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1.3.1函数的单调性与导数导学案


课题名称: 1.3.1 函数的单调性与导数
学习目标 知识与技能: 1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 过程与方法: 1.通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法; 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转 化思想. 情感态度与价值观: 通过在教学过程中让学生多动手、 多观察、 勤思考、 善总结, 培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习习惯. 学习重难点 学习重点:探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间. 学习难点:探索函数的单调性与导数的关系. 学习过程 一.回顾与思考 1.判断函数的单调性有哪些方法?

2.如何判断函数 f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) 的单调性?

二.新知探究:函数的单调性与导数之间的关系 【思考】 如图(1) 它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 ,
h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像,图(2)表示高台跳

水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数
v( t )? ' h ( t? ? 9 . t? 的图像. ) 8 6 . 5 运动员从起跳到最高

点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有 什么区别? 【探究】通过观察图像,我们可以发现:

(1)t 在 (0, a) 内, v(t)的正负为:v(t ) ? h?(t ) (2) 在 (a, b) 内, v(t)的正负为: v(t ) ? h?(t ) t

. 相应的, h(t)是 . 相应的, h(t)是

函数; 函数.

【探究】观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系. .

函数 y=f(x)

导函数y ? f ?( x)的正负 x ? (??, ??)时,f ?( x) ____ 0

函数 y=f(x)的单调性

y=x

函数 y=f(x)单调

x ? (??,0)时,f ?( x) ____ 0
y?x
2

函数 y=f(x)单调

x ? (0, ??)时,f ?( x) ____ 0
x ? (??,0)时,f ?( x) ____ 0
y ? x3

函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调 函数 y=f(x)单调

x ? (0, ??)时,f ?( x) ____ 0 x ? (??,0)时,f ?( x) ____ 0

1 y? x

x ? (0, ??)时,f ?( x) ____ 0

函数 y=f(x)单调

【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明,在区间 (a , b) 内,如 果函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增,那么 个区间内单调递减,那么 . ;如果函数 y ? f ( x) 在这

知识归纳 函数的单调性与导数的关系:在某个区间 (a , b) 内, 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内 三.典例分析 例 1.已知导函数 f ' ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 练习巩固(尝试高考) 设 f ' ( x) 是函数 f (x) 的导函数,f ' ( x) 的图象如右图所示,则 f (x) 的图象最有 可能的是( ) ;

y

y ? f ( x)

y

y ? f ( x)

y

y ? f '( x )

o

o

1

2

1

2

x

x
y

o

2 x

y

y ? f ( x)

y ? f ( x)
1 2 x

o

2 1

x

o

例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x 3 ? 3x ? 2
(3) f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x

(2) f ( x) ? x3 ? 3x
(4) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? )

总结:利用导数的正负求解函数单调区间的一般步骤 第一步: 第二步: 第三步: 第四步: 四.课堂练习 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
(1) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4; (3) f ( x) ? 3x ? x 3 ;

(2) f ( x) ? e x ? x;
(4) f ( x) ? 3x 2 ? 2 ln x

五.小结 通过这节课的学习,你都学到了什么? (1)知识方面:

(2)方法方面:

六、作业设计 课本 31 页,A 组 1,2 课下思考:如果函数 y ? f (x) 在某个区间 (a, b) 内是增函数,那么 f ' ( x) ? 0 一 定成立吗?


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