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两角和与差的正弦公式


15.1

两角和与差的正弦公式
第二课时

一、引入
? 1.用两角和与差的余弦公式证明: ? cos( ? ? ) ? sin ?
2

sin(

?
2

? ? ) ? cos ?

2.这两个式子说明正弦函数与余弦函数之间有什么 关系?

互余

二、公式推导
cos( ? ? ) ? sin ? 将 2 结果?

?

中的α换成α+β,能得什么

?? ? ?? ? sin(? ? ? ) ? cos ? ? (? ? ? )? ? cos ?( ? ? ) ? ? ? ?2 ? ? 2 ?

三、公式
? 两角和的正弦公式:
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

? 两角差的正弦公式:
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

+-相同,SCSC

四、例题
? 例1:不用计算器,求下列各式的值 ? sin 15 ? (1) (2) sin 105? (3) sin ? 75?
? ? ? ? sin 70 cos 25 ? cos 70 sin 25 ? (4) ? (5) cos 80? sin 40? ? sin 80? cos 40? ? (6)sin 25? sin 20? ? cos 25? sin 70?

3 3 ? 例2:已知 sin ? ? ? , ? ? (? , ? ), 5 2



sin(

?
3

??)

?

sin(

?
4

??)

的值

? 例3:已知 ? 角,β为第三象限角,求 ? 的值

3 1 sin ? ? , cos ? ? ? , 且α为第二象限 4 3

sin(? ? ? ), sin(? ? ? ), cos(? ? ? ), cos(? ? ? )

? 例4:已知α,β均为锐角,且
? 求α+β的值

2 5 3 10 cos ? ? , cos ? ? , 5 10

五。应用
? 例5:工业用三相交流电的电压u是时间t的函数。 现已知三相电流的电压分别为
u1 ? 220 2 sin 100?t , u 2 ? 220 2 sin(100?t ? 120? ), u3 ? 220 2 sin(100?t ? 120? )

? 零线的电压 u ? u1 ? u 2 ? u3 的电压u=0,这是为什么?

根据常识,零线

? 例6:如图,保持点P(3,3)与原点的距离不变, 并绕原点旋转 60?到 P ' 位置,设点 P ' 的坐标为 ? ( x' , y' )
? (1)点P与原点之间的距离是多少? ? ' x轴正方向的夹角是多少? ? (2)向量 OP 与 ? (3)求点 P ' 的坐标

? ? ? ?

例7:化简 (1) sin(? ? 30? ) cos ? ? cos(? ? 30?) sin ? ? ? ? ? (2)sin( ? ? ) sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 6 3 6 3 (3) sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ?

3 ? 2 ? ? 例8:已知 sin( ? ? ) ? , ? ? ( , ) 3 5 6 3 则求

?

cos ?


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