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五种方法求二面角及练习题


五种方法求二面角及练习题
一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线 所成的角的大小就是二面角的平面角。 D C 1.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求: 1 1 A B (1)二面角 C1—BD—C 的正

切值(2)二面角 B1 ? BC1 ? D
1 1

D A B

C

2. 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ? 底面 ABCD , AD ? 2 ,

DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60,M 在侧棱 SC 的中点
(1)求二面角 S ? AM ? B 的余弦值。

二、 三垂线法: 三垂线定理: 在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直. 通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大 小。 D 1. 如图, 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD, 1 A AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 (1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2)求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。 A
1

C1 B1 C F B

E1 E

D

2. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 矩 形 . 已 知

AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? .
(Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

三.补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时, 要将两平面 的图形补充完整, 使之有明确的交线 (称为补棱) , 然后借助前述的定义法与三垂线法解题。 即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决 1.已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的棱长都是 a, 侧棱与底面成 600 的角, 侧面 BCC1B1⊥底面 ABC。 (1)求证:AC1⊥BC; A1 (2) 求平面 AB1C1 与平面 ABC 所成的二面角 (锐角) 的大小。 C1

B1

A L C B

2:如图 5,E 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点,求平面 AB1E 和底面 A1B1C1D1 所成 锐角的余弦值. A D1 A1 图5 3 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中 点,PA⊥底面 ABCD,PA=2. P (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角(锐角)的大小. 角的平面角(锐角). B1 D B E C1 C

D A

E C

B

分析

平面 AB1E 与底面 A1B1C1D1 交线即二面角的棱没有给出, 要找到二面角的平面角, .

四、向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法, 可以说所有的立体几何题 都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的 坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。 1 如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点, AF=AB=BC=FE=

1 AD 2

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE;求二面角 A-CD-E 的余弦值。 ,

2、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ? 侧面 A 1 ABB 1. (Ⅰ)求证: AB ? BC ; (Ⅱ) 若直线 AC 与平面 A 1BC 所成的角为 ? ,二面角 A 1 ? BC ? A 的大小 为 ? ,试判断 ? 与 ? 的大小关系,

3.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求: (1)二面角 C1—BD—C 的正切值(2)二面角 B1 ? BC1 ? D A1

D1 B1 D A B

C1

C

P

4.过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 设 PA=AB=a,(1)求二面角 B (2)求二面角 C-PD-A

平面ABCD ,

PC - D 的大小;
A D

B

C

5. 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱

P

D A B

E

c

形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3 .(1) 证明: BE⊥平面 PAB; (2) 求二面角 A-BE-P 的大小 (3)PB 与面 PAC 的角

6

如 图 , 在 底 面 为 直 角 梯 形 的 四 棱 锥

P ? ABCD中, AD // BC, ?ABC ? 90?,
PA ? 平面ABCD , PA ? 3, AD ? 2, AB ? 2 3 ,BC=6
(1) 求证: BD ? 平面PAC; (2) 求二面角 P ?

BD ? A 的大小.

(3)求二面角 B-PC-A 的大小

7.如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的 点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; C D (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离.

P

A E
E

F

B

A

D

B
8. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面

C

ABCD 是矩形.已知 AB ? 3 , AD ? 2 ,
?

PA ? 2 , PD ? 2 2 ,∠PAB ? 60
(Ⅰ)证明 AD

P .

? 平面 PAB ;
A D

B

(Ⅱ)求异面直线 PC 与

AD 所成的角的大小;

(Ⅲ)求二面角 P ? BD ?

A 的正切值.


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