? ? , ? ? , 5 ? } 4 4 12 12 2
1 ? f (x) ? 2 s i n ( x ? ? ) , 3

10. 解析 (1)由题意可得:

T ? 6? , A ? 2 ,

? 函数图像过(0,1) ? sin ? ? ,

1 2

, ? ? ?

?
2

,? ? ?

?
6



? f ( x ) ? 2 sin(

x 3

?

?
6

);

(2) g ( x ) ? 2 sin( x ?

?
6

)

11. 解析 (1) 由 sin(

f (x) ?

1 2

sin

2x 3

?

3 2

(1 ? cos

2x 3

)?

1 2

sin

2x 3

?

3 2

cos

2x 3

?

3 2

? sin(

2x 3

?

?
3

)?

3 2

2x 3

?

?
3

) =0 即

2x 3

?

?
3

? k ? ( k ? z )得 x ?

3k ? 1 2

?

k ? z

即对称中心的横坐标为

3k ? 1 2

?,
2 2

k ? z
2

(Ⅱ)由已知 b2=ac, c o s x ?
? ?| ? 1 2 ? c o s x ? 1, ? 0? x?

a ?c ?b 2ac

?

a ? c ? ac
2 2

?

2ac ? ac 2ac

?

1 2



2ac

?
3



?
3

?

2x 3 2x 3

? ?

?
3

?

5? 9

?
3

?
2

|? |

5? 9 2x 3

? ?

?
2

|, ) ?1?

? sin 3 2
3 2 ].

?
3

? sin (

?
3

) ? 1,

3 ? sin (

?
3



即 f ( x ) 的值域为 ( 3 ,1 ?

12. 解析(1)因为 f (x +θ)= 2 3 sin( 3? x ? 3? ? 又 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数, 故 ? ? (2)因为 f (x)在(0,
?
3 3 4 x 2 ? 1 2 x 2 x 2

?
3
1 3

)
,? ? k? ?

?
6

k ? Z

)上是增函数,故 ω 最大值为

1 6

13. 由 a∥b 得, 即
3 4
1?

? cos

2

? sin

cos

? 0, 1 2 ,

?

1 ? cos x 2

sin x ? 0 , ? sin x ? cos x ?
1? ?

2 co s2x ? ( s inx ? (

?
4

)

2(cos xcos 2

?
2

)
2 cos
2

? s i n2 x s i n ) 4 4 c o sx

?

?

?

1 ? cos 2 x ? sin 2 x cos x

?

x ? 2 sin x cos x cos x

? 2 (sin x ? cos x ) ? 1 .

思路点拨:三角函数的求值问题,关键是要找到已知和结论之间的联系,本题先要应用向量 的有关知识及二倍角公式将已知条件化简,然后将所求式子的角向已知角转化.
a ?c ?b
2 2 2

14. (1)由

a ?c ?b
2 2 2

2 2

a ?b ?c
2

?

c 2a ? c



b 2 ac ? 2 2 2a ? c a ?b ?c
2

2 ab



cos B cos C

?

sin B 2 sin A ? sin C

,

2 s i nA c o sB ? c o sB s i nC ? s i nB c o sC ,

即 2 sin A cos B ? cos B sin c ? sin B cos C ,
2 sin A cos B ? sin( B ? C ),

由 B ? C ? ? ? A 得 ,2 sin A cos B ? sin A , ∵ sin A ? 0 ,? cos B ?
1 2

1 2

, ? B ? 60 .

?

(2) 由 S ? ABC ?

ac sin B ?

1 2

ac sin 60

?

?

3 3 4

得 , ac ? 3 ,

2 2 2 ? ∴ b ? a ? c ? 2 ac cos 60 ? 2 ac ? ac ? ac ? 3 , 当且仅当 a ? c ?

3 时取等号,

即b ?

3 ,故当 b 取最小值

3 时,三角形为正三角形.

15. 解:原函数化简为
y ? cos( 2 x ?

?
3

). 这里 sin( 2 x ?

?
3

) ? 0即 2 x ?

?
3

? k?

? k? ? ? ? 2x ? ? k? x ? ? ? ? ? ? 3 2 6 由? ? ? ( k ? Z ) 得原函数的定义域为 ? ? 5? ? cos( 2 x ? ) ? 0 ?k? ? ? x ? k? ? ? ? 3 12 12 ? ?
? ? ? ? ? ? 5? , k? ? ? ? ? k? ? , k? ? ?k? ? 12 6 ? ? 6 12 ? ? ?, k ? Z . ?

16. 解:化简函数式并跟踪 x 的取值范围的变化得
y ? tan( x 2 ?

?
4

)

且 cos x ? 0 , sin

x 2

? 0.

? ? ? ? x ? k? ? x ? k? ? ? ? 2 2 ? ? 由 ? x ? 2 k? (k ? Z ) ? ? x ? 2 k? (k ? Z ) ? ? ? x ? ? 3? ? ? k? ? ?2 k? ? ? ? ? k? ? ? x ? 2 k? ? 2 2 4 2 2 2 ? ?

故函数递增区间为 ( 2 k ? ?

3? 2

,2 k? ?

?
2

) , (2 k? ?

?
2

,2 k? ) , ( 2 k? ,2 k? ?

?
2

). k ? Z

17. 解:①分析:注意此处角,名的关系,所以切化弦化同角,2x 化 x,化同角.

f (x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 1 ? ctgx
2

?

2 sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin 1?
? 2 sin
2

2

x ?1

cos x sin x

?

2 sin

x ? (cos x ? sin x )

sin x ? cos x

x
? 4

②求 f(x)即求 sinx,此处未知角 x, 已知角 x ? ∵
? 4 ? x ? 3 4 ? ,

, x ? (x ? 而

? 4

)?

? 4

, ∴可把 x 化成已知.



? 2

? x?
2

? 4

? ?,

∴ cos( x ?

? 4

) ? ? 1 ? sin
? 4 )? ? 4 ? 4 49 25

(x ?

? 4

) ? ?

4 5

,

∴ sin x ? sin[( x ?
? sin( x ? ? 4

] ? cos( x ? ? 4 ) sin ? 4 ? 7 10 2

) cos

∴ f ( x ) ? 2 sin

2

x ?

.

18. 解:(1)法 1,∵tgA·tgC ? 2 ? 即 sin A ? sin C ? ( 2 ? ∴?
1 2

3 ,∴

sin A sin C cos A cos C

? 2?

3 ,

3 ) cos A ? cos C

[cos( A ? C ) ? cos( A ? C )] ?

2? 2

3

[cos( A ? C ) ? cos( A ? C )]

∵A+B+C=180? 且 2B=A+C, ∴B=60?, A+C=120?, ∴ cos( A ? C ) ? ? ∴
1 4 ? 1 2 3 2 cos( A ? C ) ? ? 2? 4
1 2


? 2? 2 3 cos( A ? C )

3

∴ cos( A ? C ) ?

∵A<60?<C, 且 A+C=120?, ∴ 0<A<60?, 60?<C<120?, ∴ -120?<A-C<0?,∴ A-C=-30?, 又 A+C=120?∴ A=45?, C=75?. 法 2:∵A+B+C=180?, 2B=A+C, ∴B=60?, A+C=120?, ∴ tg ( A ? C ) ? ? 3 又 tg ( A ? C ) ? ∴ ?
3 ? tgA ? tgC 1? 2 ?
? 2? 3

tgA ? tgC 1 ? tgAtgC

, tgAtgC

? 2?

3

∴ tgA ? tgC ? 3 ? 且 0?<A<60?<C<120?,

3

3

又 tgAtgC

∴ tgA=1, tgC ? 2 ? 3 , ∴ A=45?, ∴ C=120?-45?=75? (2) 由正弦定理:
| AC | sin 60
0

?

| BC | sin 45
0



∴ | AC |? 6 2 ,

∴ SΔ ABC ?

1 2

| AC | ? | BC | ? sin C

?

1 2

?6

2 ? 4 3 ? sin 75
0 0

0

? 12
3 5

2 sin( 45
? 2 1 2

? 30 ) ? 18 ? 6 3 .
4 5 1 2 3 4 4 3

19. ∵ sin ? ?

,??(

, ? ),

∴ cos ? ? ?

,

∴ tg ? ? ? ,

,

又 tg ( ? ? ? ) ?

, ∴ tg ? ? ?

, ∴ tg 2 ? ? ?
? 3 ? 4

7

∴ tg ( ? ? 2 ? ) ?

tg ? ? tg 2 ? 1 ? tg ? ? tg 2 ?

?

7 4 3 12 . ? ? 3 4 2 24 1 ? ( ? )( ? ) 4 3
3? 1 ? cos 2 x 2 ? 1 2

20. 解: f ( x ) ? ? 3 sin
1 2

2

x ? sin x cos x ? ?

sin 2 x 2? 2

?

sin 2 x ?

3 2

cos 2 x ?

3 2

? sin( 2 x ?

?
3

)?

3 2 3 2

(I) T ?

??

(II)∴ 0 ? x ?

?
2



?
3
? ?

? 2x ?

?
3

?

4? 3



?

? sin( 2 x ?

?
3

)?1

所以 f ( x ) 的值域为: ? ?

3,

2?

3? ? 2 ?

21. 解 :( 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。) 由 已 知 条 件 :
3x x 3x x ? ? a ? b ? (c o s ? c o s , s in ? s in ) 2 2 2 2

0 ? x ?

?
2



得:

(c o s

3x 2

? cos

x 2

) ? (sin
2

3x 2

? sin
3x 2

x 2

)
x 2

2

?

2 ? 2 c o s2 x ? 2 s i nx
3x 2 1 2
2

(2) f ( x ) ? 2 sin x ? cos
2

cos

? sin

sin

x 2

? 2 sin x ? cos 2 x

? ? 2 s i n x ? 2 s i nx ? 1 ? ? 2 ( s i n ? x
0 ? sin x ? 1

) ?

3 2

,因为: 0? x ?

?
2

,所以:

所以,只有当: x ?

1 2

时, f max ( x ) ?

3 2

, x ? 0 ,或 x ? 1 时, f min ( x ) ? 1

22. 解: (Ⅰ) f ( x ) ? =
3 2

1 ? c o s 2? x 2

?

3 2

s in 2 ? x 1 2

s in ? x ?

1 2

c o s 2? x ?
1 2 .

= s in ( 2 ? x ?

?
6

)?

因为函数 f(x)的最小正周期为π ,且ω >0,所以 解得ω =1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? s in ( 2 x ? 因为 0≤x≤ 所以 ? 所以 ?
1 2 1 2 2? 3

2? 2?

??

?
6

)?

1 2

.


?
6

≤2x ?



7? 6

.

≤ (2 x ?

?
6

) ≤1. )? 1 2

因此 0≤ s in ( 2 x ?

?
6



3 2

,即 f(x)的取值范围为[0,

3 2

]

23. 解: (1)? c o s B ?

3 10 10 10 10

? 0 , ? B 锐角,

且 s in B ?

1 ? cos B ?
2

,? ta n B ?

s in B cos B

?

1 3

,
1 1 3 1 2 ? 1 3 ? ?1

? ta n C ? ta n ? ? ? ( A ? B ) ? ? ? ta n ( A ? B ) ? ?

ta n A ? ta n B 1 ? ta n A ? ta n B

?

? ?

2 1?

(2)由(1)知 C 为钝角, C 是最大角,最大边为 c=1,
? ta n C ? ? 1,? C ? 1 3 5 ? , ? s in C ? 2 2

,

由正弦定理:

b s in B

?

c s in C

得b ?

c sin B sin C

1? ?

10 10 2 2 ? 5 5



24. 解: (Ⅰ)因为∠ B C D ? 9 0 ? 6 0 ? 1 5 0 , C B ? A C ? C D , 所以∠ C B E ? 1 5 .
?

?

?

?

所以 c o s ∠ C B E ? c o s ( 4 5 ? 3 0 ) ? (Ⅱ)在 △ A B E 中, A B ? 2 , AE 由正弦定理 ?
s in ( 4 5 ? 1 5 )
?
? ?

?

?

6 ? 4
2
? ?

2



D C



E

s in (9 0 ? 1 5 )

故 AE ?

2 s in 3 0 cos 15
?

2? ? 6 ? 4

1 2 2

?

6 ?

2

A

B

25. 解析:
a b sin B c sin C

(1)由正弦定理得 sin A

?

?

? 2R

,得

a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , C ? 2 R sin C

cos B

代入 cos C

? ?

sin B 2 sin A ? sin C ,即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0

2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0

∵ A+B+C= ?

∴ sin(B+C)=sinA

∴ 2 sin A cos B ? sin A ? 0
2? 3

∵ sin A ? 0



cos B ? ?

1 2

又 ∵ 角 B 为三角形的内角



B ?

(2)将

b ?

13 , a ? c ? 4 , B ?

2? 3 代入余弦定理 b 2? 3
2

? a

2

?c

2

? 2 ac cos B ,得

13 ? a

2

? ( 4 ? a ) ? 2 a ( 4 ? a ) cos
2

2 ∴ a ? 4a ? 3 ? 0

∴ a ? 1 或a ? 3


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